基于保角變換法的不同地形對地面落雷分布的影響研究

李瑞芳，杜 浩，高晨霞，梁鈺婧，劉樂佳，曹曉斌

0 引言

我國高速鐵路雷擊事故多有發(fā)生，尤其在山區(qū)偏遠(yuǎn)地區(qū)，做好防雷工作的必要性不言而喻[1～3]。研究落雷分布等雷電活動情況是進(jìn)行雷電防護(hù)研究的理論基礎(chǔ)，在不同地形情況下，落雷分布存在一定差異性。高原及高山等高海拔地區(qū)落雷較多，而平原等低海拔地區(qū)落雷則較少，即使同樣是山區(qū)，山坡、山頂或山谷之間落雷密度也不盡相同。由于不同地形地區(qū)落雷分布的差異性，研究地形對落雷分布的影響，對高鐵差異化防雷有著重要的指導(dǎo)意義[4～10]。

關(guān)于地面落雷分布的有關(guān)研究，目前國內(nèi)外主要是依靠雷電定位系統(tǒng)提供數(shù)據(jù)再進(jìn)行統(tǒng)計分析，適用于大范圍的落雷密度統(tǒng)計，對于某個山區(qū)小范圍難以估計其落雷密度，故需要對小范圍的落雷密度進(jìn)行理論研究。

地形邊界的靜電場問題分析可采用有限元法和保角變換法。有限元法適用于絕大多數(shù)復(fù)雜邊界的求解，缺點是計算時間長，重復(fù)性工作量大[11]，因此研究保角變換法解決靜電場問題很有必要。保角變換法采用數(shù)學(xué)公式將所求問題表現(xiàn)出來，直觀地反映了各物理量的相互關(guān)系，計算速度快[11，12]，該方法在電磁理論、傳熱學(xué)、粒子物理、凝聚態(tài)理論等方面具有廣泛的應(yīng)用[13～16]。本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，對對稱山體形狀的保角變換進(jìn)行拓展驗證，得到不對稱地形的保角變換公式，并研究保角變換參數(shù)與地形參數(shù)之間的數(shù)學(xué)對應(yīng)關(guān)系。采用雷電先導(dǎo)理論并結(jié)合保角變換法建立雷擊仿真模型，在不同地形條件下進(jìn)行落雷分布仿真，對比分析不同地形條件下落雷分布的差異性。

1 保角變換法解決靜電場問題

1.1 保角變換與拉普拉斯方程

設(shè)ω=f(z) (ω=u+ iv，z=x+ iy)是區(qū)域內(nèi)處處解析的函數(shù)，則其具有以下特征：

式（3）、式（4）說明u及ν均能滿足二維空間笛卡爾坐標(biāo)的拉普拉斯方程式。因此，如果函數(shù)φ(x,y)在z平面上滿足拉普拉斯方程，通過保角變換ω=f(z)后，在ω平面上變成u，ν的函數(shù)φ(u,v)，該函數(shù)仍滿足拉普拉斯方程。

在平面無源靜電場中，電位函數(shù)總是滿足拉普拉斯方程，且由E= ??φ可知，等位線和電場力線總是正交的，如果u=c1代表等位面的方程，那么ν=c2代表的即為電力線的方程；反之，如令ν=c2代表等位面方程，那么u=c1即為電力線方程。正是由于解析函數(shù)與電位函數(shù)的這種對應(yīng)關(guān)系，使得可以采用保角變換法解決靜電場問題[17，18]。

1.2 地形邊界的靜電場問題

如果z平面上場域的邊界較為復(fù)雜，例如山脊、山谷等實際地形，使給定的二維拉普拉斯方程所描述的邊值問題求解發(fā)生困難，可以采用保角變換法將z平面復(fù)雜的地形邊界形狀的場域變換為ω平面的水平邊界形狀的場域，使變換后ω平面上的場域的邊值問題可以較容易求得。

設(shè)ω平面上電位函數(shù)為φ(u,v)，通過解析函數(shù)ω=f(z)的關(guān)系式變回到z平面的量φ[u(x,y),ν(x,y)]，此時該電位函數(shù)φ[u(x,y),ν(x,y)]即為變換前位場的解[19，20]。對于典型的二維地形邊界（軸對稱山形），常采用如下變換公式：

2 二維地形參數(shù)與保角變換參數(shù)對應(yīng)關(guān)系

典型二維地形主要由山谷和山脊組成，下文只對山脊進(jìn)行分析，山谷的分析方法與之類似，不再闡述。

2.1 對稱山體形狀參數(shù)研究

圖1 山脊形狀示意圖

2.2 不對稱地形的保角變換研究

實際的地形呈現(xiàn)不對稱、具有一定坡度傾斜、山谷與山脊相連接的特點[21]，典型二維山形的保角變換并不能滿足實際要求?？紤]將保角變換公式ω

由表1 可知，增大D的角度，山脊特征逐漸 減弱，山谷特征逐漸顯著，90°時完全變?yōu)樯焦取?/p>

表1 參數(shù)D 的相角對山體形狀的影響

由表2 可知，隨著參數(shù)D幅值的增大，山脊高度與山谷深度也會增加，山體形狀幾乎不變。當(dāng)參數(shù)D的幅值增加到某一值時，式（9）的解會出現(xiàn)復(fù)數(shù)，這時需要減小參數(shù)D的角度或增大水平面高度即參數(shù)c的值進(jìn)行調(diào)整。

表2 參數(shù)D 的幅值對山體形狀的影響

令d= 100，c= 10，即水平面高度為10，研究參數(shù)D的相角和幅值對山體形狀的影響，分別如表3 和表4 所示。

表3 參數(shù)D 的相角對山體形狀的影響

表4 參數(shù)D 的幅值對山體形狀的影響

由表3 可知，隨著參數(shù)D的相角逐漸增大，山體逐漸傾斜，山體傾斜角度等于參數(shù)D的相角；山脊高度會略微減小，但可以忽略不計，山頂點位置會往右側(cè)偏移，山體形狀基本保持不變。

由表4 可知，當(dāng)參數(shù)D的幅值增大時，山脊高度會減小，山頂點位置會略微往左偏移；山形旋轉(zhuǎn)角度保持不變。

3 不同地形條件下的落雷分布

3.1 對稱地形落雷分布仿真與分析

前述章節(jié)敘述了保角變換公式的性質(zhì)，推導(dǎo)并驗證了仿真需要用到的保角變換公式，保角變換法用于計算雷擊線路發(fā)展過程中的電場分布[22]。本節(jié)基于保角變換算法，與雷電發(fā)展的分型先導(dǎo)法以及模擬電荷法相結(jié)合，通過建立對稱地形落雷分布計算模型對落雷分布進(jìn)行模擬，并分析仿真結(jié)果。

圖2 單次對稱地形落雷分布仿真曲線

在之前已建立的仿真模型的基礎(chǔ)上再添加一個2 000 次的循環(huán)，在每次運(yùn)行結(jié)束后記錄計算得到的雷電在山體上的落點坐標(biāo)，并繼續(xù)運(yùn)行下一次，直到運(yùn)行完成整個循環(huán)，得到2 000 次的計算結(jié)果。將仿真結(jié)果按照落點的橫坐標(biāo)范圍劃分得到直方圖，如圖3 所示。

圖3 落雷分布直方圖

從預(yù)先設(shè)置好的對稱地形雷電落點的計算結(jié)果來看，2 000 次計算中有97.6%以上是落在橫坐標(biāo)430～570 之間的區(qū)域，這就意味著在山高為410，山半高寬為142 的對稱山體模型情況下，基本上可以認(rèn)為雷電基本上全部落在山體的上半部分。借助直方圖可以看出，絕大部分的落雷點集中在山尖部位。

基于Origin 軟件使用非線性擬合公式對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將直方圖中的橫坐標(biāo)范圍取中間值作為自變量，將頻率作為應(yīng)變量導(dǎo)入Origin 中，由于該落雷分布大致呈正態(tài)分布，因此選擇非線性擬合公式為高斯公式：

得到圖4 所示的散點圖以及非線性擬合得到的曲線。表5 所示為擬合曲線參數(shù)。

圖4 高斯擬合得到的落雷分布曲線

表5 擬合曲線參數(shù)

從Origin 給出的擬合曲線不難看出，在所建立的山體模型中，落雷分布集中于橫坐標(biāo)為450～550的區(qū)域，同時其余區(qū)域落雷幾率幾乎為零。在表5給出的擬合參數(shù)中，需要著重關(guān)注的是調(diào)整后R平方，由回歸分析相關(guān)知識可知，調(diào)整后的R平方值為0.979 82，同時R平方為0.983 86，兩者之間的差距非常小，都非常接近于1，這表明得到的回歸模型的精度非常高，即雷電在對稱地形中的落點分布滿足高斯公式。

3.1.1 參數(shù)d對落雷分布的影響

首先固定參數(shù)c，改變參數(shù)d，并使用Matlab分別繪制出d為500、450、400、350、300 時的模型，如圖5 所示。從圖中可以看出，隨著d值的減小，山脊的高度也隨之降低，即d值主要決定了模型的高度。

圖5 不同d 值時的山形

為了研究d值對落雷分布的影響，將以上5 個參數(shù)的模型各進(jìn)行2 000 次的落點計算仿真，為驗證雷電分布是否在d值大時更集中，求出各個模型雷電分布的擬合曲線標(biāo)準(zhǔn)差（表6）。

表6 不同d 值時擬合曲線標(biāo)準(zhǔn)差

表6 中，隨著d值的減小，其標(biāo)準(zhǔn)差不斷增大，即曲線的離散程度越大。曲線的離散程度越大意味著落雷的分布越分散，擊中模型頂部的幾率降低。

3.1.2 參數(shù)c對落雷分布的影響

固定參數(shù)d，將參數(shù)c分別設(shè)為140、120、100、80、60 繪制出圖6 所示模型，以討論參數(shù)c對于模型形狀的影響。圖6 中，5 個模型從上到下代表著參數(shù)c由大到小變化，隨著參數(shù)c的減小，模型的地平面也越來越低，同時形狀也越來越尖銳。c值對于模型的影響較d值來說更側(cè)重于影響模型的寬度以及對于地平面的影響側(cè)面降低或者增高了模型的高度。將參數(shù)c的5 個值時的模型各進(jìn)行2 000 次仿真。

圖6 不同c 值時的山形

同樣將各個模型的仿真結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差制作成表格（表7）。

表7 不同c 值擬合曲線標(biāo)準(zhǔn)差

從表7 可以看出，隨著參數(shù)c的增大，擬合曲線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著增大，即隨著模型寬度的增大，雷電的分布越來越分散，但是當(dāng)模型的寬度較小時，雷電的分布又不會必然落在模型的正中間，這是由前述章節(jié)中雷電先導(dǎo)發(fā)展的隨機(jī)性所導(dǎo)致。當(dāng)c值減小時，概率密度函數(shù)曲線峰值升高，曲線寬度減小，落雷分布離散程度減小，分布密集。

3.2 不對稱地形落雷分布仿真與分析

對于不同的地形，需要將之前建立的仿真程序進(jìn)行一定修改，以山谷山脊混合地形為例進(jìn)行分析。首先將前述小節(jié)中求出的u和v關(guān)于x和y的表達(dá)式代入所建立模型的電場計算部分中，再將山體模型建立程序替換為山谷山脊混合模型的程序，同時添加相同的雷電參數(shù)，保角變換參數(shù)設(shè)置為D= 260 + 150i，c= 200，運(yùn)行1 次仿真之后得到如圖7 所示結(jié)果。

由圖7 可以看出，雷電先導(dǎo)的發(fā)展依舊是曲折的，與對稱地形所展示的效果一致。為研究山谷山脊混合地形中落雷的大致分布情況，將程序設(shè)置為循環(huán)計算2 000 次，得出結(jié)果后進(jìn)行統(tǒng)計，并導(dǎo)入Origin 軟件中繪制出散點圖，同時依舊使用高斯方程對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到圖8 所示曲線，擬合曲線參數(shù)見表8。

表8 擬合曲線參數(shù)

圖7 單次山谷山脊混合地形落雷分布

從圖8 所示曲線下半部分可以看出，高斯分布曲線的數(shù)學(xué)期望已經(jīng)與對稱地形的分布不同，發(fā)生了一定的偏移，不再是處于橫坐標(biāo)為500 的位置。從圖8 的散點分布來看，落雷更多分布在了山谷山脊交界處，而不是單純集中在山脊的位置。同時根據(jù)調(diào)整后的R平方來看，高斯分布的擬合效果已經(jīng)不再像對稱地形那么好，可以看出，不同地形對于落雷分布的影響較大。

圖8 D = 300∠30°，c = 200 的地形及擬合曲線

4 結(jié)論

（1）對對稱山體的保角變換公式進(jìn)行了深入計算，給出了對稱地形的保角變換參數(shù)與地形參數(shù)之間的數(shù)學(xué)對應(yīng)關(guān)系。通過數(shù)學(xué)計算，可以達(dá)到已知實際測量的山體形狀參數(shù)（如山高、山寬等）求得與該山體形狀相對應(yīng)的保角變換參數(shù)c、d，進(jìn)而利用保角變換函數(shù)解決相應(yīng)的地形邊界條件下的靜電場問題。

（2）根據(jù)復(fù)變函數(shù)的相關(guān)知識，對對稱山體形狀的保角變換函數(shù)進(jìn)行拓展、變式，得到了不對稱地形的保角變換函數(shù)，并進(jìn)行了柯西-黎曼條件驗證。

（3）對于對稱山體形狀的保角變換參數(shù)c、d，通過分析計算可知：d值增加，山體的高度顯著增加，寬度緩慢增加，山變高而窄，山形逐漸聳立；c值增加，山體的寬度顯著增加，高度略微減小，山體變矮而寬，山形逐漸平緩。參數(shù)d主要控制山體高度，參數(shù)c主要控制山體的寬度?？梢愿淖儏?shù)c和d，使保角變換函數(shù)所描繪的山體形狀與實際計算所需要的山體形狀相吻合。雷電的分布會隨著c值的增大而不斷分散，落雷分布概率密度函數(shù)曲線的標(biāo)準(zhǔn)差也越來越大。增大d值會使得山體變得高而尖，落雷的分布則更為密集地集中于山體的高處，概率密度函數(shù)曲線的標(biāo)準(zhǔn)差越來越小。

（4）在山谷山脊混合地形中，落雷分布已經(jīng)不完全滿足正態(tài)分布，主要原因是落雷很大一部分集中在了山谷山脊交界處，并且隨著模型的山谷山脊特征變明顯，落雷分布的離散程度也更小，主要集中在山脊部分，小部分落在山谷山脊交界處。