巧妙構(gòu)造輔助線解決與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題

車(chē)帥

【摘要】初三數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)面臨時(shí)間緊、知識(shí)點(diǎn)多等問(wèn)題，所以幫助學(xué)生建立知識(shí)體系是事半功倍的復(fù)習(xí)方法.添加適當(dāng)?shù)妮o助線解決幾何問(wèn)題一直是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文就遇到中點(diǎn)常作輔助線的方法做一下總結(jié).

【關(guān)鍵詞】中線倍長(zhǎng);中位線;三線合一;垂徑定理

方法一：倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形

基本圖形所謂倍長(zhǎng)中線，就是把中線或過(guò)中點(diǎn)的線段延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，從而轉(zhuǎn)移邊角關(guān)系.如圖1，D為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到E，使得AD=DE，連接EC，可得到△ABD≌△ECD? EC=AB，∠E=∠BAE，∠B=∠ECDAB∥EC.

例1如圖2，△ABC中，D為BC中點(diǎn)，AB=5，AD=6，AC=13，求證：AB⊥AD.

分析點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，想到中線倍長(zhǎng)法構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)移邊角關(guān)系，利用勾股定理逆定理證明AB⊥AD.

證明延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AD=6.

∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=DC.

∵∠ADC=∠BDE，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE=AC=13.

∵AB=5，AE=12，∴∠EAB=90°，

∴AB⊥AD.

例2如圖3，BD平分∠ABC交AC于D，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，且AD=DE，EF∥BC交BD于F，

求證：AB=EF.

分析由AD=DE，想到延長(zhǎng)BD到K，使得BD=DK，構(gòu)造△ADB≌△EDK，由平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等量代換，得∠DFE=∠K，最后由等角對(duì)等邊證得EF=AB.

證明延長(zhǎng)BD到K，使得BD=DK，連接KE.

∵AD=DE，∠ADB=∠KDE，BD=DK，

∴△ADB≌△EDK（SAS），

∴AB=KE，∠ABD=∠K.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC.

∵EF∥BC，

∴∠DFE=∠DBC，

∴∠DFE=∠K，∴EF=EK，∴EF=AB.

注意，當(dāng)遇到平行線和中點(diǎn)時(shí)，一般不選擇中線倍長(zhǎng)的方法，因?yàn)闀?huì)涉及證明三點(diǎn)共線，此時(shí)可以選擇延長(zhǎng)線段，構(gòu)造八字形.如圖4，已知AB∥CD，E為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)P，則△ABE≌△PCEAE=EP.

例3已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，DE⊥CE，求證：AD+BC=DC.

分析“平行線+中點(diǎn)”考慮構(gòu)造八字形，通過(guò)證△AEF≌△BEC，得到相等線段，利用中垂線性質(zhì)證得結(jié)論.

證明延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF.

∵AD∥BC，∴∠F=∠ECB.

∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE.

∵∠AEF=∠CEB，∴△AEF≌△BEC，

∴AF=BC，EF=EC.

∵DE⊥CE，∴DE是CF的中垂線，

∴DF=DC，∴DC=DF=AD+AF=AD+BC.

有時(shí)題中有中點(diǎn)但沒(méi)有平行線，這時(shí)要作平行構(gòu)造八字形，如圖6，過(guò)C作CD∥AB，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)P，則△ABE≌△PCEAE=EP.

例4如圖7，已知△ABC中，AB=AC，D，E分別是AB，BC上的點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若DE=EF，求證：BD=CF.

分析E是DF的中點(diǎn)，想到通過(guò)作平行線構(gòu)造八字形△DEK≌△FECCF=DK，再利用等角對(duì)等邊得到BD=DK，通過(guò)等量代換得到BD=CF.

圖7證明過(guò)點(diǎn)D作DK∥AC交BC于點(diǎn)K.

∵DK∥AC，∴∠F=∠KDE，∠ACB=∠DKB.

∵DE=EF，∠DEK=∠FEC，

∴△DEK≌△FEC，∴CF=DK.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

∴∠ABC=∠DKB，∴DB=DK=CF.

方法二：知一中點(diǎn)，找另一中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線

基本圖形如圖8，在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，可找另一邊AC的中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，利用三角形的中位線平行且等于第三邊的一半去解決線段相等及平行等問(wèn)題.

例5如圖9，在△ABC中，AD為BC邊上的中線.已知AC=5，AD=4，求AB的取值范圍.

分析已知D是BC中點(diǎn)，可找AC的中點(diǎn)E構(gòu)造三角形中位線，利用三角形三邊關(guān)系求出DE的取值范圍，再利用三角形中位線等于第三邊的一半求出AB的取值范圍.

解取AC中點(diǎn)E，連接DE.

∵E是AC中點(diǎn)，

∴AE=12AC=52.

∴32

∵D是BC中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線.

∴AB=2DE，∴3

方法三：中點(diǎn)遇等腰三角形，莫忘“三線合一”

基本圖形如圖10，當(dāng)?shù)妊切蜛BC中有底邊中點(diǎn)D時(shí)，常連底邊中線，利用等腰三角形底邊中線、頂角平分線、底邊高重合去解決垂直、角相等等問(wèn)題.

例6如圖11，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，E為BC邊上的中點(diǎn)，若EF⊥AC于點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng).

分析“等腰+中點(diǎn)”考慮三線合一，所以連接AE得到Rt△AEC，進(jìn)而用等面積法求直角三角形斜邊上的高.

解連接AE.

∵AB=AC，E為BC中點(diǎn)，

∴AE⊥BC，CE=12BC=6.

由勾股定理，得AE=8.

∵EF⊥AC，

由等面積法，得AE·CE=AC·EF，

∴6×8=10EF，

∴EF=245.

方法四：中點(diǎn)遇直角三角形，考慮直角三角形斜邊中線等于斜邊一半

基本圖形如圖12，當(dāng)D是Rt△ABC的斜邊中點(diǎn)時(shí)，連接ADAD=12BCAD=CD=BD△ABD和△ADC是等腰三角形.

例7如圖13，在△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且CE=CF=12AB，求∠EMF的度數(shù).

分析由M是直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，想到連接CM，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半CM=12AB，因?yàn)镃E=CF=12AB△CEM和△CFM是等腰三角形∠F=∠FMC和∠E=∠EMC，進(jìn)而利用外角可求得∠EMF的度數(shù).

解連接CM.

∵∠ACB=90°，M是AB中點(diǎn)，

∴CM=12AB.

∵CE=CF=12AB，∴CM=CF=CE.

∴∠E=∠CME，∠F=∠CMF.

∵∠ACM=∠F+∠CMF，∠MCB=∠E+∠CME，

∴∠FME=∠CMF+∠CME=12∠ACB=45°.

方法五：遇到中點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)作平行線，得到相似三角形

基本圖形如圖14，D是AB中點(diǎn)，過(guò)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E△ADE∽△ABCADAB=AEAC，根據(jù)D是AB中點(diǎn)AE[]AC=AD[]AB=1[]2E是AC中點(diǎn)DE是△ABC的中位線.

方法五和方法二可以互相推得，在應(yīng)用時(shí)可以選擇最合適的添加輔助線的方法.

例8如圖15，已知AD，BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，垂足為點(diǎn)F，AD=BE=4，求AC的長(zhǎng).

分析過(guò)BC中點(diǎn)D作DK∥AC，可巧妙地構(gòu)造一組相似三角形△BDK，△BCE和一組全等三角形△ABF，△DBF，運(yùn)用相似三角形、全等三角形的性質(zhì)，可得到AC與AE的數(shù)量關(guān)系以及DF，KF的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理求出DK，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng).

解過(guò)點(diǎn)D作DK∥AC，交BE于點(diǎn)K.

∵AD⊥BE，∴∠AFB=∠DFB=90°.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE.

∵BF=BF，∴△ABF≌△DBF.

∴AF=DF.∵DK∥AC，

∴∠AEK=∠DKE，∠KDF=∠EAF，

∴△DKF≌△AEF，∴KF=FE，DK=AE.

∵DK∥AC，D是BC的中點(diǎn)，

∴K是BE的中點(diǎn)，∴DK是△BCE的中位線，

∴CE=2DK，∴AC=3DK.∵BE=AD=4，∴DF=2，KF=1.

由勾股定理，得DK=5，

∴AC=35.

方法六：圓中遇到弦、弧中點(diǎn)，考慮垂徑定理及其推論、圓心角定理、圓周角定理

基本圖形如圖16，當(dāng)點(diǎn)F為弦AB的中點(diǎn)時(shí)，連接OF并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C，D，則直徑CD平分弦AB所對(duì)應(yīng)的優(yōu)弧和劣弧，且垂直于AB.

如圖17，當(dāng)點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)時(shí)，可知CB=BD，∠COB=∠BOD，∠CAB=∠BAD.

例9如圖18，已知F，G分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，AB=CD，求證：∠AFG=∠CGF.

分析連接弦心距OF，OG，得到∠OFA=∠OGC=90°，由OF=OG，得到∠OFG=∠OGF，最后用等式的基本性質(zhì)推出答案.

證明連接弦心距OF，OG.

∵AF=BF，DG=CG，∴OF⊥AB，OG⊥CD.

∴∠OFA=∠OGC=90°.

由勾股定理，得OF=OG，

∴∠OFG=∠OGF.

∴∠OFA-∠OFG=∠OGC-∠OGF，

∴∠AFG=∠CGF.

以上是對(duì)遇到中點(diǎn)常作輔助線方法的一個(gè)總結(jié)，這幾種輔助線添加方法不是相互獨(dú)立的，有些是可以相互推導(dǎo)的，所以，做題過(guò)程中究竟添加何種輔助線，或是添加幾條輔助線更合適，要因題而異，靈活應(yīng)對(duì).有些題可能添加輔助線的方式不止一種，究竟添加哪一種更合適，需要大家對(duì)這幾種輔助線添加方法的實(shí)質(zhì)理解清晰、透徹.