比較函數(shù)式大小的常用方法

陸華思

比較函數(shù)式的大小是高考中的高頻考點，近幾年常作為選擇題的壓軸題.比較函數(shù)式大小的常規(guī)途徑有利用函數(shù)的性質(zhì)以及通過作差或作商比較大小.本文結(jié)合實例談一談比較函數(shù)式大小的兩個途徑.

一、利用函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)式的大小

有時要比較的兩個函數(shù)式為簡單的二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)或者復合函數(shù)，此時我們可以結(jié)合函數(shù)式的特點構(gòu)造函數(shù)模型，借助二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性或復合函數(shù)的“同增異減”的性質(zhì)來比較它們的大小.

例1.已知n= log20.2，6=20.2，c= 0.2 03，則（ ）.

A.a

B.a

C.c

D.b

解：a= log2 0.2< log21=0，

b= 2 0.2> 2 0=l。

O

本題中的函數(shù)式分別為指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，我們利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將a與0，b與1，c與1比較，進而比較出三者的大小.

例2.設廠（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，則（

）.

A.

B.

c.

D.

解析：因為f（x）是R上的偶函數(shù)，

所以

因為

，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

所以f（2）

即廠（2—1）>，可把、

轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)式的大小.

二、通過作差或作商來比較函數(shù)式的大小

比較函數(shù)式的大小問題多以選擇題的形式出現(xiàn)，在比較一些簡單函數(shù)式的大小時，我們可以將要比較的兩函數(shù)式相減、相除，然后根據(jù)函數(shù)的運算法則進行變換、整理，將化簡后的結(jié)果與0、1比較，進而得出兩個函數(shù)式的大小關(guān)系.

例3.設a= log 0.2 0.3，b=log2 0.3，則（ ）.

A. a+b

B.ab

C. a+b

D.ab

解：

= l0g 0.3 0.2+l0g 0.3 2= l0g 0.3 0.4，

因為o< l0g 0.30.4<1，所以

（*）.

又a>0，b<0，則ab<0，

將（*）式左右同乘ab得ab

本題主要考查對數(shù)的運算和不等式的性質(zhì).題目中的選項要求我們計算a+b、ab的值，再用作差法或作商法比較函數(shù)式的大小.這里把

轉(zhuǎn)化為

，可減少計算量.

例4.已知55< 84，134< 85.設a=log53，b=l0gs5，c= log138，則（

）.

A.a

B.b

C.b

D.c

解：由題意易知a，b，C∈（O，1），

所以a

由6 =log 5，得8b=5，即8 5b= 5 5;

由c= l0g 13 8，得13 c=8，即13 4c=84.

因為55< 84，134< 85，

所以13 4b< 8 5b= 5 5< 8 4= 13 4c，即4b<4c，則b

綜上可得a

本題不僅考查基本不等式、指數(shù)式與對數(shù)式的互化，還考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，用作差法難以求得結(jié)果，所以本題可以用作商法以及基本不等式得出a，6大小，結(jié)合5 5< 8 4，13 4< 8 5判斷出b、c的大小.

從上述分析我們可以看到，要比較函數(shù)式的大小，就要會轉(zhuǎn)化已知的函數(shù)式，如構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)的性質(zhì);通過作差或作商，根據(jù)函數(shù)的運算法則化簡結(jié)果，方能找到解題的突破口.除此之外，同學們要學會將函數(shù)式與圖形結(jié)合，運用數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題.

（作者單位：廣西賀州第一高級中學）