求數(shù)列前 n 項和的幾種途徑

俞洋琴

求數(shù)列前 n 項的和問題是各類數(shù)學試卷中的“常客”，是高考數(shù)學必考的內(nèi)容之一.因此，熟練掌握一些求數(shù)列和的技巧是很有必要的.筆者總結(jié)了三種求數(shù)列的途徑，供大家參考.

一、巧用公式法求和

一般來講，運用公式法解答數(shù)列求和問題，需先找出數(shù)列的通項公式，或者明確數(shù)列的首項、公差、公比、項數(shù)，然后將其代入等差數(shù)列的前 n 項求和公式或等比數(shù)列的前 n 項求和公式求解，即可求出數(shù)列的和。

例1.

解：

該問題綜合考查了等差、等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的前 n 項求和公式.在解答此類問題時，我們根據(jù)數(shù)列的通項公式、性質(zhì)，求得數(shù)列的首項、公差、公比、項數(shù)，便可根據(jù)數(shù)列的前 n 項和公式求得問題的答案.

二、分組求和

有些數(shù)列是由幾個等差、等比或常數(shù)數(shù)列組合而成的，對此我們需仔細觀察數(shù)列中各項之間的規(guī)律，將其合理分成幾組，使每一組為等差、等比或常數(shù)數(shù)列，分組進行求和.明確各組數(shù)列的通項公式、首項、公差、公比、項數(shù)，便可運用等差、等比數(shù)列的前 n 項和公式來求得數(shù)列前 n 項的和.

例2.

解：

列出數(shù)列的前 n 項和式后，就可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是由1個等差數(shù)列和1個等比數(shù)列的和構(gòu)成的，于是將數(shù)列分為2組，1組為等差數(shù)列，1組為等比數(shù)列，分別運用等差數(shù)列的前 n 項和公式以及錯位相減法就可以求得兩個數(shù)列的和，再綜合所得的結(jié)果即可求出數(shù)列的前 n 項和.

三、裂項相消求和

對于含有分式的數(shù)列，我們常采用裂項相消的技巧來求和.先將數(shù)列的通項公式裂為兩項之差的形式，然后將裂項后的各項相加，中間的某些項就可以相互抵消，化簡剩下的項即可求得數(shù)列前 n 項的和.

例3.

解：

運用裂項相消的技巧求和的思路較為簡單，但運算量較大，同學們要謹慎計算.

求數(shù)列前 n 項和的難度一般不大，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)數(shù)列的各項或通項公式找出數(shù)列各項之間的規(guī)律，選擇與之相應的途徑來解題.

（作者單位：江蘇省南通市海門四甲中學）