基于改進(jìn)Johnson-Cook模型的Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金高溫流變行為研究

劉 暢 陳小敏 陳書涵 陳建兵

1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué)

創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育學(xué)院

湖南 長(zhǎng)沙 410114

2. 長(zhǎng)沙理工大學(xué)

汽車與機(jī)械工程學(xué)院

湖南 長(zhǎng)沙 410114

0 引言

鎂合金以其較低的密度、優(yōu)越的阻尼特性、較高的比強(qiáng)度等特點(diǎn)，在航空航天、電子、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。鎂合金的加工和強(qiáng)化主要依靠熱塑性變形，經(jīng)過塑性加工后得到的變形鎂合金，其綜合性能可以得到顯著提升[3-5]。因此，鎂合金的熱變形規(guī)律及其熱加工工藝優(yōu)化具有十分重要的研究?jī)r(jià)值。

本構(gòu)模型是描述金屬材料加工變形規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，能夠定量分析金屬材料熱變形的流動(dòng)應(yīng)力與各變形參數(shù)之間的關(guān)系[6-7]。根據(jù)模型建模思想的不同，可將金屬材料本構(gòu)關(guān)系模型大致分為唯象學(xué)模型、物理基模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[8]。在唯象學(xué)本構(gòu)模型中，較為常用的有Zerilli-Armstrong（Z-A）模型[9]、Arrhenius-Type模型[10]和 Johnson-Cook模型等。其中Johnson-Cook模型考慮了材料在實(shí)際加工過程中，影響材料流動(dòng)應(yīng)力大小的3種主要因素，因而得到了廣泛的應(yīng)用[11]。Lin Y. C. 等[12]通過單軸拉伸試驗(yàn)研究了一種高強(qiáng)合金的熱變形行為，并建立了描述合金流變應(yīng)力與應(yīng)變速率以及變形溫度關(guān)系的Johnson-Cook模型。Jia Z. 等[13]研究了AA6016-T6合金，在0.001～100 s-1應(yīng)變速率下的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能及斷裂特征，建立了反映應(yīng)變速率影響的修正Johnson-Cook模型。A. Shokry等[14]總結(jié)了不同動(dòng)態(tài)加載條件下4種類別合金的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，提出了一種改進(jìn)的通用Johnson-Cook模型（PMJC模型），并對(duì)模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證。改進(jìn)的Johnson-Cook模型都是選取參考溫度和應(yīng)變速率下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系作為基準(zhǔn)，再綜合考慮其它變形條件下的應(yīng)力變化情況，最后得到能夠適用于所有變形參數(shù)下的流變應(yīng)力本構(gòu)方程[15]。因此，改進(jìn)的Johnson-Cook模型可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)不同變形條件下各類金屬的流變應(yīng)力，但應(yīng)用于稀土鎂合金熱變形行為的研究較少。

本文以實(shí)驗(yàn)室制備的Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金為研究對(duì)象，借助恒溫等應(yīng)變速率高溫拉伸實(shí)驗(yàn)，研究該合金的熱變形行為?；谄洳煌冃螚l件下的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線，建立了一種改進(jìn)的Johnson-Cook模型，以期為Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金的加工工藝參數(shù)優(yōu)化，以及有限元數(shù)值模擬提供模型基礎(chǔ)。

1 實(shí)驗(yàn)

1.1 實(shí)驗(yàn)材料與實(shí)驗(yàn)儀器

實(shí)驗(yàn)材料為Mg-5.5Gd-4.4Y-1.1Zn-0.5Zr合金，由長(zhǎng)沙理工大學(xué)實(shí)驗(yàn)室制備。

熱模擬試驗(yàn)機(jī)，Gleeble-1500，美國(guó)DSI公司。

1.2 實(shí)驗(yàn)過程

在400 ℃的溫度下將Mg-5.5Gd-4.4Y-1.1Zn-0.5Zr合金擠壓成 Ф400 mm的棒材，并根據(jù)ISO 783—1999《金屬材料高溫拉伸試驗(yàn)》標(biāo)準(zhǔn)，加工成標(biāo)準(zhǔn)試樣。利用Gleeble-1500熱模擬試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行高溫拉伸實(shí)驗(yàn)，變形參數(shù)設(shè)置：溫度分別為250, 300, 350, 400℃，應(yīng)變速率分別為0.001, 0.01, 0.1, 1 s-1。先將試樣以10 ℃/s的速率加熱至所設(shè)置的拉伸實(shí)驗(yàn)溫度，保溫3 min后開始加載；將試樣以恒定的溫度和應(yīng)變速率拉伸直到斷裂。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 應(yīng)力應(yīng)變曲線分析

圖1為高溫拉伸實(shí)驗(yàn)得到的Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線。

圖1 合金的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線Fig. 1 True stress-true strain curve of the alloy

由圖1可知，分別在變形溫度T=250 ℃以及應(yīng)變速率= 0.001 s-1的變形條件下，Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金的流變應(yīng)力曲線全部呈現(xiàn)出大致相同的變化趨勢(shì)，應(yīng)變、變形溫度和應(yīng)變速率均顯著影響流變應(yīng)力的大小。在變形初始階段，受加工硬化作用的影響，合金的流變應(yīng)力快速增大；隨著應(yīng)變的增加，累積的變形儲(chǔ)能加快了動(dòng)態(tài)再結(jié)晶的進(jìn)行，導(dǎo)致流變應(yīng)力在達(dá)到峰值之后趨于穩(wěn)定。各變形條件下的流變曲線均在應(yīng)變?chǔ)?0.2之后進(jìn)入流變穩(wěn)態(tài)階段。由于本構(gòu)方程描述的是材料在穩(wěn)態(tài)流變階段的流變應(yīng)力與溫度、應(yīng)變速率等因素的關(guān)系，因此本文選取應(yīng)變?chǔ)旁?.2～0.8范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為建模依據(jù)。

2.2 Johnson-Cook 模型

Johnson-Cook模型認(rèn)為在金屬材料塑性變形過程中，其流變應(yīng)力的大小主要受應(yīng)變速率硬化、應(yīng)變硬化與熱軟化的影響。因此，該模型將應(yīng)變速率、應(yīng)變和變形溫度3種參數(shù)分別引入到方程中，其形式為

原始的Johnson-Cook模型（式（1））參數(shù)較少，且都具有明確的物理意義，計(jì)算方便。但原始的 Johnson-Cook模型僅能在參考應(yīng)變率和參考溫度下才顯示出良好的預(yù)測(cè)結(jié)果。其主要原因是原始模型假設(shè)了應(yīng)變硬化、應(yīng)變速率硬化和熱軟化是3個(gè)不相關(guān)的因素，忽略了應(yīng)變、應(yīng)變速率和變形溫度之間的相互影響。

2.3 改進(jìn)的Johnson-Cook 模型

基于原始的Johnson-Cook模型，并針對(duì)材料熱塑性變形過程中溫度、應(yīng)變速率與應(yīng)變3種影響因素的耦合效應(yīng)，對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)后的模型為

式中A1、B1、B2、B3、C、λ1、λ2均為無(wú)實(shí)際物理意義的材料常數(shù)。

分別選取 250 ℃（523 K）和 0.001 s-1作為改進(jìn)的 Johnson-Cook 模型的參考變形溫度和參考應(yīng)變速率。當(dāng)變形溫度和應(yīng)變速率均取參考值時(shí)，可以將式（2）改寫為

通過對(duì)參考溫度和參考應(yīng)變速率下的應(yīng)變、應(yīng)力值進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，可求得擬合曲線各項(xiàng)的系數(shù)，即為模型（3）各參數(shù)A1、B1、B2、B3的值，如圖 2 所示。

圖2 參考溫度和參考應(yīng)變速率下流變曲線的多項(xiàng)式擬合Fig. 2 Polynomial fitting of rheological curves at reference temperature and reference strain rate

當(dāng)T=250 ℃（523 K）時(shí)，式（2）改寫為

圖3 參考變形溫度下 σ/(A1 + B1ε + B2ε2 + B3ε3)與ln 的線性關(guān)系Fig. 3 The linear relationship between σ/(A+ Bε + Bε2 +1 12 B3ε3) and lnat the reference deformation temperature

令λ=λ1+λ2ln，λ是與應(yīng)變速率相關(guān)的材料常數(shù)，對(duì)于給定的應(yīng)變速率，λ可以被看作是一個(gè)定值。式（2）可改寫為

對(duì)式（5）兩邊取自然對(duì)數(shù)得

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文可以得到不同應(yīng)變速率下，ln{σ/[(A1+B1ε+B2ε2+B3ε3)(1+Cln)]}與T-Tref的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并將其進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖 4 所示。

圖4 不同應(yīng)變速率下 ln{σ/[(A1 + B1ε + B2ε2 + B3ε3)·(1+Cln )]}與T-Tref的線性關(guān)系Fig. 4 Linear relationship between ln{σ/[(A1 + B1ε + B2ε2 + B3ε3)(1+Cln)]}and T-Tref at different strain rates

根據(jù)圖4中的線性擬合關(guān)系，可以得到應(yīng)變速率分別為 0.001, 0.01, 0.1, 1 s-1時(shí)模型（6）中參數(shù)λ的值，結(jié)果如表1所示。

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖5所示。根據(jù)λ與ln的擬合直線，可計(jì)算出λ1和λ2的值。

表1 不同應(yīng)變速率下參數(shù)的取值Table 1 Values of parameter under different strain rates

圖5 λ 與 ln 的關(guān)系Fig. 5 The relationship between λ and ln

綜上所述，可求得改進(jìn)Johnson-Cook模型（式（2））的參數(shù)，如表2所示。

表2 改進(jìn)Johnson-Cook模型的參數(shù)值Table 2 The parameter values of improved

2.4 模型預(yù)測(cè)精度分析

不同變形條件下，Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金的流變應(yīng)力，即改進(jìn)Johnson-Cook模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值，如圖6所示。

圖6 不同變形條件下合金的流變應(yīng)力模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值比較Fig. 6 Comparison of predicted value and experimental value of alloy flow stress under different deformation conditions

為了進(jìn)一步評(píng)估改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)精度，特引入相關(guān)度（R）和平均相對(duì)誤差（Δ）來(lái)定量分析[16]。相關(guān)度作為反映變量之間線性相關(guān)程度的指標(biāo)，在這里用來(lái)表示改進(jìn)模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值之間的符合程度。相關(guān)度高不一定表明預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值吻合準(zhǔn)確，還有可能出現(xiàn)數(shù)值的偏離。平均相對(duì)誤差指相對(duì)誤差的平均值，在這里用來(lái)表示模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的偏離程度。

相關(guān)度和平均相對(duì)誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：σexp為熱拉伸實(shí)驗(yàn)得到的流變應(yīng)力值；

σp為改進(jìn)Johnson-Cook模型的預(yù)測(cè)值；

N為選取的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)量。

將不同變形條件下的預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值代入式（7），并將二者在Origin軟件中進(jìn)行比較分析，所得結(jié)果如圖 7 所示。

圖7 改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的相關(guān)度Fig. 7 The correlation between the predicted value of the improved model and the experimental value

通過計(jì)算可得，改進(jìn)Johnson-Cook模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的相關(guān)度為0.994，平均相對(duì)誤差為4.5%，這表明該模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金不同變形條件下的流變應(yīng)力。

3 結(jié)論

綜上所述，可得如下結(jié)論：

1）在Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金高溫變形過程中，應(yīng)變速率的升高和變形溫度的降低均會(huì)導(dǎo)致合金的流變應(yīng)力明顯升高。合金流變曲線顯示出典型的動(dòng)態(tài)再結(jié)晶軟化機(jī)制，且在較高的變形溫度（350, 400 ℃）及較低的應(yīng)變速率（0.001, 0.01 s-1）下，動(dòng)態(tài)再結(jié)晶軟化效果明顯。

2）基于實(shí)驗(yàn)得到的流變曲線，并綜合考慮了熱軟化、應(yīng)變速率硬化和應(yīng)變硬化3種因素的影響，建立了Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金改進(jìn)的Johnson-Cook模型。將改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比，可知模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的相關(guān)度（R）達(dá)到了0.994，平均相對(duì)誤差（Δ）只有4.5%，表明模型的精度較高，能夠準(zhǔn)確地描述和預(yù)測(cè)Mg-Gd-Y-Zn-Zr合金的高溫流變應(yīng)力。