由一道參數(shù)方程與普通方程互化問題引發(fā)的思考

賴春芳

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是關(guān)于某個變量t的函數(shù)：

，并且對于t的每一個允許值，由方程組

，所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，那么方程

，就叫做這條曲線的參數(shù)方程.相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程，也叫做直角坐標方程.近幾年的高考試題中經(jīng)常會出現(xiàn)一些參數(shù)方程與普通方程互化的問題.解答此類問題的基本思路是通過消元將參數(shù)方程中的參數(shù)消去，便可得到普通方程，或者引入?yún)?shù)，用含有參數(shù)的方程表示普通方程.

例題：在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程

（t為參數(shù)）求c的直角坐標方程，

解法1：因為x=

，

所以l+t2=

且x≠一1，

從而可得y=

=2（x+ l）t，則t=，

將其代入x=

整理得X2+ y4=

（x≠一1）.

即曲線C的直角坐標方程為x2+

=l（x≠-l）.

這里主要采用了代入法來消參，分別求出l+t2和t的表達式，將它們代人參數(shù)方程中得到關(guān)于x、y的普通方程，

解法2：設(shè)t=tana，其中cosa≠0，

因為cos 2a=2 cos 2a -l且cosa≠O，所以x≠一1，

貝x=，

由sin 2a+ cos 2a=l可得x2+

=l（x≠-1），

所以曲線C的直角坐標方程為x2+

=1（x≠-l）.

我們引入三角函數(shù)，通過三角換元求得x、y的三角函數(shù)表達式，然后利用同角的三角關(guān)系式sin2a+ cos2a=l，消去三角函數(shù)，求得普通方程.

我們觀察該例題中的代數(shù)式，可以發(fā)現(xiàn)它們的次數(shù)都不超過二次，便可聯(lián)想到一個定理：兩個一元二次方程aix2 +b1x+cl =0和a1x2+ b2x+c2=0有公共解的充要條件是：（a1c2-a2c1）2=（a1b2-a2b1）（b1c2-b2c1）.我們可以運用該定理來將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程.

解法3：由，

①，

由，

②

由于①式和②式取同一參數(shù)t，所以這兩個方程有公共解.

根據(jù)上述定理可得[（l+x）y-y（x一1）]2=[（1+x）.（-4） -0][0-（-4）（x-l）]，

化簡得x2+y =l，

又方程（1+x）t2+（x一1）=0有意義，所以x≠-1，

所以曲線c的直角坐標方程為x2+y4 =1（x≠一1）.

運用上述定理，我們直接建立關(guān)于x、y的新方程，消去了參數(shù)t，便可快速求得普通方程.

以上解法中，解法1、解法2都是常規(guī)解法，解法3屬于一種新方法，相比較而言，解法3比解法l、2中的運算量小，且思路簡單.在解答這類參數(shù)方程與普通方程互化的問題時，同學們既要重視基礎(chǔ)知識的應用，也要注重創(chuàng)新，學會運用發(fā)散思維，尋找更加簡便的解題方法.

（作者單位：江西省贛州市崇義縣崇義中學）