邁克爾遜干涉儀的仿真研究

摘要：近些年來，隨著計算機科學的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)可以利用計算機語言來對光強公式編寫，然后利用計算機模擬出干涉圖樣。本文首先分析邁克爾遜干涉儀中等傾干涉原理，然后應用MATLAB計算機軟件基于各原理編寫程序，模擬了各干涉條紋圖樣。方便地反映出入射光的波長、介質折射率等各參數(shù)與條紋圖樣的關系。用直觀的圖像將復雜的理論形象化，使學習者對邁克爾遜干涉的性質、理論以及規(guī)律更加清晰明了;更能豐富教師的教學資源。

關鍵詞：等傾干涉;邁克爾遜干涉儀;MATLAB模擬

物理學的實驗性很強，實驗是研究物理知識必不可缺的重要組成部分。但人們很難把握有些實驗的實驗條件，稍有不慎就會使整個實驗全軍覆沒。隨著科學的發(fā)展和科技的進步，計算機的問世幫助人們解決了很多的難題。19世紀后期有位科學家叫邁克爾遜，他和他的同伴莫雷經過不懈的努力設計出一種利用分振幅法實現(xiàn)干涉的儀器——邁克爾遜干涉儀。它出現(xiàn)推動了物理學史的發(fā)展，至今在現(xiàn)代科技上仍起著非常重要的作用。但是實驗者在做邁克爾遜干涉儀實驗時發(fā)現(xiàn)，不僅它的原理復雜和抽象，而且對其實驗環(huán)境和調節(jié)技巧具有較高的要求，否則很難得到理想的實驗結論。本文首先分析邁克爾遜干涉儀的實驗原理，以及產生等傾干涉條紋的條件，然后在此基礎上用MATLAB編寫程序，并對此進行仿真研究。這樣就可以不受儀器、環(huán)境以及繁瑣的調節(jié)技巧的影響，從而得到理想的實驗效果。

1?邁克爾遜干涉儀

1.1邁克爾遜干涉儀裝置原理

擴展光源S發(fā)出一束光，這束光首先照射在玻璃板G1板上，因為它的下表面被涂有一層半反射半透明的膜，所以這束光就會被它分成兩部分，且這兩部分光強度，頻率，相位差都相同。（為便于表達本文把經G1反射出的光稱為光線1，把經G1透射出的光稱為光線2。）其中，光線1又射向位于G1上方并與G1成45°傾角的平面鏡M1上，再經M1反射后透過G1射向匯聚透鏡E，最后光線被匯聚在透鏡的焦平面上。光線2經過位于G1右側并于G1平行的且材質大小和G1都相同的玻璃板G2透射到平面鏡M2上（M2是與M1相同的平面鏡，且與M1相互垂直放置），又被M2反射后經原路返回到玻璃板G1處，再經G1上的半反射膜A反射到達E處，匯聚后到達焦平面上。其中，G2稱為補償板，用來補償光線2的光程，這樣兩束光線就分別三次穿過玻璃板。所以最初被半反射膜分開的兩部分光就又會相遇發(fā)生干涉現(xiàn)象。此原理裝置圖如圖1所示。

1.2?邁克爾遜干涉儀與薄膜干涉的關系

其實平面鏡M2經半反射膜A反射后會在與M1平行的位置成一虛像M2'，所以上述中匯聚的光可以看成是分別由平面鏡M1和虛擬平面鏡M2'反射后相遇的光。這樣一來，就實現(xiàn)了在M1和M2'之間成功創(chuàng)造出一空氣薄膜，可以等效為薄膜干涉即一束光照在薄膜表面，其中一部分被上表面反射，另一部分經下表面反射，最后相遇后發(fā)生干涉。

2?等傾干涉實驗的原理和仿真

2.1?等傾干涉條紋產生的原理

當M1和M2嚴格垂直時，等效空氣薄膜層的兩個平面M1、M2'就嚴格平行。光源S發(fā)射出來的光經半反射膜分成兩束光，這兩束光分別又經各平面鏡反射，最后兩束光經半透膜匯聚后疊加形成干涉。此過程可以等效為以下光路圖2所示，一束光以i的角度入射到等效空氣薄膜的上表面，光的一部分直接發(fā)生反射，另一部分發(fā)生折射，經下表面反射，再由上表面折射后回到原來介質中。這兩部分光通過透鏡匯聚在屏幕上。

設入射角為i;空氣薄膜層M1與M2'之間的厚度為d，則兩束光的光程差為：

可見當空氣薄膜層M1與M2'之間的厚度為d一定時，光程差取決于入射光的入射角i。因此，由平板反射的相同入射角i的光線形成的反射光在匯合點具有相同的光程差。也就是說，相同入射角i的所有入射光線都可以形成相同的干涉條紋。由于通過平板角度不同的光線反射形成的干涉條紋是幾個同心圓的明暗光環(huán)，所以這種干涉條紋被稱為等傾干涉條紋。

現(xiàn)在計算屏幕上任意一點的光程差。已知到達屏幕上的光是由光束1和光束2疊加而成的，設匯聚點距屏幕中心的距離為r，匯聚透鏡的焦距為f，如圖3所示。由幾何光學的知識可知，光束S的入射角滿足：

2.2?利用MATLAB仿真等傾干涉實驗

基于上述原理分析，利用MATLAB軟件進行仿真。設入射光的波長λ=589.3nm，入射角θ=0.15rad，M1和M2'之間的等效介質薄膜的厚度為d=0.2mm，介質折射率n=1，透鏡焦距f=200mm。根據(jù)這些數(shù)據(jù)在MATLAB軟件中編寫可直接執(zhí)行的程序，然后逐一改變上述參數(shù)，可以得到相應的邁克爾遜等傾干涉條紋圖樣。下面是邁克爾遜干涉儀中等傾干涉的MATLAB程序。

運行該程序可得到圖4：

從圖4中可以看出，干涉圖樣為一組黑白相間的同心圓環(huán)，同時可以看出越遠離屏幕中心的圓環(huán)越密集，總體呈現(xiàn)出內疏外密的特點。以下將通過改變各個參數(shù)來觀察對干涉條紋的影響。

2.2.1入射光的波長對干涉條紋圖樣的影響

入射光的波長不同，其運行得到的干涉條紋圖樣也不同。如下圖5所示，圖（a）圖（b）圖（c）分別是其入射波長λ為390nm、530nm、780nm的干涉圖樣。由觀察可得，在相同區(qū)域內條紋的疏密程度隨著入射光波長的變化而變化，且波長越長條紋寬度越寬，干涉條紋就越稀疏;波長越短條紋寬度越窄，干涉條紋越緊密。也就是說，在相同大小的平面空間內，可看見的級數(shù)隨著入射光波長的增長而減少。

2.2.2?等效介質薄膜厚度對干涉條紋圖樣的影響

等效介質薄膜厚度不同，其運行得到的干涉條紋圖樣也不同。如下圖6所示，圖（a）圖（b）圖（c）分別是其薄膜厚度d為0.1mm、0.2mm、0.3mm的干涉圖樣。由觀察可得，在相同區(qū)域內條紋的疏密程度隨著薄膜厚度的變化而變化，且薄膜厚度越薄條紋寬度越寬，干涉條紋就越稀疏;薄膜厚度越厚條紋寬度越窄，干涉條紋就越緊密。也就是說，在相同大小的平面空間內，可看見的級數(shù)隨著等效介質薄膜厚度的增加而增加。

2.2.3介質的折射率對條紋圖樣的影響

介質的折射率不同，其運行得到的干涉條紋圖樣也不同。如下圖7所示，圖（a）圖（b）圖（c）分別是其折射率n為1、1.33、1.65的干涉圖樣。由觀察可得，在相同區(qū)域內條紋的疏密程度隨著介質折射率的變化而變化，且折射率越小條紋寬度越寬，干涉條紋就越稀疏;折射率越大條紋寬度越窄，干涉條紋就越緊密。也就是說，在相同大小的平面空間內，可看見的級數(shù)隨著介質折射率的增大而增大。且由觀察可得干涉條紋的明暗對比度與介質折射率也有關系，折射率越小，條紋圖樣的對比度越低。

2.2.4?透鏡焦距對干涉條紋圖樣的影響

透鏡的焦距不同，其運行得到的干涉條紋圖樣也不同。如下圖8所示，圖（a）圖（b）圖（c）分別是其透鏡焦距f為0.15mm、0.20mm、0.25mm的干涉圖樣。由觀察可得，在相同區(qū)域內條紋的疏密程度隨著透鏡焦距的變化而變化，且透鏡焦距越短條紋寬度越窄，干涉條紋就越緊密;透鏡焦距越長條紋寬度越寬，干涉條紋就越稀疏。也就是說，在相同大小的平面空間內，可看見的級數(shù)隨著透鏡焦距的增長而減少。

結論

在研究薄膜干涉等實驗時，我們利用MATLAB強大的繪圖和計算功能，在不使用任何光學儀器的情況下，可以進行對邁克爾遜干涉儀中等傾干涉實驗模擬在不同參數(shù)變化時的干涉圖樣，而且可以通過干涉圖樣的變化規(guī)律直觀的驗證了干涉理論的正確性。這對于干涉圖樣的研究具有一定的意義，并且可以使學生的學習以及教師的講授這部分內容時從實驗室中解放出來?？梢圆捎糜嬎銠C軟件對各類實驗進行模擬和仿真，通過改變各類參數(shù)得出結果，從而使學生把握規(guī)律。

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作者簡介：郭珍（1997—），女，漢族，山西孝義人，學歷：2021級在讀研究生（學號20212513003），單位：太原師范學院，研究方向：學科教學物理。