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    具Holling-III型治療函數(shù)的SEIR模型及其穩(wěn)定性分析

    2021-11-17 04:41:04朱惠延賀芳芳
    關(guān)鍵詞:特征方程參數(shù)值平衡點(diǎn)

    郭 宇,朱惠延,賀芳芳

    (南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

    simulation

    0 引 言

    傳染病一直影響著人類的健康,據(jù)世界衛(wèi)生組織(world health organization,WHO)報(bào)告,全球人口數(shù)近一半受到了各種不同傳染病的威脅[1]。數(shù)學(xué)模型對(duì)于分析和控制傳染病的傳播發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用,眾多專家、學(xué)者通過(guò)建立不同的傳染病感染模型來(lái)了解以及掌握疾病傳染的機(jī)制,從而為控制病情提出合理的解決方案[2]。

    (1)

    由于模型(1)中前三個(gè)方程不含R,因此只需討論前三個(gè)方程:

    (2)

    模型(2)的初始條件為:

    S(0)≥0,E(0)≥0,I(0)≥0。

    (3)

    1 模型的正定性與有界性

    由微分方程理論易知,若模型(2)滿足初始條件(3)非負(fù),那么解一定存在,設(shè)為(S(t),E(t),I(t))。

    定理1 對(duì)于任意的t>0,解(S(t),E(t),I(t))非負(fù)。

    證明:參考文獻(xiàn)[14]的方法,將模型(2)的第一個(gè)方程轉(zhuǎn)化為:

    (4)

    (5)

    對(duì)等式(5)兩邊從0到t1積分得:

    (6)

    同理可得

    (7)

    (8)

    顯然由式(6)知S(t)>0,現(xiàn)考慮E(t)≥0。假設(shè)存在時(shí)間t′,使得I(t′)=0,I′(t′)<0,當(dāng)00,矛盾,因此由式(7)與式(8)知E(t)≥

    0,I(t)≥0,定理1得證。

    定理2 解(S(t),E(t),I(t))是一致有界的,即存在M>0,使得S(t)

    證明:將模型(2)的三個(gè)方程相加得:

    (9)

    由式(9)得

    (S(0)+E(0)+I(0))e-μt,

    (10)

    2 無(wú)病平衡點(diǎn)與基本再生數(shù)

    設(shè)X=(S,E,I)T,將模型(2)表示為如式(11)形式:

    (11)

    其中

    求得F(X)與V(X)在無(wú)病平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣為:

    因此

    得到模型(2)的基本再生數(shù)為

    定理3 當(dāng)R0<1時(shí),模型(2)中無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí),E0則不穩(wěn)定。

    證明:模型(2)在E0處的Jacobian矩陣為:

    因此特征方程為|λI-J(E0)|=(λ+μ)(λ2+a11λ+a22)=0,其中

    a11=2μ+ε+r+d,

    a22=(1-R0)(μ+ε)(μ+r+d)。

    顯然,a11>0,λ=-μ<0為特征方程的一個(gè)負(fù)特征值;當(dāng)R0<1時(shí),有a22>0,再結(jié)合Routh-Hurwitz判據(jù)[16]知|λI-J(E0)|=0的特征根均具有負(fù)實(shí)部,即當(dāng)R0<1時(shí),模型(2)中無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí),E0不穩(wěn)定。

    3 地方病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

    由模型(2)可求得地方病平衡點(diǎn)為:

    I*為三次方程b11I*3+b22I*2+b33I*+b44=0的正根,其中

    b11=α(μ+ε)(μ+r+d)(β+μb),

    b22=αμ(μ+ε)(μ+r+d)+c(μ+ε)(β+μb)-Αβεα,

    b33=(μ+ε)(μ+r+d)(β+μb)+μc(μ+ε),

    b44=μ(μ+ε)(μ+r+d)(1-R0)。

    由于參數(shù)都為正數(shù),顯然b11>0,b33>0。若R0<1,可知b44>0;若R0>1,可知b44<0。因此,模型(2)正根個(gè)數(shù)由b22,b44的符號(hào)決定,下面根據(jù)笛卡爾符號(hào)準(zhǔn)則來(lái)判斷f(I)=b11I*3+b22I*2+b33I*+b44可能的正根個(gè)數(shù)。

    由表1可以得到如下結(jié)論。

    表1 方程f(I)=0可能的正根數(shù)Table 1 The number of possible positive roots of f(I)=0

    定理5 模型(2)的正平衡點(diǎn)有如下幾種情況。

    (1)當(dāng)R0<1,b22>0時(shí),模型(2)不存在地方病平衡點(diǎn);

    (2)當(dāng)R0>1,b22>0時(shí),模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn);

    (3)當(dāng)R0<1,b22<0時(shí),模型(2)存在零個(gè)或兩個(gè)地方病平衡點(diǎn);

    (4)當(dāng)R0>1,b22<0時(shí),模型(2)至少存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn)。

    定理6 當(dāng)R0>1且0

    證明:模型(2)在E1處的Jacobian矩陣為:

    因此特征方程為

    |λI-J(E1)|=λ3+c11λ2+c22λ+c33=0,

    其中

    αI*2)2+c+cI*(2b-αI*)),

    (b(μ+r+d)(1+αI*2)2+c+cI*(2b-

    αI*))。

    由于b(μ+r+d)(1+αI*2)2+c+2cbI*>2b(μ+r+d)αI*2,因此只要滿足2b(μ+r+d)αI*2>cαI*2即c<2b(μ+r+d),M才為正。

    顯然,當(dāng)01時(shí),c11,c22,c33都大于0,同時(shí)滿足c11c22>c33,結(jié)合Routh-Hurwitz判據(jù)[16]知當(dāng)01時(shí),若模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E1(S*,E*,I*),則E1(S*,E*,I*)是局部漸近穩(wěn)定的。

    4 數(shù)值模擬

    下面通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)模型(2)所得的穩(wěn)定性結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

    1)選取參數(shù)值Α=2,β=0.05,ε=0.8,μ=0.2,b=5,c=0.5,α=5,r=0.2,d=0.2,由這些參數(shù)值可得模型(2)基本再生數(shù)R0≈0.667<1,模型(2)存在唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)E0(10,0,0),且E0是局部漸近穩(wěn)定的,結(jié)果見(jiàn)圖1。

    圖1 S,E,I的時(shí)序圖與解的軌跡圖(R0<1)Fig.1 Time series of S,E,I of the system and the phase trajectory of the system(R0<1)

    2)選取參數(shù)值Α=2,β=0.1,ε=0.8,μ=0.2,b=1,c=0.8,α=2,r=0.1,d=0.1,計(jì)算得到模型(2)基本再生數(shù)R0=2>1,且參數(shù)值滿足c<2b(μ+r+d),b22=0.08>0,b44<0,此時(shí)模型(2)存在唯一地方病平衡點(diǎn)E1(9.081 9,0.183 6,0.253 4),該地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的,結(jié)果見(jiàn)圖2。

    圖2 S,E,I的時(shí)序圖與解的軌跡圖(R0>1)Fig.2 Time series of S,E,I of the system and the phase trajectory of the system(R0>1)

    5 結(jié) 論

    本文建立并研究了一類具Holling-III型治療函數(shù)的SEIR傳染病模型,運(yùn)用常微分方程穩(wěn)定性理論對(duì)模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。研究發(fā)現(xiàn),在基本再生數(shù)R0<1處模型只存在唯一的無(wú)病平衡點(diǎn),且無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)基本再生數(shù)R0>1時(shí),此時(shí)模型不僅存在無(wú)病平衡點(diǎn),還存在一個(gè)或三個(gè)地方病平衡點(diǎn)。當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)地方病平衡點(diǎn)時(shí),本文給出了該地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定所需的條件。對(duì)于出現(xiàn)三個(gè)地方病平衡點(diǎn)時(shí)的情形,其穩(wěn)定性分析將是我們未來(lái)的研究工作。

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