海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型1)

陳志明 王佳楠 廖新維 曾聯(lián)波 趙鵬飛 Yu Wei

* (中國(guó)石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 102249)

? (美國(guó)德州大學(xué)奧斯汀分校,美國(guó)奧斯汀 78712)

引言

海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣沉積環(huán)境穩(wěn)定,富有機(jī)質(zhì)頁(yè)巖大面積分布;發(fā)育微納米級(jí)孔?縫體系,具備較好儲(chǔ)集能力;富含石英等脆性礦物,有利于儲(chǔ)集層壓裂改造[1];頁(yè)巖地層壓力適中[2],含氣量高[3];存在大量微小孔洞和裂隙,但整體滲透率較差.為高效開(kāi)發(fā)頁(yè)巖氣藏,壓裂技術(shù)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛[4-6].與普通氣藏相比,海陸過(guò)渡相頁(yè)巖常煤層、致密砂巖層互層,形成頁(yè)巖氣、煤層氣和致密砂巖氣疊置成藏[7],儲(chǔ)層連續(xù)性較差、橫向變化快、非均質(zhì)性強(qiáng),水力壓裂技術(shù)是其獲得經(jīng)濟(jì)產(chǎn)量的關(guān)鍵手段[8].特別是海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣,地層可采性和可壓裂性良好,具有較好的穩(wěn)產(chǎn)能力,開(kāi)發(fā)前景較好[9].然而,目前缺乏有效的海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型,對(duì)其滲流特征分析及儲(chǔ)層參數(shù)評(píng)價(jià)不利[10-12].因此,亟需開(kāi)展海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏滲流模型的研究工作.

目前,國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者在頁(yè)巖氣藏的滲流理論方面取得了良好的進(jìn)展.1986年,Lee 和Brockenbrough[13]假設(shè)儲(chǔ)層和裂縫之間的流動(dòng)方式是三線(xiàn)性流,建立了無(wú)限大均質(zhì)地層有限導(dǎo)流垂直裂縫井的三線(xiàn)性滲流模型.隨后,Ozkan 等[14]將三線(xiàn)性流解析模型應(yīng)用于壓裂水平井試井分析中,分析了非常規(guī)儲(chǔ)層中的不穩(wěn)定滲流特征.進(jìn)一步地,許多學(xué)者開(kāi)展了頁(yè)巖氣藏的滲流理論工作[15-26].例如,高杰等[27]考慮了頁(yè)巖氣吸附解吸和擴(kuò)散機(jī)理頁(yè)巖氣壓裂水平三線(xiàn)性流模型,通過(guò)數(shù)值反演求得考慮井儲(chǔ)和表皮系數(shù)的無(wú)因次井底壓力解,并繪制了壓力響應(yīng)特征曲線(xiàn),分析了頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流特征.2016年,肖聰[28]針對(duì)頁(yè)巖氣藏中多級(jí)壓裂水平井和體積壓裂水平井裂縫網(wǎng)絡(luò)模型,綜合考慮吸附、擴(kuò)散、基質(zhì)變形、天然裂縫應(yīng)力敏感以及裂縫網(wǎng)絡(luò)高速非達(dá)西等非線(xiàn)性流動(dòng)效應(yīng)的作用,建立了考慮壓裂裂縫和天然裂縫耦合條件下的頁(yè)巖氣藏氣井滲流模型.2018年,任文希[29]采用離散裂縫模型對(duì)水力裂縫進(jìn)行顯式處理,并采用連續(xù)介質(zhì)模型表征壓裂區(qū)和未壓裂區(qū),建立了考慮應(yīng)力敏感、多組分滲流和多組分吸附的頁(yè)巖氣多級(jí)壓裂水平井滲流模型.2020年,Meng 等[12]基于滲流理論,建立了頁(yè)巖儲(chǔ)層復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)條件下的滲流數(shù)學(xué)模型,模型中考慮了壓裂裂縫的非均勻性,并分析了頁(yè)巖儲(chǔ)層的不穩(wěn)定滲流特征.同年,吳明錄和丁明才[30]基于分形理論,考慮到天然裂縫的方向、位置、開(kāi)度和長(zhǎng)度等幾何規(guī)律,建立了分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型,并采用嵌入式離散裂縫和有限差分相結(jié)合的方法求解模型,得到了水平井井底壓力響應(yīng)特征及影響規(guī)律,這些研究成果對(duì)頁(yè)巖氣藏滲流理論及特征研究具有十分重要作用.然而,由于海陸過(guò)渡相頁(yè)巖儲(chǔ)層的特殊物性[31],存在著滲透率極強(qiáng)非均質(zhì)性,其滲流數(shù)學(xué)模型未見(jiàn)報(bào)道,不利于海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏滲流特征分析及儲(chǔ)層參數(shù)評(píng)價(jià).

針對(duì)這一問(wèn)題,本文考慮頁(yè)巖氣吸附解吸,擴(kuò)散,裂縫特點(diǎn),以及海陸過(guò)渡相非均質(zhì)性等特征,建立并求解徑向非均質(zhì)頁(yè)巖氣藏壓裂直井的不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型,得到典型的頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流特征,建立海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣井的儲(chǔ)層參數(shù)評(píng)價(jià)方法,并進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證,最后針對(duì)鄂爾多斯盆地海陸過(guò)渡相典型頁(yè)巖氣井開(kāi)展了實(shí)例分析應(yīng)用,可為同類(lèi)頁(yè)巖氣藏的壓裂評(píng)價(jià)提供理論支撐.

1 海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏滲流數(shù)學(xué)模型

1.1 物理模型

海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏的物理模型如圖1 所示,考慮壓裂施工和儲(chǔ)層橫向變化快,物理模型考慮了壓裂裂縫和滲透率的非均質(zhì)性.頁(yè)巖氣藏為圓形封閉水平等厚,頂?shù)诪椴粷B透隔層;利用雙重介質(zhì)模型描述頁(yè)巖儲(chǔ)層天然裂縫和基質(zhì)系統(tǒng);考慮基質(zhì)系統(tǒng)的頁(yè)巖氣吸附解吸特性,利用Langmuir 等溫吸附曲線(xiàn)描述吸附氣體壓力與被吸附量的關(guān)系;經(jīng)過(guò)壓裂后,近井形成雙翼水力裂縫,水力裂縫為有限導(dǎo)流裂縫.根據(jù)上述物理模型,建立海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏壓裂直井?dāng)?shù)學(xué)模型.

圖1 海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣壓裂直井模型Fig.1 Fractured vertical well model

1.2 數(shù)學(xué)模型

由于頁(yè)巖氣藏存在吸附解吸,Langmuir 方程為

其中,V為頁(yè)巖氣濃度,m3/kg;VL為吸附體積,m3/t;pL為解吸壓力,MPa.引入氣體擬壓力

(1)儲(chǔ)層滲流方程為

其中,1 表示內(nèi)區(qū);2 表示外區(qū);D為擴(kuò)散系數(shù),m2/s;lm為基質(zhì)塊邊長(zhǎng),m.初始條件和內(nèi)外邊界條件為

式中,qsc為地面產(chǎn)量,m3/d;psc為地面壓力,MPa;Tsc為地面絕對(duì)溫度,K.

(2)壓裂裂縫滲流方程為

式中,WFKF為裂縫導(dǎo)流能力,mD·m;WF為裂縫寬度,m;KF為裂縫滲透率,mD.初始條件和內(nèi)外邊界條件為

(3)無(wú)因次滲流數(shù)學(xué)方程為

為使方程簡(jiǎn)潔,引入無(wú)量綱量如附錄A,可得無(wú)因次的儲(chǔ)層滲流數(shù)學(xué)模型

式中, ψ1,2D為內(nèi)外區(qū)儲(chǔ)層擬壓力,無(wú)因次.同時(shí),可得無(wú)因次裂縫滲流數(shù)學(xué)模型

式中, ψFD和CFD分別為裂縫擬壓力和裂縫導(dǎo)流能力,無(wú)因次;qF為裂縫流量線(xiàn)密度,m3/(d·m);q為裂縫中的流量,m3/d;qFD為裂縫流量線(xiàn)密度,無(wú)因次.

1.3 模型求解

采用邊界元方法對(duì)非均質(zhì)油藏滲流模型進(jìn)行求解.首先對(duì)油藏基質(zhì)滲流模型進(jìn)行Laplace 變換,并利用微分算子進(jìn)行簡(jiǎn)化表示,同時(shí)考慮內(nèi)區(qū)裂縫井生產(chǎn)狀況,可得:

(1)油藏基質(zhì)滲流模型解

式中 δ 為L(zhǎng)aplace 算子,無(wú)量綱.

同樣可得

對(duì)于控制方程式 (11),引入Green 方程

很顯然,方程為無(wú)限大地層點(diǎn)源解,滿(mǎn)足

兩邊同乘ψ1D,則可將上述方程變形為

同樣對(duì)式 (11) 兩邊同乘G1得

將式 (15) 減去式(16) 并在區(qū)域1 內(nèi)積分

根據(jù) δ 函數(shù)和格林函數(shù)的性質(zhì)

式(17)可得

通過(guò)整理,可得區(qū)域1 無(wú)因次壓力解

同樣可得,區(qū)域2 無(wú)因次壓力解

(2)連接面條件

(3)壓裂裂縫滲流模型解

對(duì)壓裂裂縫滲流基本方程進(jìn)行Laplace 變換得

利用積分方法可得

將邊界和裂縫單元進(jìn)行離散,如圖2.假設(shè)邊界線(xiàn) Γ1和 Γ2分別被劃分為N1和N2個(gè)邊界單元,裂縫被劃分為nFs裂縫單元和nFv裂縫點(diǎn),如下圖所示.

圖2 邊界離散示意圖Fig.2 Discretization of reservoir boundaries

根據(jù)離散邊界單元的幾何性質(zhì),式(19)～式(27)可離散為

①儲(chǔ)層滲流模型解

②連接面條件

③壓裂裂縫滲流模型解

④輔助方程

利用質(zhì)量守恒方程來(lái)考慮裂縫節(jié)點(diǎn)處流動(dòng),同時(shí)考慮定產(chǎn)量生產(chǎn)條件,則可得

式(28)～式(32) 組成了一個(gè) 2nFv+nFs+4N1+N2階方程組.而對(duì)應(yīng)的未知量為nFv個(gè)裂縫節(jié)點(diǎn)壓力pFD,nFv個(gè)裂縫節(jié)點(diǎn)出流量qwD,nFs個(gè)裂縫單元的單位長(zhǎng)度流量qFD,N12個(gè)邊界單元節(jié)點(diǎn)壓力(ψ12,ψ21,ψ2) 和 2N1邊界單元壓力梯度 (?ψ12,?ψ21).可以看出,方程組是封閉的.對(duì)方程組進(jìn)行聯(lián)立求解,即可得到每一個(gè)裂縫節(jié)點(diǎn)壓力ψFD(rD,s),包括井筒節(jié)點(diǎn)ψwD.考慮井筒儲(chǔ)集效應(yīng)及表皮效應(yīng),進(jìn)一步得到井底壓力響應(yīng)為

式中,ψwCD為包含井儲(chǔ)效應(yīng)和表皮效應(yīng)的拉氏空間井底壓力解,無(wú)因次;CD為井筒儲(chǔ)集系數(shù),無(wú)因次;S為井筒表皮因子,無(wú)因次.最后運(yùn)用stehfest 數(shù)值反演[31]即可得到實(shí)空間下的井底壓力解.

2 海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流特征

2.1 不穩(wěn)定滲流特征

基于時(shí)間與井底壓力和壓力導(dǎo)數(shù)的雙對(duì)數(shù)曲線(xiàn)特征,可分析海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流特征.根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型解,取基礎(chǔ)參數(shù)如表1 所示,繪制頁(yè)巖氣藏壓裂井模型的時(shí)間與壓力和壓力導(dǎo)數(shù)的雙對(duì)數(shù)曲線(xiàn),如圖3 所示.從圖可看出,海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流特征可分為以下階段:I 為流動(dòng)早期階段:其受到井筒存儲(chǔ)效應(yīng)及表皮效應(yīng)的影響,在初期,壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)表現(xiàn)為45°和隆起;II 為雙線(xiàn)性流階段:此階段流體從地層線(xiàn)性流入裂縫,裂縫流體線(xiàn)性流入生產(chǎn)井筒的階段,其壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)的斜率為1/4;III 為線(xiàn)性流階段:此階段是流體從地層線(xiàn)性流入有限導(dǎo)流裂縫的流動(dòng)階段,壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)斜率為1/2;IV 為徑向流階段:壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)的值等于0.5 的水平線(xiàn),達(dá)到內(nèi)區(qū)徑向流階段;V 為頁(yè)巖氣解吸階段,頁(yè)巖氣的解吸發(fā)生在該階段,壓力導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)下凹;VI 為內(nèi)外徑向流過(guò)渡,壓力導(dǎo)數(shù)上升;VII 為外區(qū)徑向流階段:壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)的值等于0.5M 的水平線(xiàn);VIII 為邊界控制階段,該階段主要受邊界條件影響,出現(xiàn)壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)上揚(yáng)的情況.

圖3 海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流特征Fig.3 Characteristics of unstable flow in marine-continental transitional shale gas reservoirs

表1 徑向復(fù)合氣藏壓裂直井模型參數(shù)取值表Table 1 Parameter table of fractured vertical well model in radial composite gas reservoir

2.2 不穩(wěn)定滲流特征

為了更好的認(rèn)識(shí)海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流特征,了解不同的參數(shù)對(duì)其影響,運(yùn)用控制變量法,研究一系列參數(shù)對(duì)滲流特征的敏感性影響,這些分析將為后續(xù)模型應(yīng)用提供理論支撐.

2.2.1 裂縫半長(zhǎng)的影響

根據(jù)不同的裂縫半長(zhǎng),分析對(duì)不穩(wěn)定滲流特征影響,如圖4.由圖可知裂縫半長(zhǎng)主要影響雙線(xiàn)性流和線(xiàn)性流階段,隨著裂縫半長(zhǎng)的增大,受影響的雙線(xiàn)性流階段結(jié)束時(shí)間推遲,其持續(xù)時(shí)間變長(zhǎng).同時(shí),由于裂縫更靠近內(nèi)區(qū)邊界,使得壓力波更早到達(dá)內(nèi)區(qū)徑向流階段.

圖4 裂縫半長(zhǎng)對(duì)不穩(wěn)定滲流特征的影響Fig.4 Influence of fracture half-length on unstable flow characteristics

2.2.2 裂縫導(dǎo)流能力的影響

根據(jù)不同裂縫的導(dǎo)流能力,分析對(duì)不穩(wěn)定滲流特征影響,如圖5.由圖可知裂縫導(dǎo)流能力主要影響中期流動(dòng)階段,隨著裂縫導(dǎo)流能力增加,圖像整體下移,壓力降變小,壓力變化變緩,裂縫導(dǎo)流能力的變化對(duì)流動(dòng)晚期影響較小.

圖5 裂縫導(dǎo)流能力對(duì)不穩(wěn)定滲流特征的影響Fig.5 Influence of fracture conductivity on unstable flow characteristics

2.2.3 解吸壓力的影響

根據(jù)不同解吸壓力,分析對(duì)不穩(wěn)定滲流特征影響,如圖6.由圖可知解吸壓力主要影響基質(zhì)系統(tǒng)流體向天然裂縫系統(tǒng)的供給階段.隨著臨界解吸壓力的增大,曲線(xiàn)整體下移,流體供給階段的開(kāi)始時(shí)間滯后,同時(shí)下凹段越來(lái)越不明顯,直至逐漸消失.

圖6 臨界解吸壓力對(duì)不穩(wěn)定滲流特征的影響Fig.6 Influence of critical desorption pressure on unstable flow characteristics

3 模型驗(yàn)證

利用數(shù)值模擬方法對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證,建立一口海陸過(guò)渡相壓裂直井的數(shù)值模型(圖7).數(shù)值模型孔隙度為3.08%,目的層儲(chǔ)層溫度68 °C,原始地層壓力為 22 MPa,裂縫半長(zhǎng)為30 m,裂縫導(dǎo)流能力100 mD·m,氣藏厚度5.4 m.壓裂直井進(jìn)行壓降測(cè)試,流量為1000 m3/d,數(shù)值模擬測(cè)試數(shù)據(jù)見(jiàn)圖8.利用文中建立的數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證,由模型驗(yàn)證參數(shù)表(表2)和結(jié)果對(duì)比圖(圖8)可知,數(shù)學(xué)模型計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模型結(jié)果基本一致.

圖7 海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣壓裂直井?dāng)?shù)值模型Fig.7 Virtual well model

圖8 文中計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證Fig.8 Calculated results compared with the numerical simulation results

表2 模型驗(yàn)證參數(shù)表Table 2 Model parameters

4 模型應(yīng)用

基于海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型,通過(guò)與實(shí)際礦場(chǎng)壓力測(cè)試數(shù)據(jù)擬合分析[3],可評(píng)價(jià)儲(chǔ)層及裂縫參數(shù).DDJ 井為 2017年海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏完鉆的一口壓裂井.為評(píng)價(jià)DDJ 井的壓裂裂縫參數(shù),開(kāi)展了不穩(wěn)定壓力測(cè)試,測(cè)試過(guò)程如圖9.連續(xù)測(cè)試階段約進(jìn)行了 1150 h,測(cè)試階段測(cè)試了 600 h,測(cè)試時(shí)間相對(duì)比較長(zhǎng).

圖9 實(shí)際擬合壓力測(cè)試數(shù)據(jù)Fig.9 Practical fitted pressure data

針對(duì)測(cè)試過(guò)程不穩(wěn)定壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行分析(圖9),發(fā)現(xiàn)存在不穩(wěn)定流動(dòng)特征的I,III,IV,V 和VI 階段.其中,第I 階段為流動(dòng)早期階段,其受到井筒存儲(chǔ)系數(shù)以及表皮系數(shù)的影響;第II 階段沒(méi)有很明顯出現(xiàn),主要是因?yàn)榱芽p半長(zhǎng)較短導(dǎo)致流體在裂縫中的流動(dòng)時(shí)間較短;第III 階段為線(xiàn)性流階段,流體從地層線(xiàn)性流入有限導(dǎo)流裂縫的流動(dòng)階段;第IV 階段為徑向流階段,達(dá)到內(nèi)區(qū)徑向流階段;第V 階段為頁(yè)巖氣解吸階段,頁(yè)巖氣的解吸發(fā)生在該階段;第VI 階段為內(nèi)外徑向流過(guò)渡.利用建立的頁(yè)巖氣壓裂井滲流數(shù)學(xué)模型,對(duì)壓力測(cè)試數(shù)據(jù)開(kāi)展擬合分析(圖9),擬合分析和裂縫參數(shù)評(píng)價(jià)結(jié)果如表3.分析發(fā)現(xiàn),經(jīng)過(guò)壓裂改造后,典型井附近形成了主裂縫和改造區(qū),主裂縫為有限導(dǎo)流兩翼縫,裂縫半長(zhǎng)為31～33 m,導(dǎo)流能力為93～101 mD·m,改造區(qū)半徑為100 m,改造區(qū)滲透率為0.2～0.3 mD.典型井控制半徑約為318 m,控制可采儲(chǔ)量約為8.52 × 106m3.

表3 擬合分析參數(shù)結(jié)果表Table 3 Evaluated parameters using type-curve matching

5 結(jié)論

(1)考慮頁(yè)巖氣吸附解吸,擴(kuò)散,裂縫特點(diǎn),以及海陸過(guò)渡相非均質(zhì)性等特征,建立并求解徑向非均質(zhì)的頁(yè)巖氣藏壓裂直井不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型,得到典型的頁(yè)巖氣壓裂井試井曲線(xiàn)特征,并進(jìn)行了數(shù)值模擬驗(yàn)證,最后針對(duì)鄂爾多斯盆地海陸過(guò)渡相典型頁(yè)巖氣井開(kāi)展了實(shí)例分析應(yīng)用,可為同類(lèi)頁(yè)巖氣藏的壓裂評(píng)價(jià)提供一些理論支撐.

(2)海陸過(guò)渡相頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定滲流特征可分為以下階段:I 為流動(dòng)早期階段:其受到井筒存儲(chǔ)效應(yīng)以及表皮效應(yīng)的影響,在初期,壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)表現(xiàn)為45°;II 為雙線(xiàn)性流階段:此階段流體從地層線(xiàn)性流入裂縫,裂縫流體線(xiàn)性流入生產(chǎn)井筒的階段,其壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)的斜率為1/4;III 為線(xiàn)性流階段:此階段是流體從地層線(xiàn)性流入有限導(dǎo)流裂縫的流動(dòng)階段,壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)斜率為1/2;IV 為徑向流階段:壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)的值等于0.5 的水平線(xiàn),達(dá)到內(nèi)區(qū)徑向流階段;V 為頁(yè)巖氣解吸階段,頁(yè)巖氣的解吸發(fā)生在該階段,壓力導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)下凹;VI 為內(nèi)外徑向流過(guò)渡,壓力導(dǎo)數(shù)上升;VII 為外區(qū)徑向流,壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)的值等于0.5M 的水平線(xiàn);VIII 為邊界控制階段,該階段主要受邊界條件影響,出現(xiàn)壓力導(dǎo)數(shù)曲線(xiàn)上揚(yáng).

附錄

無(wú)量綱量

引入儲(chǔ)層滲流方程無(wú)量綱量如下

其中 ,ω為彈性?xún)?chǔ)容比,無(wú)量綱.

同時(shí),引入關(guān)于裂縫無(wú)因次量如下

式中,ψFD 和CFD分別為裂縫擬壓力和裂縫導(dǎo)流能力,無(wú)因次;qF為裂縫流量線(xiàn)密度,m3/(d·m);q為裂縫中的流量,m3/d;q FD為裂縫流量線(xiàn)密度,無(wú)因次.