基于時(shí)空濃度梯度反演扁平微通道中平均流速的優(yōu)化算法

吳斯達(dá)，陳柯潔，曾 效，李泳江，覃開(kāi)蓉

大連理工大學(xué) 光電工程與儀器科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024

0 引言

近年來(lái)，隨著微流控芯片技術(shù)在化學(xué)、生命科學(xué)、醫(yī)學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，微流控通道內(nèi)流體的定量檢測(cè)與精確操控已成為重要的研究熱點(diǎn)[1]。速度是流場(chǎng)最主要的特征參數(shù)之一，因此微流控通道內(nèi)流速的測(cè)量對(duì)于研究微量多相流體的精準(zhǔn)操控、構(gòu)建復(fù)雜的離體生物力學(xué)微環(huán)境、控制生化反應(yīng)過(guò)程等都具有重要意義[2-4]。高度遠(yuǎn)小于橫向和縱向幾何尺寸的扁平微通道是最常見(jiàn)的微通道結(jié)構(gòu)形式，其高度方向的平均流速測(cè)量是定量分析壁面剪切力和物質(zhì)輸運(yùn)規(guī)律的前提[5-7]。

常見(jiàn)的流速測(cè)量方法是通過(guò)測(cè)量粒子跟隨流體的運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，例如微尺度粒子圖像測(cè)速法（micro-PIV）和微尺度粒子跟蹤測(cè)速法（micro-PTV）。前者通過(guò)連續(xù)拍攝記錄流場(chǎng)中的粒子群，比較相鄰時(shí)間間隔的粒子群位置變化來(lái)計(jì)算流體速度[8]；后者采用拉格朗日類(lèi)方法直接測(cè)量分析單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)，避免了micro-PIV 的平均效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了更高的空間精度[9-10]。但這類(lèi)基于粒子的測(cè)速方法在測(cè)量小尺度結(jié)構(gòu)時(shí)存在較大誤差，因?yàn)闇y(cè)量小尺度的流動(dòng)特性需要較大的示蹤粒子濃度，但過(guò)大的粒子濃度會(huì)引發(fā)激光穿透困難等問(wèn)題。此外，這類(lèi)方法的測(cè)量精度還受示蹤粒子跟隨性的影響[11-13]。隨著光學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，科研人員提出了點(diǎn)檢測(cè)掃描方法[14]。該方法利用光學(xué)儀器對(duì)準(zhǔn)激光進(jìn)行強(qiáng)聚焦，可以實(shí)現(xiàn)高分辨率的單點(diǎn)速度測(cè)量，但對(duì)系統(tǒng)的校準(zhǔn)精度要求較高，且設(shè)備昂貴、操作復(fù)雜。常見(jiàn)的測(cè)量方法還有標(biāo)量圖像測(cè)速法，其原理是從守恒標(biāo)量（如濃度、厚度）的觀測(cè)中獲取速度[15]。與基于粒子的測(cè)速技術(shù)相比，該方法不存在由粒子尺寸帶來(lái)的流場(chǎng)干擾和跟隨性誤差，可以更精確地實(shí)現(xiàn)流速測(cè)量，已被廣泛應(yīng)用于湍流研究和天氣預(yù)報(bào)[16-17]；而在微流控通道內(nèi)主要是低雷諾數(shù)的層流，標(biāo)量圖像的時(shí)空分布必然受流體對(duì)流-擴(kuò)散的共同作用，特別是在擴(kuò)散占優(yōu)的流動(dòng)條件下，標(biāo)量場(chǎng)的時(shí)空梯度分布與流場(chǎng)之間的耦合關(guān)系變得相對(duì)復(fù)雜，如何依據(jù)標(biāo)量場(chǎng)的時(shí)空分布確定微通道內(nèi)的流體流動(dòng)信息及相關(guān)影響因素尚有待于進(jìn)一步研究。

為實(shí)現(xiàn)扁平微通道內(nèi)流速的精確測(cè)量，本文以標(biāo)量圖像測(cè)速法為基礎(chǔ)，結(jié)合微通道內(nèi)物質(zhì)輸運(yùn)原理，提出了一種基于時(shí)空濃度梯度反演扁平微通道中平均流速的優(yōu)化算法。通過(guò)光學(xué)成像技術(shù)獲得微通道內(nèi)物質(zhì)的時(shí)空濃度梯度，利用扁平微通道結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，基于Taylor-Aris 彌散方程得到描述物質(zhì)濃度與平均流速間的定量關(guān)系，結(jié)合優(yōu)化問(wèn)題中最小化目標(biāo)函數(shù)的思想，計(jì)算得出扁平微通道內(nèi)流體的平均流速。通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證該優(yōu)化算法在無(wú)噪聲條件下的可行性和精度，分析噪聲條件下輸入濃度信號(hào)和物質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)對(duì)算法求解準(zhǔn)確度的影響。最后利用提出的方法分析微通道中物質(zhì)濃度圖像的時(shí)間序列，將優(yōu)化算法反演得到的流速與流量傳感器測(cè)量計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證算法的可行性和準(zhǔn)確性。

1 基于濃度場(chǎng)反演流速的方法

為了獲得微通道內(nèi)濃度場(chǎng)與平均流速之間的定量關(guān)系，首先基于Navier-Stokes 方程和Taylor-Aris 彌散方程構(gòu)建流道模型并進(jìn)行理論分析。待檢測(cè)的扁平直通道如圖1所示，其高為H，寬為W，長(zhǎng)為L(zhǎng)。

圖1 扁平直通道示意圖Fig.1 Schematic of a straight shallow microchannel

1.1 直接反演法

1.2 優(yōu)化算法

圖2 優(yōu)化算法流程圖Fig.2 Flow chart for the optimization algorithm

2 數(shù)值仿真

2.1 微通道內(nèi)時(shí)空濃度分布

為了研究基于濃度分布反演流速的方法，首先構(gòu)建了微通道內(nèi)物質(zhì)時(shí)空濃度分布。以扁平微通道為例構(gòu)建如圖1所示微通道，其長(zhǎng)度L為3 cm，寬度W為3 mm，高度H為150 μm。在微通道內(nèi)給定均勻分布的流速條件，按其形式可分為定常流和脈動(dòng)流。在脈動(dòng)流情況下，流速以正弦波形式變化，滿(mǎn)足其中為速度信號(hào)的平均值，λ2為速度信號(hào)的振幅，f2為速度信號(hào)的頻率。將通道始端正中間寬度為1 mm 的區(qū)域作為入口，向其通入濃度動(dòng)態(tài)變化的組分，其濃度以正弦波形式變化，滿(mǎn)足其中為濃度信號(hào)的平均值，λ1為濃度信號(hào)的振幅，f1為濃度信號(hào)的頻率。通過(guò)MATLAB 程序求解式（8），將速度作為已知量迭代求解濃度分布，邊界條件設(shè)為左右壁面和微通道出口處無(wú)濃度梯度，即可得到微通道內(nèi)時(shí)空濃度分布情況。圖3 為脈動(dòng)流入口濃度條件下物質(zhì)在微通 道內(nèi)傳輸5 s 和10 s 后的濃度分布。

圖3 微通道內(nèi)濃度分布仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of the concentration distribution in the microchannel

2.2 無(wú)噪聲條件下流速反演

基于構(gòu)建的微通道內(nèi)時(shí)空濃度分布，分別在定常流和脈動(dòng)流條件下，對(duì)無(wú)噪聲存在時(shí)以直接反演法與優(yōu)化算法計(jì)算平均流速的方法進(jìn)行了驗(yàn)證?；趧?dòng)態(tài)濃度信號(hào)在定常流中的濃度分布，圖4（a）給出了直接反演法和優(yōu)化算法計(jì)算得到的平均流速與真實(shí)流速的比較結(jié)果。結(jié)果表明：直接反演法所求流速在濃度信號(hào)處于極值點(diǎn)時(shí)有明顯誤差。原因是當(dāng)濃度處于極值點(diǎn)時(shí)，濃度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為零，式（10）中ci存在較大誤差；此外，一元二次方程的求解存在除法運(yùn)算，分母ai的微小波動(dòng)也會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生較大影響。相比之下，由優(yōu)化

算法求得的流速與真實(shí)流速幾乎完全重合，相對(duì)誤差ε=0.001%。在脈動(dòng)流情況下（圖4（b）），直接反演法所得流速在特定點(diǎn)處仍存在較大的計(jì)算誤差，而由優(yōu)化算法求得的平均流速與真實(shí)流速的相關(guān)系數(shù)R=1，相比于直接反演法有更高的反演精度。

圖4 直接反演法和優(yōu)化算法求得平均流速與真實(shí)流速對(duì)比Fig.4 Comparison between the real velocity and the average velocity derived based on the direct inversion method and the optimization algorithm

2.3 有噪聲條件下流速反演

由于實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的時(shí)空濃度分布通常存在噪聲，因此本節(jié)討論噪聲條件下物質(zhì)濃度信號(hào)的頻率、振幅和物質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)對(duì)流速求解的影響。通過(guò)在濃度數(shù)據(jù)中添加0.1% 的白噪聲來(lái)模擬實(shí)驗(yàn)測(cè)得濃度數(shù)據(jù)中的噪聲。

圖5 濃度信號(hào)參數(shù)對(duì)優(yōu)化算法反演平均流速的影響Fig.5 Influence of parameters of the concentration signals on the average velocity derived by the optimization algorithm

由仿真結(jié)果可知：在噪聲條件下，增大物質(zhì)濃度

信號(hào)的頻率和振幅、選擇擴(kuò)散系數(shù)較小的物質(zhì)可以提升優(yōu)化算法的準(zhǔn)確度。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置與方法

實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示，主要包括物質(zhì)濃度時(shí)空梯度生成裝置、具有扁平微通道的微流控芯片、倒置熒光顯微鏡和廢液回收裝置。實(shí)驗(yàn)中組合使用恒流泵和工控計(jì)算機(jī)控制的壓力泵作為濃度梯度生成裝置。

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.6 Experimental setup

利用該裝置確定扁平微通道內(nèi)平均流速包括以下步驟：在壓力泵配套的儲(chǔ)液管內(nèi)加入摩爾濃度為5 ×10–6mol/L 的羅丹明溶液，其擴(kuò)散系數(shù)為4.14×10–10m2/s，在恒流泵的注射器中加入去離子水，通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)控制兩泵，使其體積流率隨時(shí)間按照一定規(guī)律變化，進(jìn)而在微通道的入口處產(chǎn)生摩爾濃度隨時(shí)間變化的羅丹明溶液，由于橫向分子擴(kuò)散效應(yīng)，最終在扁平微通道中產(chǎn)生時(shí)空濃度梯度。待廢液回收裝置出現(xiàn)液體后，利用倒置熒光顯微鏡記錄距離微通道入口一定長(zhǎng)度處的測(cè)量視野內(nèi)不同時(shí)刻的羅丹明溶液摩爾濃度分布，進(jìn)而得到時(shí)間間隔為Δt的一

系列熒光圖像，如圖7所示。最后對(duì)所得圖像進(jìn)行處理：取不同時(shí)刻相同區(qū)域的熒光圖像，提取灰度值并轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)摩爾濃度值后代入優(yōu)化算法式子中，設(shè)置優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即可得到不同時(shí)刻下微通道內(nèi)的平均流速。

圖7 實(shí)驗(yàn)方法示意圖Fig.7 Schematic of experimental method

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)時(shí)采用的直線型微通道幾何尺寸如下：長(zhǎng)度4 cm，寬度4 mm，高度80 μm。將距離微通道入口2 cm 處作為顯微鏡觀測(cè)位置，照片拍攝幀率為13.407 Hz，空間分辨率為4 μm/pixel。實(shí)驗(yàn)時(shí)拍攝的熒光圖像如圖8所示。

圖8 實(shí)時(shí)熒光圖像Fig.8 Real-time fluorescent images

提取實(shí)驗(yàn)所得圖像序列的灰度值，進(jìn)行濾波降噪處理并轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)濃度值，代入優(yōu)化算法式子中求解微通道內(nèi)的平均流速。在相同條件下利用流量傳感器測(cè)量微通道內(nèi)的實(shí)時(shí)流量，用測(cè)量結(jié)果除以微通道橫截面積得到微通道內(nèi)的流速。將上述兩種方法測(cè)得的流速結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖9所示?？梢钥闯觯簝?yōu)化算法所得流速與使用傳感器測(cè)量計(jì)算的結(jié)果基本一致，速度變化的頻率預(yù)測(cè)準(zhǔn)確，幅值存在一定誤差，相關(guān)系數(shù)為0.9814。

圖9 優(yōu)化算法與流量傳感器測(cè)量計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison of the average velocity derived by the optimization algorithm and the experimental measurement by the flow sensor

4 結(jié)論

本文提出了基于時(shí)空濃度梯度反演扁平微通道中平均流速的優(yōu)化算法。無(wú)噪聲條件下優(yōu)化算法反演結(jié)果幾乎無(wú)誤差；噪聲條件下，增大濃度信號(hào)的頻率與振幅、采用擴(kuò)散系數(shù)較小的物質(zhì)可以提升算法的準(zhǔn)確度；優(yōu)化算法反演結(jié)果與流量傳感器測(cè)量計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，相關(guān)系數(shù)為0.9814。本文提出的方法操作簡(jiǎn)便、精度較高，是一種行之有效的微通道流速測(cè)量手段。