n-賦范空間上的等距延拓問題

馬玉梅

(大連民族大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 大連 116650)

等距理論在泛函分析以及數(shù)學(xué)的其它分支和物理學(xué)研究中具有重要意義，如萬有定理(可分Banach 空間等距嵌入到C[0，1]的閉線性子空間)，W.T. Gowers 和 B. Maurey 給出無條件基可以等距嵌入到不同于l1和c0的Banach 空間。Grzegorz Lewicki證明Orlicz 空間可以等距嵌入到Lp-spaces等等[1]。幾何學(xué)上基于流形的等距刻畫了黎曼對(duì)稱空間，黎曼對(duì)稱空間的分析學(xué)為Hillel Furstenberg贏得2006年Wolf 獎(jiǎng)[2]。

1 引言和術(shù)語

設(shè)X和Y是度量空間，稱映射f:X→Y為等距映射，如果對(duì)任意x,y∈X有dX(x,y)=dY(f(x),f(y))。這里dX(·,·),dY(·,·)分別表示X與Y空間的度量。

1932年賦范空間:Mazur 和 Ulam給出：“滿”等距算子必為仿射算子[3]?！胺菨M”等距延拓為線性或仿射問題一直是80多年以來研究的熱點(diǎn)。1987年J. Baker 得到嚴(yán)格凸空間的等距單映射必為仿射的[3]。

1970年Aleksandrov[4]提出：度量空間中保持單位距離的映射是否為等距映射。

針對(duì)這個(gè)問題的研究主要在兩類空間展開。

(1)賦范空間。W. Benz 推廣了Aleksandrov 問題， 給出了保持兩個(gè)常數(shù)距離的映射為等距的條件[5]:

定理1 設(shè)X與Y為兩個(gè)實(shí)線性賦范空間，Y是嚴(yán)格凸的。如果映射f:X→Y滿足

(2) n-賦范空間。2004年起，H. Chu， C. Park， T.M. Rassias，高金梅、任衛(wèi)云、靖陽平等將Aleksandrov 問題推廣到2-賦范和n-賦范空間[6-22]； C. Park 和 T.M. Rassias 給出了n-距離下滿足n-DOPP，n-Lipschitz 以及保持m-colinear (m=2，n)等條件的映射是n-等距的。H. Gunawan 和 M. Mashadi 給出了范數(shù)降維理論，為進(jìn)一步解決n-賦范空間中維數(shù)限定問題提供了重要依據(jù)。基于此理論馬玉梅于2013年分別得到了n-賦范空間中保持單位距離且保持n-共線與2-線性保序的映射為弱n-等距的；n-賦范嚴(yán)格凸空間中強(qiáng)保持單位距離并且保持任意正整數(shù)的映射是n-等距的。

2014年馬玉梅給出[18]:

定理2 設(shè)X，Y 是兩實(shí)n-賦范線性空間，且dimX≥n，f:X→Y滿足w-n-DOPP，那么以下8個(gè)命題等價(jià):

(1) f 保持w-n-0-距離 (w-n-0-distance， n-colinear);

(2) f 是w-n-Lipschitz;

(3) f 保持2-共線(2-colinear);

(4) f 是仿射的(affine);

(5) f 是n-等距的(n-isometry);

(6) f 是n-Lipschitz;

(7) f 保持n-0-距離(n-0-distance);

(8) f 是弱-n-等距的(w-n-isometry)。

本文將賦范空間中的Benz定理推廣到n-賦范空間。

2 n-賦范空間中的相關(guān)概念

定義1[6]設(shè)X 是實(shí)線性空間，dimX≥n，函數(shù)‖·,…,·‖:Xn→R滿足:

(1)‖x1,…,xn‖=0,當(dāng)且僅當(dāng)x1,…,xn是線性相關(guān)的；

(3) ‖αx1,…,xn‖=|α|‖x1,…,xn‖；

(4) ‖x+y,x2,…,xn‖≤‖x,x2,…,xn‖+‖y,x2,…,xn‖。

注釋[6]:設(shè)X與Y是實(shí)n-賦范空間. 那么對(duì)所有x1,…,xi,…,xj,…,xn∈X。

定義3[8]映射f:X→Y稱為w-n-等距，如果：對(duì)任意x0,x1,…,xn∈X,

‖f(x1)-f(x0),…,f(xn)-f(x0)‖=‖x1-x0,…,xn-x0‖。

映射f:X→Y稱為w-n-DOPP，如果：對(duì)任意x0,x1,…,xn∈X，

‖x1-x0,…,xn-x0‖=1 蘊(yùn)含‖f(x1)-f(x0),…,f(xn)-f(x0)‖=1。

映射f:X→Y稱為w-n-Lipschitz，如果：對(duì)任意x0,x1,…,xn∈X，

‖f(x1)-f(x0),…,f(xn)-f(x0)‖≤‖x1-x0,…,xn-x0‖。

映射f:X→Y稱為n-等距，如果: 對(duì)任意x1,…,xn,y1,…,yn∈X，

‖f(x1)-f(y1),…,f(xn)-f(yn)‖=‖x1-y1,…,xn-yn‖。

映射f:X→Y稱為n-ρ-距離， 如果：對(duì)任意x1,…,xn,y1,…,yn∈X，

‖x1-y1,…,xn-yn‖=ρ蘊(yùn)含 ‖f(x1)-f(y1),…,f(xn)-f(yn)‖=ρ。

映射f:X→Y稱為n-Lipschitz 如果: 對(duì)任意x1,…,xn,y1,…,yn∈X，

‖f(x1)-f(y1),…,f(xn)-f(yn)‖≤‖x1-y1,…,xn-yn‖。

映射f:X→Y稱為保持2-共線的， 如果對(duì)于任何x,y,z∈X， 存在t∈R，滿足z-x=t(y-x) 那么就存在s∈R，使得f(z)-f(x)=s(f(y)-f(x))。 點(diǎn)集x0,x1,…,xn∈X稱為n-共線的，如果對(duì)每個(gè)i，{xj-xi:0≤j≠i≤n} 是線性相關(guān)的。映射f:X→Y稱為保持n-共線的， 如果x0,x1,…,xn是n-共線的，則f(x0),f(x1),…,f(xn) 是n-共線的，n-共線的。

注釋：映射f:X→Y保持n-共線意味f保持w-0-距離(‖x1-x0,…,xn-x0‖=0，蘊(yùn)含‖f(x1)-f(x0),…,f(xn)-f(x0)‖=0)。

3 n-范空間中的Benz定理

證明任取x1,…,xn,y1,…,yn∈X滿足‖x1-y1,…,xn-yn‖=0，也即:x1-y1,…,xn-yn是線性相關(guān)的。 假設(shè) {xm+1-ym+1,…,xn-yn} 是{x1-y1,…,xn-yn}的最大線性無關(guān)組(m

max{‖(ν1-x1)+(x1-y1),x2-y2,…,xn-yn‖,‖x1-y1,x2-y2,…,xn-yn‖}=

‖(ν1-x1)+(x1-y1),x2-y2,…,xn-yn||≤‖ν1-x1,x2-y2,…,xn-yn‖。我們得到：

xi-νi=ωi-xi，νi-yi=(xi-ωi)+(xi-yi)，i∈{2,3,…,m}。 由于xi-yi,xm+1-ym+1,…,xn-yn是線性相關(guān)的，我們有‖…,xi-yi,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖=0,‖…,xi-ωi,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖≤

max{‖…,(xi-ωi)+(xi-yi),…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖,‖…,xi-yi,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖}≤

max{‖…,xi-ωi,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖,‖…,xi-yi,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖},

‖ν1-y1,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖=‖ν1-x1,…,xm+1-ym+1,…,xn-yn‖。

由于f保持ρ/(k)距離 (k∈)， 那么‖f(x1)-f(y1),f(x2)-f(y2),f(x3)-f(y3),…,f(xn)-f(yn)‖≤

max{‖f(x1)-f(ν1),f(x2)-f(ν2),…,f(xm-1)-f(νm-1),f(xm)-f(νm),f(xm+1)-f(ym+1),…,f(xn)-f(yn)‖,‖f(x1)-f(ν1),f(x2)-f(ν2),…,

由k是任意正整數(shù)，有

‖f(x1)-f(y1),f(x2)-f(y2),…,f(xn)-f(yn)‖=0,這蘊(yùn)含f保持0-距離。

用引理1和定理2顯然可得：

根據(jù)推論1，f是仿射n-等距。

推論2 如果X與Y為實(shí)n-賦范空間滿足dimX≥n，Y是n-嚴(yán)格凸的。如果f:X→Y，保持ρ和2ρ(ρ>0)， 那么f是仿射n-等距。

定理3 設(shè)X與Y為兩個(gè)實(shí)線性n-賦范空間，Y是n-嚴(yán)格凸的. 如果映射f:X→Y滿足

(1)‖y1-x1,...,yn-xn‖=ρ蘊(yùn)含‖f(y1)-f(x1),...,f(yn)-f(xn)‖≤ρ;

(2) ‖y1-x1,...,yn-xn‖=2ρ蘊(yùn)含‖f(y1)-f(x1),...,f(yn)-f(xn)‖≥2ρ,對(duì)任何x1,...,xn,y1,...,yn∈X和ρ>0 以及某個(gè)整數(shù)N成立。那么f是一個(gè)仿射n-等距。

證明(a)首先我們證明f保持w-ρ-距離，令:‖y1-x0…,yn-x0‖=ρ，以及pi=x0+i(y1-x0),i=0,1,2，那么p1=y1,p0=x0,pi-x0=i(y1-x0),pi-pi-1=y1-x0=p1-x0, 和‖pi-pi-1,y2-x0,...,yn-x0‖=‖y1-x0,...,yn-x0‖=ρ。

由條件 (1)，得到‖f(pi)-f(pi-1),f(y2)-f(x0),...,f(yn)-f(x0)‖≤ρ。

(c) 第三證明f保持w-n-2ρ-距離。根據(jù) (a) 與(b)假定N≥3。令:

根據(jù) (a) 和 (b)有 ‖f(pi)-f(pi-1),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖≤ρ,

Nρ=‖f(pN)-f(x),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖≤

‖f(p2)-f(p0),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖=‖f(p2)-f(p1),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖+‖f(p1)-f(p0),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖=2ρ。這樣，

‖f(y)-f(x),f(y2)-f(x),...,f(yn)-f(x)‖=2ρ。

(d)最后根據(jù)Y是n-嚴(yán)格凸的，那么存在t滿足f(p2)-f(p1)=t(f(p1)-f(p0))。

根據(jù)引理2，得知f是一個(gè)仿射n-等距。