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    關(guān)于冪等差型水仙花數(shù)的研究

    2021-11-15 15:31:32韋佳玉楊健蔣劍軍
    現(xiàn)代計(jì)算機(jī) 2021年27期
    關(guān)鍵詞:水仙花位數(shù)公差

    韋佳玉,楊健,蔣劍軍

    (銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,銅陵 244061)

    0 引言

    水仙花數(shù)是一類廣為人知的正整數(shù)。最初的水仙花數(shù)是指一個(gè)3位數(shù),它各位數(shù)字的立方和等于該數(shù)自身[1]。例如,153就是一個(gè)水仙花數(shù),因?yàn)?53=13+53+33。眾所周知,3位水仙花數(shù)有4個(gè):153、370、371和407。

    水仙花數(shù)是如此的有趣,以致在眾多的科普學(xué)者中口口相傳,也成為編程愛好者推崇的經(jīng)典案例。比如,談祥柏在文獻(xiàn)[2]中對水仙花數(shù)、黑洞與振蕩方面的知識做了科普;馬麗燕等在文獻(xiàn)[3]中以水仙花數(shù)為例介紹了Python的程序設(shè)計(jì)方法;史婉玉等則在文獻(xiàn)[4]中介紹了水仙花數(shù)在Java程序設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。有些學(xué)者則從水仙花數(shù)挖掘編程的內(nèi)涵[5]或編程課程對學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)[6]。水仙花數(shù)甚至滲透到了高中信息技術(shù)的學(xué)習(xí)中[7]。

    3位水仙花數(shù)是程序設(shè)計(jì)中的優(yōu)秀案例。不僅如此,它也是理論探索的一個(gè)源泉。林宣治[8]將水仙花數(shù)推廣到高位的情況。所謂高位水仙花數(shù),是指一個(gè)n位正整數(shù),它各位數(shù)字的n次方和等于該數(shù)自身。衛(wèi)洪春[9]則設(shè)計(jì)了基于C語言動態(tài)數(shù)組的快速求解算法計(jì)算出了所有的高位水仙花數(shù)。

    近期,楊健在文獻(xiàn)[10]中將水仙花數(shù)從高位情形推廣到指數(shù)位移情形。所謂位移水仙花數(shù),是指一個(gè)n位正整數(shù),它能表示為它各位數(shù)字的n+d次冪之和,即:

    其中d(≥-1)為整數(shù),稱為位移。

    本文將經(jīng)典水仙花數(shù)[1]、高位水仙花數(shù)[8]及位移水仙花數(shù)[10]統(tǒng)稱為齊次水仙花數(shù)。

    繼3位水仙花數(shù)之后,尋找齊次水仙花數(shù)成為編程進(jìn)階的優(yōu)秀案例,有著獨(dú)特的意義。一方面是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)教學(xué)中典型的程序設(shè)計(jì)范例,因?yàn)閷ふ宜苫〝?shù)包含著基礎(chǔ)編程所必需掌握的選擇結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu);另一方面又是整數(shù)理論中一類具有獨(dú)特魅力的整數(shù),引出了齊次水仙花數(shù)型的不定方程,即形如

    的不定方程,其中xi(i=1,…,n)都是介于0到9的整數(shù),且x1≠0,k為待定次數(shù)。文獻(xiàn)[10]提出了關(guān)于齊次水仙花數(shù)和不定方程(1)的兩個(gè)公開問題。

    本文將齊次水仙花數(shù)的概念做進(jìn)一步的推廣,提出冪等差型水仙花數(shù)。首先給出冪等差型水仙花數(shù)的定義,然后討論了冪等差型水仙花數(shù)的性質(zhì),最后設(shè)計(jì)了基于Matlab的快速求解算法。

    1 冪等差型水仙花數(shù)

    1.1 定義

    設(shè)b和d為兩個(gè)整數(shù),且b≥0。若一個(gè)n位正整數(shù),能表示為它各位數(shù)字的如下形式的冪之和:

    則稱該n位正整數(shù)為基數(shù)為b公差為d的冪等差型水仙花數(shù)。b稱為指數(shù)序列的基數(shù);d稱為指數(shù)序列的公差。

    式(2)中 當(dāng)d≤0時(shí),令c=-d≥0,a=b+(n-1)d≥0,則(2)式變?yōu)椋?/p>

    所以,式(2)中當(dāng)d≥0時(shí)稱為冪增型水仙花數(shù),當(dāng)d≤0式稱為冪減型水仙花數(shù)。式(3)正是冪減型水仙花數(shù)的直觀形式。

    當(dāng)d=0時(shí)的冪等差水仙花數(shù)正是齊次水仙花數(shù),所以文獻(xiàn)[10]研究的位移水仙花數(shù)是本文的一個(gè)特例。

    通過計(jì)算知,598=51+92+83是基為b=1公差為d=1的冪增數(shù);332=35+34+23是基為b=3公差為d=-1的冪減數(shù);153=13+53+33是b=3的齊次數(shù)。

    因?yàn)槲簧蠑?shù)字可能有1、0或重復(fù)等情形,整數(shù)的冪等差表示可能不唯一,比如

    所以1676既是冪增數(shù)又是冪減數(shù),原因在于位上數(shù)字出現(xiàn)了1和二重?cái)?shù)字6。

    1.2 性質(zhì)

    因?yàn)閮绲炔钏苫〝?shù)有兩個(gè)參數(shù):數(shù)b和d,所以具有比齊次水仙花數(shù)更豐富和更復(fù)雜從而更難以揭秘的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)。

    性質(zhì)1有限性條件。設(shè)b和d為兩個(gè)給定整數(shù)且b≥0。則當(dāng)|d|≤1時(shí),基為b公差為d的冪等差型水仙花數(shù)是有限的。

    證明設(shè)是基數(shù)為b公差為d的冪等差數(shù),則式(2)成立。分三種情形證明在題設(shè)條件下冪等差數(shù)的有限性。

    情形1:d=0。已由文獻(xiàn)[10]證明。

    情形2:d>0。則式(2)右端可放大為:

    由式(4)進(jìn)而得:

    式(5)首尾兩端取以10為底的對數(shù),得:

    式(6)表明,當(dāng)d≤1,即d=1時(shí),有:

    情形3:d<0。則令c=-d≥0,a=b-(n+1)c≥0,由式(2)變?yōu)槭剑?);對式(3)右端進(jìn)行如式(4)一樣的放大,得到:

    進(jìn)而得到c=1及與式(7)一致的表達(dá)式

    注:性質(zhì)1表明,對于給定的b(≥1),||d≤1是“基為b公差為d的冪等差水仙花數(shù)是有限的”的充分條件。由于式(4)右端放得過大,|d|≤1不可能成為有限性的必要條件。因?yàn)楣顋d|>1的冪等差數(shù)是存在的,比如,463=41+63+35是公差為d=2的冪增數(shù),所以下面兩個(gè)問題是自然而然的:

    (1)冪等差數(shù)的公差d是否隨著位數(shù)n的變化而有界?

    (2)對于任意給定的兩個(gè)整數(shù)b(≥1)和d,基為b公差為d的冪等差數(shù)是否有限?

    性質(zhì)2n與b和d的關(guān)系性質(zhì)。當(dāng)||d≤1時(shí),冪等差型水仙花數(shù)的位數(shù)n與基b和公差d之間滿足如下關(guān)系式:

    d值0±1關(guān)系式n-lg n-1 lg 9

    證明(10)式已由文獻(xiàn)[10]給出,(11)式由式(7)給出。

    應(yīng)用性質(zhì)2的關(guān)系式,由Matlab編程計(jì)算給定d,b對應(yīng)的n值的范圍如表1和表2所示:

    表1 d=0時(shí)n隨b變化的下界和上界

    表2 d=±1時(shí)n隨b變化的上界

    注:應(yīng)用式(10)和式(11)得到的n的上界和下界,并非n的上確界和下確界。

    性質(zhì)3位異性。假設(shè)是 基 數(shù)為b公差為d的冪等差型水仙花數(shù),則

    (1)位上的數(shù)字必有不同于0或1的數(shù)字;

    證明:反證法先證明(1)。

    設(shè)n位由0和1構(gòu)成的正整數(shù)是基數(shù)為b公差為d的冪等差數(shù),則

    又易知,當(dāng)且僅當(dāng)n=1,時(shí),

    再反證法證明(2)。

    設(shè)n位正整數(shù)是基數(shù)為b公差為d的冪等差數(shù)。則m是1到9的自然數(shù),由上述1的證明可知,m一定不為1。

    于是,有:

    結(jié)合上式,得到:

    可知當(dāng)且僅當(dāng)b=d=1,m=10時(shí),等式成立。與m是2到9的自然數(shù)矛盾。故至少有兩個(gè)位上的數(shù)字不同。

    2 冪等差型水仙花數(shù)的快速求解算法

    計(jì)算冪等差型水仙花數(shù),計(jì)算量超大是其典型的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了高位水仙花數(shù)的C語言快速求解算法。本文設(shè)計(jì)基于Matlab的快速計(jì)算泛水仙花數(shù)的算法。在設(shè)計(jì)基于Matlab實(shí)現(xiàn)的算法時(shí),須充分考慮Matlab的計(jì)算特點(diǎn)。眾所周知,Matlab計(jì)算特點(diǎn)是數(shù)據(jù)以矩陣為單元,循環(huán)效率相對較低。所以在設(shè)計(jì)算法時(shí)必須將輸入、輸出和存儲數(shù)據(jù)都矩陣化,降低對循環(huán)的依賴,以提高效率。

    2.1 算法描述

    算法的核心思想就是基于Matlab以矩陣為計(jì)算單元,矩陣化中間計(jì)算數(shù)據(jù)。

    (1)將位數(shù)為n的所有整數(shù)矩陣化,放在變量allnumbers中,即:

    在Matlab中這是一個(gè)行向量。

    所有n位數(shù)有k=9*10n-1個(gè)。

    (2)用Matlab命令套裝num2str、str2num及reshape提取allnumbers中所有n位整數(shù)各個(gè)位上的數(shù)字,構(gòu)成一個(gè)n×k矩陣,放在變量bitsMa?trix中,即:

    上述三個(gè)語句,第一個(gè)語句得到的a是一個(gè)字符串行向量,長度為k(n+2)-2;第二個(gè)語句是將第一個(gè)語句的結(jié)果轉(zhuǎn)置后轉(zhuǎn)化為整數(shù),所得結(jié)果b是一個(gè)長度為nk的列向量;第三個(gè)語句是將b轉(zhuǎn)換為n×k矩陣,該矩陣的第j列就是提取出來的第j個(gè)n位整數(shù)各位上的數(shù)字。

    (3)將指數(shù)序列base+d,…,base+nd轉(zhuǎn)化為n×k矩陣,放在變量e中,實(shí)現(xiàn)語句如下

    通過上述語句,即得n×k指數(shù)矩陣e。

    (4)計(jì)算矩陣bitsMatrix的e次冪,并按列求和,結(jié)果放在變量esum中,實(shí)現(xiàn)語句為:

    (5)判斷向量allnumbers與esum中對應(yīng)位置的數(shù)是否相等:若相等,是冪等差數(shù);若不等,則不是冪等差水仙花數(shù)。

    2.2 計(jì)算結(jié)果

    由于9位數(shù)以上的數(shù)據(jù)利用Matlab運(yùn)算時(shí)間過長,我們在這里只計(jì)算了9位數(shù)以內(nèi)的冪增型泛水仙花數(shù)。

    9位數(shù)以內(nèi)的基數(shù)為b的冪增型泛水仙花數(shù),且顯然位數(shù)為1時(shí)只有1是泛水仙花數(shù),故不再計(jì)算位數(shù)為1的情況。

    給定位數(shù)n,計(jì)算8位數(shù)以內(nèi)的所有冪增型泛水仙花數(shù)需要7141.182828秒即約為119分鐘的時(shí)間。表3列出了108以內(nèi)的冪等差水仙花數(shù)。

    表3 108以內(nèi)的冪等差數(shù)

    3 結(jié)語

    本文將林宣治、楊健等研究的齊次水仙花數(shù)推廣為更一般的冪等差型水仙花數(shù),使得齊次水仙花數(shù)成為我們研究范疇的一個(gè)特例,并對冪等差型水仙花數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了研究。

    在對冪等差型水仙花數(shù)研究的過程中,不禁產(chǎn)生了一些疑惑,其中最大的疑惑就是:

    問題1是否存在任意公差的冪等差型水仙花數(shù)?

    顯然,無論計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展到什么程度都無法從計(jì)算的角度解決上述問題。于是,我們把上述問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學(xué)問題:

    問題2下述關(guān)于(n;b,d,x1,x2,…,xn)的不定方程

    的解是否是有限的?其中0≤xk≤9,k=1,2,…,n,且xn≠0。

    期待數(shù)學(xué)工作者給出問題2的解答。

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