一題恒久遠(yuǎn) 經(jīng)典永流傳

陜西省西安市長(zhǎng)慶二中 (710201) 安文華

陜西省漢中市四〇五學(xué)校 (723312) 侯有岐

高考對(duì)三角的考查可以分為三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一是三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；二是三角恒等變形；三是解三角形.而解三角形的問(wèn)題是在三角形的邊與角六個(gè)量中給出若干個(gè)量求其它量或者其它量的范圍，這里尤其是以求周長(zhǎng)、面積的取值范圍最為典型.由于這類(lèi)問(wèn)題入手比較寬，可以運(yùn)用正弦定理，也可以運(yùn)用余弦定理，甚至可以考慮幾何方法，對(duì)全面系統(tǒng)掌握解三角形的方法有以點(diǎn)帶面的作用.此外，這類(lèi)問(wèn)題的求解過(guò)程中通常要進(jìn)行代數(shù)變形或者三角變形，考察學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).本文結(jié)合2019年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)三卷第18題，來(lái)談?wù)勥@類(lèi)問(wèn)題在三角復(fù)習(xí)備考中的典型作用.

一、熟悉公式，提高敏感性

二、一題多解，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

下面對(duì)例題第(2)問(wèn)的求解進(jìn)行探討.

反思：通過(guò)解法二，我們發(fā)現(xiàn)求解過(guò)程非常完美，對(duì)三角形是銳角三角形的條件有了深刻理解和認(rèn)識(shí).感覺(jué)這題好啊，出乎意料的好，一是正、余弦定理都能用，二是銳角的條件，用邊和用角都可以轉(zhuǎn)化，這才把正余弦定理是邊角互化的工具，判定三角形的形狀既可以用邊也可以用角這個(gè)觀念體現(xiàn)的淋漓盡致.解法一相對(duì)比較很自然，但解法二認(rèn)識(shí)層次更深，因?yàn)槊髅魇乔筮卆，為什么用角，應(yīng)該用邊更直接，所以才有解法二.但a2-a+1=b2>0沒(méi)有得到a的范圍，這就有了認(rèn)知沖突，遇到挫折怎么辦？回到條件去，去分析還有什么條件沒(méi)有用到，對(duì)條件的理解還能怎樣？

解法三：事實(shí)上本題難點(diǎn)在于“銳角三角形”這個(gè)條件的翻譯與表達(dá)，如果結(jié)合幾何直觀，則能更好、更深的理解這一條件對(duì)解答的啟發(fā).

圖1

反思：滿(mǎn)足△ABC為銳角三角形這個(gè)條件的要求是三個(gè)角都是銳角，在無(wú)限的變化過(guò)程中，極限狀態(tài)是有一個(gè)角是直角，只要越過(guò)這個(gè)極限那自然就不再是銳角三角形，所以問(wèn)題的求解可以將這種運(yùn)動(dòng)變化推到極致，從而得到變量的范圍.

三、一題多問(wèn)，變式練習(xí)

本題可以在(2)加上：求△ABC周長(zhǎng)的范圍.

方法一：仍然考慮正弦定理，用角求解.

①引入輔助角，化為正弦型函數(shù).

②考察幾何意義，用幾何法求解.

圖2

③進(jìn)行恒等變形，用三角函數(shù)求范圍.

方法二：從余弦定理出發(fā)，用邊求解.

通過(guò)上述過(guò)程，我們看到這一個(gè)題串起了龐大的三角知識(shí)庫(kù)，這不正說(shuō)明它的經(jīng)典作用和價(jià)值，在高三復(fù)課教學(xué)中我們要挖掘高考真題的價(jià)值，會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察問(wèn)題，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，落實(shí)核心素養(yǎng).類(lèi)似可解決下題：

(2013新課標(biāo)Ⅱ理科第17題)△ABC在內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c，已知a=bcosC+csinB．

(1)求B；(2)若b=2，求△ABC面積的最大值．