BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

王 森，王良明，傅 健

(南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

1 引言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，對(duì)目標(biāo)的精確打擊已成為影響戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局的關(guān)鍵因素，越來越多的國(guó)家開始把精確打擊作為彈箭技術(shù)發(fā)展的重要方向。要準(zhǔn)確地命中目標(biāo)，就需要對(duì)彈丸的落點(diǎn)進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，從而根據(jù)預(yù)測(cè)落點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的偏差來調(diào)整彈上的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，使彈道得到修正，從而減小彈丸的脫靶量[1]。

目前主要采用彈道積分外推法來預(yù)測(cè)彈丸的落點(diǎn)[2]，該方法首先需要根據(jù)不同彈丸的運(yùn)動(dòng)特性建立外彈道方程，然后把彈丸飛行過程中某一點(diǎn)的飛行狀態(tài)參數(shù)帶入外彈道方程作為方程的積分初值，接著采用龍格庫(kù)塔法對(duì)彈道方程進(jìn)行積分解算，直到彈丸落地，從而獲得彈丸的落點(diǎn)位置。彈道積分外推法的解算精度由彈載計(jì)算機(jī)的性能和積分步長(zhǎng)決定。要想獲得較高的精度就需要選擇較小的積分步長(zhǎng)，這會(huì)使得解算時(shí)間過長(zhǎng)、所需計(jì)算資源較多，同時(shí)積分過程中的累積誤差也會(huì)增大。在彈道積分外推法的基礎(chǔ)上，一些學(xué)者把卡爾曼濾波法引入到了彈丸落點(diǎn)的預(yù)測(cè)中[3-5]，在一定程度上降低了隨機(jī)噪聲和累計(jì)誤差對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響。引入卡爾曼濾波雖然提高了積分外推法的容錯(cuò)能力，但其需要建立較為準(zhǔn)確的系統(tǒng)狀態(tài)模型和量測(cè)模型，由于彈道模型是非線性模型，因此在濾波的過程中會(huì)使計(jì)算量增大，從而使解算時(shí)間增長(zhǎng)。還有學(xué)者提出了使用多項(xiàng)式擬合預(yù)測(cè)落點(diǎn)的方法[6-7]，通過擬合彈丸各狀態(tài)變量與飛行時(shí)間的關(guān)系來計(jì)算落點(diǎn)。該方法的解算時(shí)間較快，但在精度上還有待提升。

近年來，越來越多的智能算法被應(yīng)用于系統(tǒng)控制、模式識(shí)別、性能預(yù)測(cè)等領(lǐng)域，其中，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是使用較為活躍的一種方法。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)受到生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行機(jī)理的啟發(fā)，采用分布式并行運(yùn)算的方法來對(duì)輸入的信息進(jìn)行處理，并且在輸入信息的傳遞過程中使用了非線性激活函數(shù)，使其具有非線性映射能力和容錯(cuò)性，非常適用于處理非線性系統(tǒng)的問題。因此，本文把人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)問題相結(jié)合，提出了基于BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)方法。

2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

2.1 標(biāo)準(zhǔn)BP算法

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back Propagation Neural Network，BPNN)，即反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，屬于多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有輸入層、隱含層和輸出層，各層之間的神經(jīng)元采用全連接的方式，每一層中的神經(jīng)元互不相連。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用輸入信號(hào)正向傳遞和輸出誤差反向傳播的監(jiān)督式學(xué)習(xí)規(guī)則，是目前各種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中運(yùn)用最為廣泛的一種，具有較為成熟的理論體系[8]。輸入信號(hào)在網(wǎng)絡(luò)中的正向傳遞會(huì)產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出，通過比較實(shí)際輸出與輸入信號(hào)的期望輸出，得到網(wǎng)絡(luò)的誤差，將得到的誤差從輸出層傳入網(wǎng)絡(luò)，采用梯度下降法對(duì)網(wǎng)絡(luò)各層的權(quán)值和閾值進(jìn)行修正，當(dāng)樣本的輸出誤差收斂于設(shè)定誤差時(shí)，結(jié)束訓(xùn)練過程，得到網(wǎng)絡(luò)模型。典型的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

圖中，xj為輸入層第j個(gè)神經(jīng)元的輸入，j=1，2，…n；wij為輸入層第j個(gè)神經(jīng)元到隱含層第i個(gè)神經(jīng)元之間的權(quán)值，i=1，2，…h(huán)；bi為隱含層第i個(gè)神經(jīng)元的閾值；φ為隱含層的激活函數(shù)；wki為隱含層第i個(gè)神經(jīng)元到輸出層第k個(gè)神經(jīng)元之間的權(quán)值，k=1，2，…m；ak為輸出層第k個(gè)神經(jīng)元的閾值；ψ為輸出層的激活函數(shù)；yk為輸出層第k個(gè)神經(jīng)元的輸出。

1) 信號(hào)的正向傳遞過程。

隱含層第i個(gè)神經(jīng)元的輸入neti和輸出oi為

(1)

(2)

輸出層第k個(gè)神經(jīng)元的輸入netk和輸出yk為

(3)

(4)

2) 誤差的反向傳播過程。

對(duì)于每一個(gè)樣本p，設(shè)其輸出層第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的期望輸出為Tk，則此樣本的二次型誤差目標(biāo)函數(shù)Ep為

(5)

得出樣本的期望輸出和網(wǎng)絡(luò)正向輸出之間的誤差后，給定學(xué)習(xí)率η，就可根據(jù)梯度下降法按照誤差目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向?qū)敵鰧雍碗[含層的各參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

輸出層權(quán)值的修正量和閾值的修正量為

(6)

(7)

隱含層權(quán)值的修正量Δwij和閾值的修正量Δbi為

(8)

(9)

2.2 標(biāo)準(zhǔn)BP算法的改進(jìn)

標(biāo)準(zhǔn)BP算法使用的是非線性規(guī)劃方法中的最速下降法，其要解決的問題是讓設(shè)定的誤差目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，即讓網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出與期望輸出最為接近，從而獲得網(wǎng)絡(luò)各層權(quán)值和閾值的最優(yōu)值。因?yàn)槠浒凑照`差目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向來計(jì)算網(wǎng)絡(luò)各參數(shù)的調(diào)整量，所以存在陷入局部極小值的問題，并且標(biāo)準(zhǔn)BP算法也需要較長(zhǎng)的時(shí)間來訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)以使誤差收斂[9]。為解決標(biāo)準(zhǔn)BP算法的不足，已提出了一些改進(jìn)的方法，如變學(xué)習(xí)率算法、附加動(dòng)量算法、高斯-牛頓算法、共軛梯度算法、Levenberg-Marquardt(LM)算法等數(shù)值優(yōu)化算法。在這些改進(jìn)算法中，LM算法是高斯-牛頓算法的變形，常用于最小化作為其它非線性函數(shù)平方和的函數(shù)，所以非常適合于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化[10-11]。本文采用LM算法對(duì)標(biāo)準(zhǔn)BP算法進(jìn)行改進(jìn)。

設(shè)x為網(wǎng)絡(luò)各層權(quán)值和閾值構(gòu)成的向量，其修正量為Δx，有

xk+1=xk+Δx

(10)

式中，k為迭代次數(shù)。

誤差目標(biāo)函數(shù)為

(11)

式中，e(x)為實(shí)際輸出與期望輸出的誤差。

由牛頓法則有

Δx=-[?2E(x)]-1?E(x)

(12)

式中，?2E(x)為E(x)的Hessian矩陣，?E(x)表示梯度，兩者的計(jì)算式為：

?E(x)=JT(x)e(x)

(13)

?2E(x)=JT(x)J(x)+S(x)

(14)

式中，S(x)為誤差函數(shù)，J為雅克比矩陣，兩者的計(jì)算式為

(15)

(16)

對(duì)于高斯-牛頓法則，有

(17)

LM算法改進(jìn)了上式，Δx的計(jì)算式為

(18)

式中，μ為比例系數(shù)，μ>0；I為單位矩陣。

可以看出，LM算法是梯度下降算法和高斯-牛頓算法的結(jié)合。當(dāng)μ的取值較大時(shí)，LM算法近似于前者；當(dāng)μ的取值較小時(shí)，LM算法又接近于后者。因此，LM算法綜合了二者的優(yōu)點(diǎn)，使訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)所需的時(shí)間短、網(wǎng)絡(luò)誤差的收斂過程穩(wěn)定，并且更容易得到全局最優(yōu)值。

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的落點(diǎn)預(yù)測(cè)方法

3.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的確定

根據(jù)外彈道理論[2]，彈丸當(dāng)前狀態(tài)參數(shù)與彈丸落點(diǎn)之間存在著非線性關(guān)系，形式為

O=F(I)

(19)

式中，O為落點(diǎn)信息，I為彈丸當(dāng)前狀態(tài)參數(shù)。

由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性映射有著很好的逼近關(guān)系，所以可以通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到彈丸當(dāng)前狀態(tài)參數(shù)與落點(diǎn)之間的一種映射關(guān)系F′(I)，使得F′(I)→F(I)，即可通過F′(I)得到彈丸的落點(diǎn)信息。

考慮到彈丸在飛行過程中參數(shù)的易獲得性，選擇彈丸當(dāng)前位置在地面坐標(biāo)系中的分量x、y、z和速度在地面坐標(biāo)系中的分量vx、vy、vz作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層的輸入，彈丸落點(diǎn)信息(射程X和橫偏Z)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層的輸出。

由Kolmogorov定理知，對(duì)于給定的任一連續(xù)函數(shù)，可通過一個(gè)三層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)其映射關(guān)系[12]。當(dāng)隱含層層數(shù)過多時(shí)，會(huì)使誤差的反向傳播變得復(fù)雜，可能導(dǎo)致誤差函數(shù)收斂時(shí)間過長(zhǎng)甚至出現(xiàn)無(wú)法收斂的情況。因此，本文選擇的隱含層數(shù)為1層。對(duì)于隱含層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)目的選取，目前并無(wú)確定的選擇方法，較多的是使用經(jīng)驗(yàn)公式來確定其數(shù)目[13]

(20)

式中，n1為輸入層神經(jīng)元個(gè)數(shù)，n2為隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)，n3為輸出層神經(jīng)元個(gè)數(shù)，a為常數(shù)(取值0～10)。通過對(duì)隱含層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)目不同取值的仿真，本文最后選取隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為13。

綜上所述，本文選取的用于彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為6-13-2，如圖2所示。

圖2 落點(diǎn)預(yù)測(cè)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

3.2 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練

本文用于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的彈道數(shù)據(jù)通過在不同的初始射角條件下使用四階龍格庫(kù)塔法解算六自由度外彈道方程得到。射角范圍設(shè)置為從6°開始，每隔2°計(jì)算一條彈道，直到射角為70°時(shí)停止；四階龍格庫(kù)塔法的積分步長(zhǎng)設(shè)置為0.005s；彈丸狀態(tài)參數(shù)的采集時(shí)間為發(fā)射后5s至落地前5s，采集間隔為0.5s。將采集到的狀態(tài)參數(shù)與落點(diǎn)信息一一對(duì)應(yīng)，共得到4646組數(shù)據(jù)集。為了避免在訓(xùn)練過程中出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，提高網(wǎng)絡(luò)的推廣能力，將數(shù)據(jù)集的80%設(shè)置為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，20%設(shè)置為驗(yàn)證數(shù)據(jù)集[14-15]。在開始網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練之前，還需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，使輸入數(shù)據(jù)的值在0到1之間，以消除數(shù)據(jù)間數(shù)量級(jí)的差別對(duì)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的影響，歸一化公式為

(21)

式中，xi為歸一化后的數(shù)據(jù)，xk為待歸一化的數(shù)據(jù)，xmin為數(shù)據(jù)序列的最小值，xmax為數(shù)據(jù)序列的最大值。

按上述方法訓(xùn)練建立的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，待網(wǎng)絡(luò)的誤差收斂后就可得到用于預(yù)測(cè)彈丸落點(diǎn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，過程為：

1) 將仿真得到的數(shù)據(jù)集劃分為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和驗(yàn)證數(shù)據(jù)集，并歸一化數(shù)據(jù)集；

2) 初始化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各層的權(quán)值和閾值；

3) 利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)集對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出和期望輸出之間的誤差以LM算法來修正網(wǎng)絡(luò)各層的權(quán)值和閾值；

4) 利用驗(yàn)證數(shù)據(jù)集的網(wǎng)絡(luò)輸出對(duì)訓(xùn)練過程進(jìn)行過擬合情況的監(jiān)控；

5) 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的輸出誤差達(dá)到最優(yōu)時(shí)，停止網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程，得到落點(diǎn)預(yù)測(cè)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；

6) 輸入新的彈丸飛行狀態(tài)參數(shù)到訓(xùn)練好的模型中，網(wǎng)絡(luò)輸出預(yù)測(cè)的落點(diǎn)信息。

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果

按照上文所述的方法訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，訓(xùn)練結(jié)果如圖3所示。

圖3 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差收斂曲線

從圖中可以看出，網(wǎng)絡(luò)的輸出誤差以指數(shù)形式下降，并逐漸接近于所設(shè)定的誤差值。訓(xùn)練集與驗(yàn)證集的輸出誤差下降趨勢(shì)一致，網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程穩(wěn)定。當(dāng)訓(xùn)練次數(shù)達(dá)到1612次時(shí)，輸出誤差為6.7012×10-7，雖然還未降到設(shè)定誤差值10-7，但此時(shí)驗(yàn)證集的輸出誤差已達(dá)最小，因此訓(xùn)練過程提前停止，避免訓(xùn)練結(jié)果出現(xiàn)過擬合的情況。

4.2 落點(diǎn)預(yù)測(cè)仿真結(jié)果及分析

選擇訓(xùn)練數(shù)據(jù)集外的三組彈道數(shù)據(jù)(射角分別為35°、45°和55°)，并從每組彈道數(shù)據(jù)中隨機(jī)挑選30個(gè)彈道狀態(tài)點(diǎn)，以這30個(gè)狀態(tài)點(diǎn)的狀態(tài)參數(shù)(x、y、z、vx、vy、vz)作為測(cè)試數(shù)據(jù)，輸入已訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，來預(yù)測(cè)彈丸的落點(diǎn)。三組數(shù)據(jù)對(duì)彈丸射程和橫偏的預(yù)測(cè)誤差分別如圖4和圖5所示，每組數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)誤差絕對(duì)值的最大值、最小值和平均值如表1所示。

圖4 射程預(yù)測(cè)誤差

圖5 橫偏預(yù)測(cè)誤差

表1 預(yù)測(cè)誤差結(jié)果統(tǒng)計(jì)

由仿真結(jié)果可知，三組數(shù)據(jù)的射程預(yù)測(cè)誤差均不超過10m，橫偏預(yù)測(cè)誤差均不超過2m，經(jīng)過訓(xùn)練的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以較高的精度實(shí)現(xiàn)了彈丸當(dāng)前狀態(tài)參數(shù)(x、y、z、vx、vy、vz到落點(diǎn)信息(X、Z)的映射。在實(shí)際應(yīng)用中，可以擴(kuò)大神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)量，以得到更高精度的預(yù)測(cè)結(jié)果。

同時(shí)，從三組彈道數(shù)據(jù)共90個(gè)彈道狀態(tài)點(diǎn)中隨機(jī)選擇10個(gè)狀態(tài)點(diǎn)，分別統(tǒng)計(jì)數(shù)值積分法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的落點(diǎn)解算時(shí)間，結(jié)果如表2所示。

表2 落點(diǎn)解算時(shí)間

從解算時(shí)間的統(tǒng)計(jì)結(jié)果看，數(shù)值積分法的平均耗時(shí)為246.15ms，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的平均耗時(shí)為24.99ms，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法在彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)的解算時(shí)間上也有一定的優(yōu)勢(shì)。在實(shí)際應(yīng)用中，訓(xùn)練過程可離線完成，只需要把訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型裝入彈載計(jì)算機(jī)中用于彈丸落點(diǎn)的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)，因此可以節(jié)省大量的訓(xùn)練時(shí)間，滿足彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)的快速性要求。

5 結(jié)論

為實(shí)現(xiàn)彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)的快速性和準(zhǔn)確性，本文引入了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，并對(duì)標(biāo)準(zhǔn)BP算法進(jìn)行了改進(jìn)。以改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法為基礎(chǔ)，建立了彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，然后利用大量的彈丸狀態(tài)參數(shù)(x、y、z、vx、vy、vz)和落點(diǎn)信息(X、Z)對(duì)建立的模型進(jìn)行訓(xùn)練，最后對(duì)訓(xùn)練得到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了落點(diǎn)預(yù)測(cè)的仿真測(cè)試。仿真結(jié)果表明，射程預(yù)測(cè)誤差的最大值和最小值分別為9.332m和0.009m，橫偏預(yù)測(cè)誤差的最大值和最小值分別為1.933m和0.024m；同時(shí)該方法的彈丸落點(diǎn)平均解算時(shí)間比數(shù)值積分法少了221.16ms。因此，本文提出的方法能以較高的精度預(yù)測(cè)彈丸落點(diǎn)，并且解算時(shí)間優(yōu)于數(shù)值積分算法，可以為彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)的實(shí)際應(yīng)用提供參考。