柔性掃描平臺(tái)最優(yōu)階多項(xiàng)式速度曲線控制

李龍輝，張芷齊，郭 振，羅媛媛，周連群1，*，姚 佳

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130022；2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，安徽 合肥230026；3.中國(guó)科學(xué)院 蘇州生物醫(yī)學(xué)工程技術(shù)研究所 中國(guó)科學(xué)院生物醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 蘇州215163；4.蘇州大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 蘇州215006）

1 引 言

在精密制造行業(yè)，如何提高生產(chǎn)效率一直是研究的主要課題之一［1］。在高精度柔性掃描平臺(tái)控制中，縮短運(yùn)動(dòng)時(shí)間和減小因運(yùn)動(dòng)造成的殘余振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)時(shí)間對(duì)提高效率有著重要的作用?？紤]到實(shí)際實(shí)現(xiàn)過程，采用滿足時(shí)間最優(yōu)原則［2-3］并且加速度和速度較大的運(yùn)動(dòng)曲線是縮短運(yùn)動(dòng)時(shí)間的有效途徑之一。但是較大的加速度容易在運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中激發(fā)不必要的殘余振動(dòng)，這將導(dǎo)致需要額外的時(shí)間衰減振動(dòng)，反而需要更長(zhǎng)的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)［4］且會(huì)影響系統(tǒng)精度和壽命［5］。合適的速度曲線在運(yùn)動(dòng)控制中起著至關(guān)重要的作用，其可以使執(zhí)行機(jī)構(gòu)迅速運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)位置，提高運(yùn)行效率［6］，同時(shí)減少振動(dòng)和能量消耗，提高系統(tǒng)的定位精度和壽命［7］。

在過去的幾十年里，人們探索了多種速度曲線對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)運(yùn)行效率的影響。常用的速度曲線有：梯形速度曲線和S型速度曲線［8-9］。從應(yīng)用的角度而言，梯形速度曲線通常被認(rèn)為是在給定速度和加速度等限制條件下運(yùn)行時(shí)間最短的曲線［2，10］。但是由于梯形速度曲線加速度不連續(xù)，存在沖擊，會(huì)導(dǎo)致執(zhí)行機(jī)構(gòu)的較大殘余振動(dòng)［11］。S型速度曲線的加速度是連續(xù)的，不會(huì)存在嚴(yán)重的沖擊，和梯形速度曲線相比，其對(duì)機(jī)構(gòu)激發(fā)的殘余振動(dòng)更?。?2-13］。因此S型速度曲線在對(duì)定位精度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間敏感的精密運(yùn)動(dòng)控制中的應(yīng)用更廣泛。Martínez等［7］基于樹莓派和FPGA構(gòu)建一個(gè)三階多項(xiàng)式S型速度曲線應(yīng)用實(shí)例并分析了其定位誤差。Broquere等［14］提出了一種基于三階多項(xiàng)式S型速度曲線的柔性運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法，該方法可以在一維和多維的情況下限制加速度和加加速度值。楊亮亮等［3］提出基于時(shí)間最優(yōu)原則，采用牛頓迭代法對(duì)非對(duì)稱三階多項(xiàng)式S型速度曲線進(jìn)行加減速時(shí)間的求解的算法。然而，這些方法只是對(duì)梯形速度曲線和三階多項(xiàng)式S型速度曲線進(jìn)行了分析，未分析其他S型速度曲線對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)殘余振動(dòng)與穩(wěn)態(tài)時(shí)間的影響，且未分析多項(xiàng)式速度曲線的最優(yōu)階。Bai等［4］建立變加加速度的三階多項(xiàng)式速度曲線，對(duì)柔性系統(tǒng)模型進(jìn)行分析并優(yōu)化曲線參數(shù)，對(duì)優(yōu)化前后的曲線進(jìn)行了殘余振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)時(shí)間實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析，雖然優(yōu)化后的三階多項(xiàng)式速度曲線具有較好效果，但是優(yōu)化曲線參數(shù)時(shí)需特定且復(fù)雜的算法，同時(shí)未分析更高階多項(xiàng)式速度曲線的影響。方佳偉等［15］提出基于Sigmoid函數(shù)的S型速度曲線，采用時(shí)間與速度數(shù)組遍歷查詢方法進(jìn)行程序控制。Li等［16］建立了三角函數(shù)S型速度曲線，并分析了與梯形速度曲線、三階多項(xiàng)式和三角函數(shù)S型速度曲線對(duì)柔性系統(tǒng)殘余振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)時(shí)間影響，三角函數(shù)S型速度曲線雖然具有較好的性能，但是其采用離線處理，對(duì)速度數(shù)組遍歷的查詢方法進(jìn)行程序控制，當(dāng)曲線復(fù)雜時(shí)數(shù)據(jù)量將非常大，對(duì)控制器的存儲(chǔ)性能提出新的要求，并且不滿足時(shí)間最優(yōu)原則，執(zhí)行效率不高。因此，建立符合時(shí)間最優(yōu)原則且計(jì)算量、殘余振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)時(shí)間均較小的速度曲線來提高執(zhí)行機(jī)構(gòu)運(yùn)行效率是必要的。

本文依據(jù)時(shí)間最優(yōu)原則，對(duì)現(xiàn)有速度曲線進(jìn)行分析，以高精度柔性掃描平臺(tái)為對(duì)象建立仿真模型，以其速度、加速度、加加速度及其一階導(dǎo)數(shù)等限制為邊界，對(duì)不同階數(shù)的多項(xiàng)式速度曲線進(jìn)行殘余振動(dòng)仿真分析，構(gòu)建最優(yōu)階多項(xiàng)式速度曲線，并基于對(duì)稱原理在嵌入式系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)較小運(yùn)算量的實(shí)時(shí)在線計(jì)算。該方法有效降低了高精度柔性掃描平臺(tái)的殘余振動(dòng)和縮短穩(wěn)態(tài)時(shí)間，進(jìn)而提高運(yùn)行效率。

2 速度曲線分析

2.1 梯形速度曲線

如圖1所示，梯形速度曲線的速度按照斜率為amax的直線增加或按斜率為-amax的直線減小，在給定加速度限制amax時(shí)能夠以最小的時(shí)間加速至最大速度或減速至零，最符合時(shí)間最優(yōu)原則。但是梯形速度曲線的加速度存在突變，加速度曲線不平滑，存在無(wú)窮大的加加速度。加加速度（Jerk，加速度一階導(dǎo)數(shù)）大小對(duì)控制算法的效率和整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性都有極大的影響［17］。對(duì)加加速度的大小進(jìn)行限制，在減小結(jié)構(gòu)振動(dòng)、機(jī)械磨損和運(yùn)動(dòng)定位誤差方面具有重要意義［18］。由于存在無(wú)窮大的加加速度，梯形速度曲線將導(dǎo)致執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在較大沖擊，在運(yùn)行結(jié)束時(shí)激發(fā)較大殘余振動(dòng)［19］。同時(shí)梯形速度曲線是非光滑的軌跡曲線，激發(fā)的殘余振動(dòng)會(huì)降低執(zhí)行機(jī)構(gòu)的壽命，執(zhí)行機(jī)構(gòu)在完成路徑跟蹤和重復(fù)運(yùn)動(dòng)等任務(wù)時(shí)，也會(huì)產(chǎn)生較大的誤差［20］。

圖1 梯形速度曲線Fig.1 Trapezoidal motion profile

2.2 S型速度曲線

S型速度曲線由于其速度和加速度具有連續(xù)性，并且加加速度的大小受到限制，執(zhí)行機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中的速度和加速度不存在突變，因而能夠有效減小沖擊，抑制殘余振動(dòng)，使執(zhí)行機(jī)構(gòu)更平穩(wěn)地運(yùn)行。S型速度曲線包括基于三角函數(shù)型速度曲線、Sigmoid函數(shù)型速度曲線和多項(xiàng)式的速度曲線。

2.2.1 三角函數(shù)和Sigmoid函數(shù)S型速度曲線

三角函數(shù)S型速度曲線是將速度曲線的加加速度值用三角函數(shù)描述，可以分為正弦函數(shù)模型與余弦函數(shù)模型，分別由不同的分段函數(shù)表示。

正弦函數(shù)模型的各曲線段的加加速度是由正弦函數(shù)表示，其表達(dá)式如式（1）。正弦函數(shù)模型的加加速度、加速度和速度曲線均是連續(xù)的，但加加速度和加速度只在幾個(gè)孤立點(diǎn)達(dá)到最大值，最大值無(wú)持續(xù)輸出。余弦函數(shù)模型通過將余弦函數(shù)平移構(gòu)成新的加加速度曲線，其加加速度表達(dá)式如式（2）。與正弦函數(shù)模型一致，加加速度、加速度和速度曲線均連續(xù)，雖然加速度最大值有持續(xù)的輸出，但曲線段數(shù)比正弦函數(shù)模型增加一倍，同時(shí)加加速度最大值同樣只在幾個(gè)孤立點(diǎn)有最大值。

三角函數(shù)S型速度曲線只需要四個(gè)參數(shù)（Jmax，T，t0，K）就能確定加加速度曲線，其中Jmax為加加速度最大值，T為與周期相關(guān)的參數(shù)，t0為偏移值，K為與曲線段數(shù)相關(guān)的參數(shù)，取±1或0。三角函數(shù)S型速度曲線任意階可導(dǎo)，不會(huì)存在突變等極端情況，可有效避免沖擊，抑制了殘余振動(dòng)。但由于工業(yè)領(lǐng)域需要提高生產(chǎn)率以提高效率，因此時(shí)間最優(yōu)原則是需要考慮的一個(gè)關(guān)鍵因素。三角函數(shù)S型速度曲線由于加加速度或加速度沒有持續(xù)的最大值輸出，不能滿足時(shí)間最優(yōu)原則，執(zhí)行效率相對(duì)不高。

Sigmoid函數(shù)是常見的S型曲線，其嚴(yán)格單調(diào)并且連續(xù)，可以作為S型速度曲線的擬合函數(shù)。Sigmoid函數(shù)表達(dá)式如式（3）：

將式（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)進(jìn)行縮放和平移，建立能用于描述速度曲線的函數(shù)，如式（4）：

其中：a，b，c，K均為常量，K為函數(shù)增益。f（t）可作為速度、加速度、加加速度或更高階的曲線函數(shù)，速度曲線平滑程度依次增加，但是表達(dá)式求解難度依次增加。為滿足時(shí)間最優(yōu)原則，需要對(duì)其參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化以滿足要求，且優(yōu)化的過程較復(fù)雜［21］。

三角函數(shù)和Sigmoid函數(shù)S型速度曲線由于自身特性，不能滿足時(shí)間最優(yōu)原則或需要優(yōu)化后才能滿足。同時(shí)實(shí)際應(yīng)用中需要較低的計(jì)算復(fù)雜度實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算，而三角函數(shù)和Sigmoid函數(shù)S型速度曲線計(jì)算過程中涉及三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)和積分運(yùn)算，運(yùn)算量大，且當(dāng)運(yùn)動(dòng)曲線復(fù)雜或運(yùn)動(dòng)距離過長(zhǎng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生巨量的數(shù)據(jù)，對(duì)控制器性能有較高要求。通常由計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算速度曲線參數(shù)并生成數(shù)據(jù)傳遞給控制器，通過查表進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制，導(dǎo)致不易實(shí)現(xiàn)曲線實(shí)時(shí)計(jì)算［22］，不利于實(shí)際應(yīng)用，而多項(xiàng)式速度曲線卻能避免以上情況。

2.2.2 多項(xiàng)式函數(shù)S型速度曲線

多項(xiàng)式速度曲線是將多項(xiàng)式作為速度曲線的描述函數(shù)，易實(shí)現(xiàn)時(shí)間最優(yōu)原則下的速度曲線。多項(xiàng)式速度曲線由分段函數(shù)構(gòu)成，如式5所示，位移曲線為每段階數(shù)均為不超過最高階的多項(xiàng)式函數(shù)。

多項(xiàng)式速度曲線雖然由分段函數(shù)構(gòu)成，且分段函數(shù)的段數(shù)隨著階數(shù)的增加呈指數(shù)增加，但是每段函數(shù)只涉及簡(jiǎn)單運(yùn)算，曲線階數(shù)合適時(shí)，控制器容易實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)應(yīng)用中的實(shí)時(shí)計(jì)算實(shí)時(shí)反饋。

三階多項(xiàng)式速度曲線已成為運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的模型之一［23］，如圖2所示，三階多項(xiàng)式速度曲線對(duì)應(yīng)的分段函數(shù)段數(shù)為七段，并且位移曲線每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)階數(shù)不超過三階的多項(xiàng)式函數(shù)。由于速度曲線存在瞬時(shí)變化的加加速度，這將導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在殘余振動(dòng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)間變長(zhǎng)，降低了定位精度。

圖2 三階多項(xiàng)式速度曲線Fig.2 Third order polynomial motion profile

對(duì)運(yùn)動(dòng)精度要求高的運(yùn)動(dòng)控制來說，在運(yùn)動(dòng)曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，消除加加速度的瞬時(shí)突變是至關(guān)重要的［24］。如圖3所示，四階多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)曲線在三階多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)曲線的基礎(chǔ)上定義P（加加速度一階導(dǎo)數(shù)），使加加速度按照速率P變化。并對(duì)P的大小進(jìn)行限制，降低了因加加速度不連續(xù)帶來的殘余振動(dòng)。四階多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)曲線的段數(shù)由三階多項(xiàng)式速度曲線的七段增加至十五段，但是速度曲線的加加速度將不存在突變，減小了殘余振動(dòng)，縮短了穩(wěn)態(tài)時(shí)間。

為了進(jìn)一步提高運(yùn)動(dòng)曲線的平滑性，還應(yīng)該考慮P的連續(xù)性，在四階多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)曲線的基礎(chǔ)上增加階數(shù)。但多項(xiàng)式速度曲線階數(shù)較大時(shí)，曲線段數(shù)較多，時(shí)間點(diǎn)計(jì)算過程的復(fù)雜度將增加且可能存在沒有解析解的情況［21，25］，對(duì)曲線的計(jì)算效率有顯著不利影響，同時(shí)對(duì)控制器性能提出較高要求。階數(shù)較高時(shí)，運(yùn)動(dòng)曲線實(shí)際性能提升卻有限。因此，合適階數(shù)的多項(xiàng)式速度曲線在實(shí)際應(yīng)用中至關(guān)重要。

3 高精度柔性掃描平臺(tái)最優(yōu)階多項(xiàng)式速度曲線設(shè)計(jì)

3.1 多項(xiàng)式速度曲線殘余振動(dòng)仿真分析

為研究不同階數(shù)的多項(xiàng)式速度曲線對(duì)高精度柔性掃描平臺(tái)的振動(dòng)影響并確定最優(yōu)階，進(jìn)行了不同階數(shù)的多項(xiàng)式速度曲線殘余振動(dòng)仿真分析。本文采用的簡(jiǎn)化模型如圖4所示，在簡(jiǎn)化模型中，基座與傳動(dòng)部件相接，并按照給定的速度曲線運(yùn)動(dòng)，與彈簧和阻尼器相連的質(zhì)量塊代表誘發(fā)振動(dòng)的部件。x為基座的絕對(duì)位移，y為質(zhì)量塊與基座的相對(duì)位移。基座和質(zhì)量塊的動(dòng)態(tài)方程可表示為：

圖4 柔性平臺(tái)簡(jiǎn)化模型Fig.4 Simplified model of flexible structure

此仿真模型中，使用的參數(shù)如下：ωn=120 rad·s-1，ξ=0.02。速度曲線為二階多項(xiàng)式（梯形）速度曲線至六階多項(xiàng)式速度曲線，曲線參數(shù)為：位移大小S=0.03 m，速 度Vmax=0.05 m·s-1，加 速 度Amax=0.4 m·s-2，加加速度Jmax=5 m·s-3，加加速度一階導(dǎo)數(shù)Pmax=150 m·s-4，加加速度二階導(dǎo)數(shù)Gmax=20 000 m·s-5，加加速度三階導(dǎo)數(shù)Fmax=5 000 000 m·s-6。不考慮外部環(huán)境和實(shí)際系統(tǒng)影響，殘余振動(dòng)可看作為簡(jiǎn)諧振動(dòng)［4］，設(shè)定殘余振動(dòng)位移誤差εs=2μm，由動(dòng)力學(xué)理論可知?dú)堄嗾駝?dòng)加速度允許誤差ε≈30 mm·s-2。仿真結(jié)果的殘余振動(dòng)衰減過程如圖5所示。

圖5 （a）各階多項(xiàng)式速度曲線殘余振動(dòng)仿真結(jié)果；（b）Ts3，Ts2，Ts1：四階、五階、六階多項(xiàng)式速度曲線穩(wěn)態(tài)時(shí)間；（c）Ts4：三階多項(xiàng)式速度曲線穩(wěn)態(tài)時(shí)間；（d）Ts5：梯形速度曲線穩(wěn)態(tài)時(shí)間Fig.5（a）Simulation results of residual vibration；（b）Ts3，Ts2，Ts1：settling time of fourth，fifth and sixth order polynomi?al motion profile；（c）Ts4：settling time of third order polynomial motion profile；（d）Ts5：settling time of trapezoi?dal motion profile

殘余振動(dòng)加速度與振動(dòng)的沖擊力成正比，其峰值能有效反映沖擊力的大小，同時(shí)也能表征殘余振動(dòng)的大小。由表1可知，梯形速度曲線在殘余振動(dòng)范圍內(nèi)加速度峰值最大，即殘余振動(dòng)最大，六階速度曲線的加速度峰值最小，殘余振動(dòng)最小。當(dāng)曲線階數(shù)由二階增至六階，殘余振動(dòng)加速度峰值依次減少81.62%，54.91%，8.44%，0.95%。穩(wěn)態(tài)時(shí)間隨階數(shù)的增加而減小，依次減少了51.06%，53.45%，1.76%，0.97%；與此同時(shí)曲線段數(shù)由3段按指數(shù)增至63段。

表1 仿真結(jié)果Tab.1 Simulation Result

如圖6所示，隨著階數(shù)的增加，殘余振動(dòng)加速度峰值和穩(wěn)態(tài)時(shí)間逐漸減小。當(dāng)曲線階數(shù)大于四階時(shí)，殘余振動(dòng)加速度峰值和穩(wěn)態(tài)時(shí)間的大小逐漸趨于一致，但是曲線段數(shù)呈指數(shù)增加，速度曲線參數(shù)的計(jì)算量成倍增加，速度曲線性能卻幾乎沒有提升，因此，多項(xiàng)式速度曲線的最優(yōu)階選擇四階。

圖6 （a）殘余振動(dòng)仿真結(jié)果與曲線段數(shù)關(guān)系；（b）穩(wěn)態(tài)時(shí)間仿真結(jié)果與曲線段數(shù)關(guān)系Fig.6（a）Relationship between simulation results of re?sidual vibration and segments of curve；（b）Rela?tionship between simulation results of settling time and segments of curve

3.2 最優(yōu)階多項(xiàng)式速度曲線建立

四階多項(xiàng)速度曲線的曲線段數(shù)為十五段，每一段位移可由式（8）表示：

其 中：a0，a1，a2，a3和a4為 每 段 位 移 曲 線 的 參 數(shù)。若加速和減速過程中速度曲線關(guān)于時(shí)間對(duì)稱，只需要計(jì)算出加速和勻速的曲線方程，減速的曲線方程可以由對(duì)稱關(guān)系推導(dǎo)，這將大大簡(jiǎn)化曲線方程，同時(shí)減小在運(yùn)動(dòng)過程中曲線參數(shù)實(shí)時(shí)在線計(jì)算的運(yùn)算量。

3.3 曲線分類

由速度Vmax、加速度Amax、加加速度Jmax及其一階導(dǎo)數(shù)Pmax的值可得出臨界位移SⅠ，當(dāng)位移S≥SⅠ時(shí)，速度、加速度或加加速度均能以最短時(shí)間達(dá)到最大值并持續(xù)，滿足時(shí)間最優(yōu)原則。當(dāng)位移S小于臨界位移SⅠ，運(yùn)動(dòng)過程中速度、加速度或加加速度將不能保持持續(xù)的最大值，但仍滿足時(shí)間最優(yōu)原則?？蓪⑶闆r分為以下三種：

（1）只有速度不能保持最大值，此時(shí)T8=0，臨界值為SⅠ=Vmax（4T1+2T2+T4）；

（2）速度和加速度不能保持最大值，此時(shí)T8=0，T4=0，臨界值為SⅡ=2Ama（x2T1+T2）2；

（3）速度、加速度和加加速度均不能保持最大值，此時(shí)T8=0，T4=0，T2=T6=0，臨界值為SⅢ=8JmaxT13。

當(dāng)SⅡ≤S

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證所提出的最優(yōu)階多項(xiàng)式速度曲線的有效性，在如圖7所示的結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。懸臂梁結(jié)構(gòu)在x-y運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的帶動(dòng)下在兩個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，由于結(jié)構(gòu)的特性，在x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，懸臂梁的殘余振動(dòng)最大?？刂葡到y(tǒng)以嵌入式處理器STM 32F407VET 6為核心，控制算法通過C語(yǔ)言進(jìn)行編寫。根據(jù)輸入?yún)?shù)和x-y運(yùn)動(dòng)平臺(tái)光柵尺的位置反饋進(jìn)行參數(shù)的實(shí)時(shí)計(jì)算與調(diào)整，生成運(yùn)動(dòng)執(zhí)行指令實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)驅(qū)動(dòng)部分由步進(jìn)電機(jī)與滾珠絲桿組成，絲桿導(dǎo)程為2 mm，電機(jī)步距角設(shè)為0.18°，此時(shí)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)分辨率為1μm；采用光柵尺進(jìn)行位置反饋，光柵尺分辨率為0.1μm，允許誤差設(shè)為±0.5μm，確保運(yùn)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)行的準(zhǔn)確性。通過懸臂梁最遠(yuǎn)端處的加速度傳感器，采集運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)的殘余振動(dòng)值，處理器處理后傳遞至上位機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，控制系統(tǒng)的采樣和控制周期T=0.5 ms。

圖7 柔性掃描平臺(tái)實(shí)驗(yàn)裝置Fig.7 Experiment setup of flexible scanning platform

x-y運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在x方向上按照給定運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，表2所示。運(yùn)動(dòng)結(jié)束后檢測(cè)殘余振動(dòng)加速度值，考慮實(shí)際測(cè)試環(huán)境和加速度傳感器噪聲影響，取殘余振動(dòng)加速度允許誤差εa=50 mm·s-2，此時(shí)殘余振動(dòng)位移誤差εs≈3.5μm。

表2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.2 Parameters for the experiment setup

實(shí)際殘余振動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示，梯形速度曲線殘余振動(dòng)加速度峰值與穩(wěn)態(tài)時(shí)間均最大，五階多項(xiàng)式速度曲線的加速度峰值與穩(wěn)態(tài)時(shí)間最小。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果相吻合，即隨著速度曲線階數(shù)的增加，殘余振動(dòng)加速度峰值減小，穩(wěn)態(tài)時(shí)間縮短。

圖8 殘余振動(dòng)結(jié)果Fig.8 Results of residual vibration

表3為振動(dòng)加速度峰值和穩(wěn)態(tài)時(shí)間統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，梯形速度曲線的殘余振動(dòng)加速度峰值與穩(wěn)態(tài)時(shí)間均最高，隨著速度曲線階數(shù)的增加，控制效果依次提升。速度曲線階數(shù)由二階增至五階時(shí)，加速度峰值依次減少43.78%，42.94%，4.79%；穩(wěn)態(tài)時(shí)間依次減少25.80%，32.50%，6.53%。速度曲線階數(shù)由四階增加至五階提升的控制效果遠(yuǎn)小于由三階增加至四階提升的控制效果，但隨著階數(shù)的增加，曲線段數(shù)指數(shù)增加，控制器計(jì)算負(fù)載也同時(shí)增加，控制成本升高［12］，綜合考慮，速度曲線最優(yōu)階數(shù)為四階。

表3 實(shí)際振動(dòng)加速度峰值與穩(wěn)態(tài)時(shí)間Tab.3 Result of vibration acceleration peak and settling time

5 結(jié) 論

本文針對(duì)高精度柔性掃描平臺(tái)在現(xiàn)有速度曲線下運(yùn)動(dòng)時(shí)存在運(yùn)算量大、殘余振動(dòng)較大與穩(wěn)態(tài)時(shí)間較長(zhǎng)等問題，基于時(shí)間最優(yōu)原則對(duì)掃描平臺(tái)簡(jiǎn)化模型進(jìn)行不同階數(shù)多項(xiàng)式速度曲線的殘余振動(dòng)仿真分析，確定多項(xiàng)式速度曲線最優(yōu)階為四階，并建立對(duì)稱式四階多項(xiàng)式速度曲線方程。以高精度柔性掃描平臺(tái)為實(shí)際被控對(duì)象進(jìn)行了二階（梯形）、三階、四階和五階多項(xiàng)式速度曲線殘余振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，速度曲線最優(yōu)階為四階，與仿真結(jié)果相符；與傳統(tǒng)的梯形速度曲線相比，對(duì)稱式四階多項(xiàng)式速度曲線殘余振動(dòng)加速度峰值降低了67.91%，穩(wěn)態(tài)時(shí)間縮短了49.92%；與三階多項(xiàng)式速度曲線相比，對(duì)稱式四階多項(xiàng)式速度曲線殘余振動(dòng)加速度峰值降低了42.94%，穩(wěn)態(tài)時(shí)間縮短了32.50%。本文所提出的最優(yōu)階多項(xiàng)式速度曲線顯著降低了高精度柔性掃描平臺(tái)殘余振動(dòng)，縮短穩(wěn)態(tài)時(shí)間，提高了運(yùn)行效率。