怎樣運(yùn)用設(shè)參法解答與圓有關(guān)的問題

王懷麗

設(shè)參法是指適當(dāng)引入一些與變量相關(guān)的參數(shù)，從而解答問題的方法.設(shè)參法在解答高中數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用廣泛，尤其在解答函數(shù)、不等式、方程、三角函數(shù)、解析幾何等問題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到設(shè)參法.運(yùn)用參數(shù)法解答與圓有關(guān)的問題，需根據(jù)解題需求引入相關(guān)的參數(shù)，列出目標(biāo)關(guān)系式，根據(jù)題設(shè)條件和圖形的幾何性質(zhì)，將目標(biāo)關(guān)系式進(jìn)行化簡、變形，從而求得結(jié)果.主要有以下幾個(gè)步驟：

1.設(shè)出適當(dāng)?shù)膮?shù)（參數(shù)的個(gè)數(shù)可取一個(gè)或多個(gè)）.根據(jù)圓的參數(shù)方程一般可設(shè)圓心在點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為

2.根據(jù)題意建立關(guān)于參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)式，并用參數(shù)表示出目標(biāo)式;

3.通過恒等變換消去參數(shù)，使問題得解.

運(yùn)用設(shè)參法解答與圓有關(guān)的問題，常會(huì)將問題轉(zhuǎn)化為與參數(shù)有關(guān)的代數(shù)問題來求解.下面舉例說明.

例1.

由于該圓為單位元，所以我們需先以 O 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)θ，就可以表示出圓上的動(dòng)點(diǎn)，求得，通過向量運(yùn)算和三角恒等變換即可求得目標(biāo)式，利用正弦函數(shù)的有界性就能求得的取值范圍.

例2.

解：

解答本題，需根據(jù)圓和正方形的特征，設(shè)出參數(shù)角α，然后用α表示出各條邊和各個(gè)角，求出 OC 的表達(dá)式，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.

例3.

解：

解答本題，需充分利用直線的斜率公式、單位圓的性質(zhì)以及圓的參數(shù)方程.設(shè)出參數(shù)k，便可將直線 PQ 的斜率表示出來，再借助點(diǎn)到直線的距離公式和韋達(dá)定理即可求得問題的答案.

可見，設(shè)參法是解答與圓有關(guān)的問題的重要方法，尤其在解答與動(dòng)點(diǎn)或者最值有關(guān)的問題時(shí)，運(yùn)用設(shè)參法能將問題轉(zhuǎn)化為與參數(shù)有關(guān)的三角函數(shù)問題、向量問題或方程問題，通過恒等變換將目標(biāo)式化簡、變形，消去參數(shù)即可求得問題的答案.

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖爾市杭錦后旗奮斗中學(xué)）