基于課堂觀察的新教師MPCK 比較與提升
——以“19.1.2 函數(shù)的圖象（1）”同課異構(gòu)為例

陳燕梅

（廈門第一中學(xué)，福建 廈門 361000）

一、MPCK 理論的含義與發(fā)展

影響教師專業(yè)成長(zhǎng)的因素主要包括對(duì)學(xué)科知識(shí)的了解、對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)以及教學(xué)策略的選擇.［1］舒爾曼1986 年提出PCK 理論后，立即引起各國(guó)學(xué)者關(guān)注，他通過(guò)實(shí)踐考察，發(fā)現(xiàn)PCK 最能區(qū)分學(xué)科專家與教學(xué)專家、高成效教師與低成效教師.［2］隨著PCK 理論的拓展和推廣，數(shù)學(xué)教師特有的學(xué)科教學(xué)知識(shí)從PCK 泛學(xué)科的研究中獨(dú)立出來(lái)，形成MPCK（數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)）理論，它包括數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、一般教學(xué)法知識(shí)（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）以及教育技術(shù)知識(shí)（TK）.［3］

筆者參與廈門一中一次公開教研活動(dòng)，初中數(shù)學(xué)三位入職未滿一年的新教師（以下稱為教師A、教師B、教師C）以“19.1.2 函數(shù)的圖形（1）”同課異構(gòu).基于課堂觀察研究他們的MPCK 水平狀況，探索為促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展學(xué)校需提供的系統(tǒng)支持.

二、基于課堂觀察的MPCK 比較應(yīng)用

《19.1.2 函數(shù)的圖象（1）》選自義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（人教版）八年級(jí)下冊(cè)，是第19 章“函數(shù)的圖象”第1 節(jié)第2 課時(shí)的內(nèi)容.本節(jié)課在已學(xué)的直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，以具體函數(shù)為例，學(xué)習(xí)能形象化地表示函數(shù)的重要工具，即函數(shù)的圖象.學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例了解圖象的意義，經(jīng)歷畫函數(shù)圖象的過(guò)程，學(xué)會(huì)通過(guò)觀察和分析函數(shù)圖象獲取信息.本節(jié)主要內(nèi)容有三個(gè)部分，具體如下：

（一）了解圖象意義，經(jīng)歷畫圖過(guò)程

1.教師A

課件展示生活中的三張函數(shù)圖象，分別是：中國(guó)GDP 增長(zhǎng)圖、心電圖、廈門一周天氣變化圖，讓學(xué)生思考：

問(wèn)題1：為什么我們喜歡用圖象來(lái)展示變化，這樣做的好處是什么？

問(wèn)題2：這些圖象是如何被繪制出來(lái)的？

問(wèn)題3：正方形的面積S與邊長(zhǎng)x的函數(shù)解析式為___，其中自變x的取值范圍____.

問(wèn)題4：類比氣溫圖的繪制，你覺(jué)得我們能畫出這個(gè)函數(shù)的圖象嗎？若能，應(yīng)該怎么做？

建立平面直角坐標(biāo)系，把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

問(wèn)題5：滿足這個(gè)解析式的點(diǎn)有多少個(gè)？我們可能將這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)都描出來(lái)嗎？實(shí)際上我們只能描出其中有限個(gè)點(diǎn)，同時(shí)想象出其他點(diǎn)的位置.

2.教師B

有些問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系很難列式子表示，但是可以用圖來(lái)直觀地反映，例如，用心電圖表示心臟部位的圖形（課件顯示）.

問(wèn)題1：正方形面積S與邊長(zhǎng)x之間的函數(shù)解析式是什么？

問(wèn)題2：這里自變量的取值范圍是什么？

問(wèn)題3：列表：填寫表格

注意：在畫函數(shù)圖象的過(guò)程中，將自變量作為橫坐標(biāo)，將函數(shù)值作為縱坐標(biāo)；用空心圈表示不在曲線的點(diǎn)；用平滑曲線去連接畫出的點(diǎn)；圖象（解析式、列表法）只是函數(shù)的一種表示方法，應(yīng)符合函數(shù)的定義.

3.教師C

問(wèn)題1：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象，看到這個(gè)標(biāo)題你能想到什么？

追問(wèn)1：說(shuō)到圖，我們來(lái)看一下這幅圖，這是心電圖，反映了生物電流與時(shí)間的關(guān)系.那么這幅圖的自變量是什么？

追問(wèn)2：如果你是醫(yī)生，你能通過(guò)這幅圖看出哪里波動(dòng)大，哪里波動(dòng)小嗎？

問(wèn)題2：對(duì)于已知解析式的函數(shù)，是否也能通過(guò)畫圖更加直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)關(guān)系呢？

追問(wèn)1：這個(gè)函數(shù)的自變量是什么？

追問(wèn)2：對(duì)于這個(gè)函數(shù)，x可以取哪些值，能取-0.5嗎？為什么呢？

追問(wèn)3：自變量的取值范圍是什么？

追問(wèn)4：x能取0.5 嗎？

追問(wèn)5：x還能取哪些值？請(qǐng)同學(xué)們自己寫出幾個(gè)x 的值，并算出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.

追問(wèn)6：同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)過(guò)什么知識(shí)和有序數(shù)對(duì)相關(guān)？

追問(wèn)7：在坐標(biāo)系中，這些是什么呢？

追問(wèn)8：取多少個(gè)點(diǎn)合適呢？

追問(wèn)9：這個(gè)圖中，誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是函數(shù)值？

評(píng)析：函數(shù)的圖象以幾何形式直觀地表示變量間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，是研究函數(shù)的重要工具.

從MK 上看，三位教師均能認(rèn)識(shí)到函數(shù)圖象的意義，教學(xué)中重視函數(shù)圖象的直觀特點(diǎn)，注意“把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)”，并畫出函數(shù)圖象，較為準(zhǔn)確地把握本節(jié)的核心內(nèi)容之一.然而，學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象不僅要了解它的一般意義和畫法，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)如何以數(shù)形結(jié)合研究問(wèn)題，為后續(xù)基于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)作下鋪墊.在此環(huán)節(jié)，教師A 在函數(shù)解析式S=x2后，直接列表、描點(diǎn)和連線，并沒(méi)有說(shuō)明環(huán)節(jié)之間如何建立聯(lián)系，為什么從解析式想到圖象；教師B 和C 都通過(guò)有序數(shù)對(duì)將自變量和函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，讓新知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程更加自然而然.

從PK 上看，三位教師都精心設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的問(wèn)題，努力啟發(fā)學(xué)生思考，但個(gè)別問(wèn)題的設(shè)置缺乏針對(duì)性，學(xué)生不知如何回答.如教師C 的“追問(wèn)6：同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)過(guò)什么知識(shí)和有序數(shù)對(duì)相關(guān)？”，與有序數(shù)對(duì)相關(guān)的知識(shí)非常多，學(xué)生不知從何回答起.在實(shí)際課堂中，三位教師給予學(xué)生思考的時(shí)間和思維空間有限，如教師B 在填表格時(shí)直接告訴學(xué)生“有序數(shù)對(duì)”，并非引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn).有時(shí)學(xué)生還未回答，教師就著急說(shuō)出答案；或是當(dāng)學(xué)生的答案未在教師的預(yù)設(shè)范圍內(nèi)時(shí)，教師并未尊重課堂生成進(jìn)行有針對(duì)性地引導(dǎo)和啟發(fā).如教師C，當(dāng)學(xué)生沒(méi)有想到自變量和函數(shù)對(duì)應(yīng)“有序數(shù)對(duì)”，卻回答“坐標(biāo)”時(shí)，教師并無(wú)理會(huì)，堅(jiān)持按照預(yù)設(shè)的情形繼續(xù)上課.

從CK 上看，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷列表、描點(diǎn)和連線，積極參與課堂學(xué)習(xí)，體驗(yàn)畫函數(shù)圖象的過(guò)程，感受圖象的意義.

從TK 上看，三位教師均使用課件展示主要內(nèi)容，特別是展示直觀但難畫的函數(shù)圖象，明顯提高了課堂效率.教師C 使用幾何畫板，隨著列表數(shù)據(jù)量的增大，平面直角坐標(biāo)系中顯示的點(diǎn)逐步增多，不斷增加、逐漸密集的點(diǎn)可直觀地看出函數(shù)圖象的構(gòu)成過(guò)程，學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)圖象，明確用平滑曲線連接的方法，讓信息技術(shù)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的有力工具.

（二）觀察函數(shù)圖象，獲取讀圖方法

三位教師的教學(xué)內(nèi)容：

思考：圖1 是自動(dòng)測(cè)溫儀記錄的圖象，它反映了北京的春季某天氣溫T 如何隨時(shí)間t的變化而變化.你從圖象中得到了哪些信息？

圖1

評(píng)析：這個(gè)“思考”欄目是為學(xué)習(xí)通過(guò)圖象分析函數(shù)的變化趨勢(shì)而設(shè)計(jì)的，由圖象分析數(shù)量的變化規(guī)律是研究問(wèn)題的方法之一.這里的氣溫變化情況難以用確切的解析式表達(dá)，只能通過(guò)分析儀器自動(dòng)繪制的氣溫變化曲線得到相關(guān)信息.

從MK 和PK 上看，三位教師均能解讀此圖象的信息，理解教材的意圖，以此為載體滲透讀圖的方法.教師A 從最值、變化趨勢(shì)和具體數(shù)值三方面指導(dǎo)學(xué)生看圖，并進(jìn)行方法小結(jié)，即“解答圖象信息題主要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，化圖象信息為數(shù)字信息”，同時(shí)歸納解題主要步驟：“一是理解橫、縱坐標(biāo)表示的意義；二是從表達(dá)式判定函數(shù)與自變量的關(guān)系；三是關(guān)注圖象中端點(diǎn)、拐點(diǎn)等特殊點(diǎn)的實(shí)際意義.”教師B 根據(jù)教材中設(shè)置的問(wèn)題逐一分析函數(shù)圖象的信息.教師C 引導(dǎo)學(xué)生在識(shí)圖和分析的過(guò)程中歸納出“最值、變化趨勢(shì)、自變量與函數(shù)對(duì)應(yīng)”三種常用的方法，特別是請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)，在所展示的圖象中直接找到某一個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，直觀清晰.盡管如此，教學(xué)中有些內(nèi)容的呈現(xiàn)并沒(méi)有充分尊重學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)起點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，如教師B 關(guān)于“拐點(diǎn)”的說(shuō)法并非初中階段學(xué)生所了解的；教師C 沒(méi)有解釋何為“最值”，對(duì)于初學(xué)函數(shù)圖象的學(xué)生而言，顯然較為抽象.

從CK 上看，三位教師都明確學(xué)生在課堂上的主體作用，努力提高學(xué)生課堂參與的積極性和主動(dòng)性.教師A 引導(dǎo)學(xué)生“和同桌說(shuō)一說(shuō)，你從圖中得到什么信息？你一條我一條”；教師B 鼓勵(lì)學(xué)生“和同桌PK一下”，并請(qǐng)學(xué)生站起來(lái)依次回答問(wèn)題；教師C 組織學(xué)生“先獨(dú)立思考2分鐘，再小組合作交流3分鐘”.學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)表達(dá)和與人交流溝通的能力，共享智慧.然而在課堂上，前兩位教師沒(méi)有給予學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，學(xué)生容易受思維較自己敏捷的學(xué)生的影響，難以深度思考.教師C 雖分別設(shè)置獨(dú)立思考和合作交流的時(shí)間，但固定的時(shí)間限制在實(shí)際教學(xué)中并沒(méi)有根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)情況靈活調(diào)整.

（三）解析函數(shù)圖象，理解生活數(shù)學(xué)

如圖2，小明家、食堂、圖書館在同一條直線上.小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報(bào)，然后回家.其中x 表示時(shí)間，y 表示小明離家的距離，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：

圖2

（1）食堂離小明家多遠(yuǎn)？小明從家到食堂用了多少時(shí)間？

（2）小明在食堂吃早餐用了多少時(shí)間？

（3）食堂離圖書館多遠(yuǎn)？小明從食堂到圖書館用了多少時(shí)間？

（4）小明讀報(bào)用了多長(zhǎng)時(shí)間？

（5）圖書館離小明家多遠(yuǎn)？小明從圖書館回家的平均速度是多少？

評(píng)析：此函數(shù)的圖象是由幾條線段構(gòu)成的折線，其中每條線段代表一個(gè)階段的活動(dòng).三位教師均以課本例題中的實(shí)際問(wèn)題為素材，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活.

從MK 和PK 上看，三位教師均能很好地理解函數(shù)圖象的實(shí)際意義，圍繞著突破關(guān)鍵點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析.其中，教師A 和教師B 直接呈現(xiàn)背景知識(shí)，進(jìn)而結(jié)合上一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中讀圖的方法引導(dǎo)學(xué)生分析；教師C 則先呈現(xiàn)無(wú)任何實(shí)際背景的圖象，讓學(xué)生鞏固讀圖的方法，而后讓學(xué)生看圖講小明的故事，并鼓勵(lì)學(xué)生課后講更豐富的故事.學(xué)生體會(huì)函數(shù)圖象的生活實(shí)際意義，激活思維.三種不同的教學(xué)策略均能達(dá)到異曲同工之妙，但以實(shí)際為背景引導(dǎo)學(xué)生理解圖象，應(yīng)給予學(xué)生更充足的時(shí)間.

從CK 上看，學(xué)生能夠主動(dòng)運(yùn)用新學(xué)的讀圖方法進(jìn)行分析，理解不同時(shí)段圖象的含義，對(duì)分段函數(shù)有初步認(rèn)識(shí).部分學(xué)生主動(dòng)分享自己的想法，甚至以故事命題.學(xué)生可結(jié)合實(shí)際背景加深對(duì)圖象意義的了解，然而多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式較為常規(guī).

三、提升MPCK 的學(xué)校系統(tǒng)支持策略

（一）充分了解學(xué)情，創(chuàng)新評(píng)價(jià)優(yōu)化MPCK

2020 年10 月，中共中央國(guó)務(wù)院印發(fā)《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》，指出堅(jiān)決克服唯分?jǐn)?shù)、唯升學(xué)、唯文憑、唯帽子的頑瘴痼疾，提高教育治理能力和水平.創(chuàng)新教育評(píng)價(jià)改革，需將對(duì)教師的教學(xué)評(píng)價(jià)從成績(jī)導(dǎo)向轉(zhuǎn)向關(guān)注教育教學(xué)的過(guò)程.教學(xué)過(guò)程的科學(xué)和有效建立在教師理解學(xué)生，對(duì)學(xué)生課前學(xué)情客觀全面認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，教師能夠清晰學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前的知識(shí)儲(chǔ)備和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有哪些，在本節(jié)之后還會(huì)學(xué)習(xí)什么.在本次同課異構(gòu)研討中，出現(xiàn)教師A 讓學(xué)生類比氣溫圖的繪制畫函數(shù)的圖象，而事實(shí)上多數(shù)學(xué)生根本不會(huì)；也出現(xiàn)教師B 將上一節(jié)課函數(shù)定義相關(guān)的內(nèi)容與本節(jié)新知“函數(shù)的圖象”一起重新教學(xué)，體現(xiàn)新教師在對(duì)教學(xué)起點(diǎn)的認(rèn)識(shí)上需進(jìn)一步研究.理解教學(xué)起點(diǎn)，是每一位數(shù)學(xué)教師自身業(yè)務(wù)水平提高、教學(xué)過(guò)程科學(xué)有效的基礎(chǔ).學(xué)校在課堂教學(xué)評(píng)價(jià)或教學(xué)研討中，可將其作為一項(xiàng)重要的指標(biāo)，引導(dǎo)教師關(guān)注課前學(xué)情評(píng)價(jià)，真正做到理解學(xué)生，讓學(xué)生在課堂上有更大的收獲，在數(shù)學(xué)上獲得更好的發(fā)展.

（二）認(rèn)真研讀教材，集體備課共享MPCK

教材是課堂教學(xué)之本，教師應(yīng)精準(zhǔn)理解教材，才能創(chuàng)造性地使用教材，挖掘教材中的教學(xué)資源和育人價(jià)值.《19.1.2 函數(shù)的圖象（1）》這節(jié)課對(duì)于新教師而言，難點(diǎn)在于對(duì)教材的準(zhǔn)確理解.在課前交談中，幾位新教師都表示備課過(guò)程中曾困惑“后續(xù)的新課中將會(huì)學(xué)習(xí)畫圖，本節(jié)中第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)要不要讓學(xué)生畫函數(shù)的圖象？”，也曾困惑“怎樣引導(dǎo)學(xué)生畫圖？”，還曾困惑“測(cè)溫儀記錄的圖象這一環(huán)節(jié)教學(xué)重點(diǎn)在哪？”……因?yàn)槔Щ笏运伎迹驗(yàn)榧m結(jié)所以選擇，這一切正是逐步深入教學(xué)研究的過(guò)程.日常教學(xué)研究的有效策略是集體備課。以集體備課促進(jìn)青年教師專業(yè)成長(zhǎng)，除學(xué)校需建立完善的集體備課制度外，還需教師將集體備課成為一種文化自覺(jué)，共享智慧，促進(jìn)理解，減輕負(fù)擔(dān)，合作共贏.

（三）教師通力合作，師徒帶教發(fā)展MPCK

新教師是經(jīng)過(guò)重重考核選拔的，素質(zhì)高，能力強(qiáng)，精力旺盛.因教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不足而帶來(lái)的影響往往是暫時(shí)的，有些新教師初登講臺(tái)后很快站穩(wěn)講臺(tái)，如此影響基本不存在.廈門一中有許多青年教師在省市技能大賽、一師一優(yōu)課、單元教學(xué)設(shè)計(jì)中獲獎(jiǎng)，青年教師的成長(zhǎng)離不開老教師的用心帶教，傾情奉獻(xiàn).本次同課異構(gòu)的三位新教師課堂教學(xué)雖還不盡完美，但基本達(dá)成本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)；三位教師均能夠在上課前提供給聽(tīng)課教師一份完整且規(guī)范的教學(xué)設(shè)計(jì)，這與入職以來(lái)師傅的帶教和指導(dǎo)息息相關(guān).學(xué)校對(duì)師徒帶教應(yīng)堅(jiān)持落實(shí)相關(guān)的規(guī)章制度，積極推進(jìn)政策支持，充分發(fā)揮師傅的榜樣力量和指導(dǎo)力度，構(gòu)建團(tuán)隊(duì)攜手前行的校園文化.唯有師徒帶教落地于平時(shí)的每一個(gè)教育教學(xué)環(huán)節(jié)，才能助力青年教師理解教學(xué)，真正提升他們的專業(yè)素養(yǎng).

（四）利用校本培訓(xùn)，聚焦共性提升MPCK

在新課改背景下，教師需要系統(tǒng)化地學(xué)習(xí)，更新教學(xué)理念，創(chuàng)新教學(xué)策略.青年教師接收新理念新知識(shí)快，學(xué)校組織系統(tǒng)的校本培訓(xùn)，有利于教師更快、更全面地學(xué)習(xí)和內(nèi)化，提升學(xué)科素養(yǎng).本次同課異構(gòu)的三位新教師在教學(xué)中都存在較為著急，難以就預(yù)設(shè)與生成的不同在課堂中妥善地處理等相關(guān)問(wèn)題，這也是許多青年教師在教學(xué)中存在的困惑.學(xué)校相關(guān)部門可加強(qiáng)調(diào)研，針對(duì)日常教學(xué)困惑，聚焦共性問(wèn)題，以專題的形式進(jìn)行培訓(xùn)，切實(shí)提高校本教研的針對(duì)性和有效性.

每一次公開課，既是教師展示和挑戰(zhàn)自我的機(jī)會(huì)，也是優(yōu)化教師MPCK 的重要平臺(tái).基于課堂觀察，新教師素質(zhì)高、能力強(qiáng)，他們的MPCK 存在不足但發(fā)展的潛力很大.學(xué)校應(yīng)落實(shí)系統(tǒng)支持策略，重視課前學(xué)情科學(xué)評(píng)價(jià)，發(fā)揮團(tuán)隊(duì)力量精心備課，傳承與優(yōu)化師徒帶教制度，堅(jiān)持有效的校本培訓(xùn)等.提升教師MPCK，是教師不斷反思、自我追求和學(xué)校共同努力的結(jié)晶，最終構(gòu)建師生和諧的魅力課堂.