審辨差異 異中求同

文／王偉春

在實際的解題過程中，許多同學因為分不清“有放回地取”“不放回地取”“一起取”三種模型的區(qū)別而導致失分。下面，老師將通過三個例題的講解來區(qū)分三種模型，從而幫助同學們找出規(guī)律，解決概率中的難點。

模型一：有放回地連續(xù)取兩次

例1 （2021·江蘇南通）一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4。

（1）隨機摸取一個小球的標號是奇數(shù)，該事件的概率為________；

（2）隨機摸取一個小球后放回，再隨機摸取一個小球。求兩次取出小球標號的和等于5的概率。

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與兩次取出的小球和是5的結果，再利用概率公式求解。

（2）列表格如下：

第一個和第二個_____1 2__________________3__________________4 1 2_____3 4_____5_____2 3_____4 5_____6_____3 4_____5 6_____7_____4 5__6__7___8___

由表格可知，共有16 種等可能的結果，兩次取出小球標號的和等于5的結果有4種，

模型二：不放回地連續(xù)取兩次

例2 （2021·江蘇常州）在3張相同的小紙條上，分別寫上條件：①四邊形ABCD是菱形；②四邊形ABCD有一個內(nèi)角是直角；③四邊形ABCD的對角線相等。將這3張小紙條做成3支簽，放在一個不透明的盒子中。

（1）攪勻后從中任意抽出1 支簽，抽到條件①的概率是________；

（2）攪勻后先從中任意抽出1 支簽（不放回），再從余下的2支簽中任意抽出1支簽。四邊形ABCD同時滿足抽到的2 張小紙條上的條件，求四邊形ABCD一定是正方形的概率。

【分析】（1）因為3 支簽被抽到是等可能的，所以可以直接利用概率公式求解；（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果為6 種，再根據(jù)題目要求利用概率公式求解即可。

（2）畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有6 種等可能的結果，四邊形ABCD一定是正方形的結果有4種，

模型三：一次取兩個

例3 （2021·江蘇鹽城）圓周率π 是無限不循環(huán)小數(shù)。歷史上，祖沖之、劉徽、韋達、歐拉等數(shù)學家都對π有過深入的研究。目前，超級計算機已計算出π 的小數(shù)部分超過31.4萬億位。有學者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9 這10 個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，接近相同。

（1）從π 的小數(shù)部分隨機取出一個數(shù)字，估計數(shù)字是6的概率為________；

（2）某校進行校園文化建設，擬從以上4位科學家的畫像中隨機選用2 幅，求其中有一幅是祖沖之的概率。（用畫樹狀圖或列表方法求解。）

【分析】（1）根據(jù)“隨著π 小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9 這10 個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，接近相同”即可判斷結果；（2）首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與其中有一幅是祖沖之的情況，再利用概率公式求解即可。

（2）將祖沖之、劉徽、韋達、歐拉四位數(shù)學家分別記作甲、乙、丙、丁，列表格如下：

第一幅結果甲乙丙丁第二幅_______________________________________甲______________乙______________丙______________丁乙，甲甲，乙________甲，丙_甲，丁_丙，甲丙，乙_乙，丙________乙，丁_丁，甲丁，乙丁，丙丙，丁_______

由表格可知，共有12 種等可能的結果，其中有一幅是祖沖之的有6種結果，