基于最優(yōu)收縮的傳聲器陣列部分相干噪聲去噪方法

余 亮，潘 錚，陳正武，高建正，蔣偉康

（1.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.上海交通大學 智能汽車研究所，上海 200240；3.中國空氣動力研究與發(fā)展中心氣動噪聲控制重點實驗室，四川 綿陽 621000）

0 引 言

背景噪聲抑制是波束形成技術的重要研究內(nèi)容。經(jīng)典的波束形成方法中對于背景噪聲的假設為空間不相干噪聲，即陣列在空間的不同傳聲器中采集到的背景噪聲信號是互不相干的，在傳聲器陣列測量領域稱之為空間白噪聲[1-3]。在這個假設下發(fā)展了一系列空間白噪聲的去除方法：如以特征值濾波為代表的子空間法[4-5]、最小化空間噪聲功率的Capon方法[6]、將互譜矩陣的對角線去除的對角線移除方法（Diagonal Removal,DR）方法[7-8]等。

然而自20世紀90年代開始，波束形成方法開始逐漸應用于環(huán)境惡劣、較低信噪比的工況下。其中一個典型的應用就是水底聲源的探測，由于水下聲源不盡相同，水下聲源的傳播機理也不同于空氣傳播，海洋中更是存在著難以預測的干擾，因此提出了區(qū)別于傳統(tǒng)方法的去噪方式[9-11]。另一種典型的復雜工況存在于氣動聲學領域，由于風洞中的氣流誘導噪聲與安裝效應，使得目標聲源的探測受到嚴重干擾，也對傳聲器陣列去噪方法提出了新的要求[12-14]。因此，在實際測量中，尤其是存在強干擾的測量環(huán)境下，電子噪聲、環(huán)境噪聲或流致噪聲等噪聲的存在，使得背景噪聲變得復雜。此時背景噪聲在空間的分布并不滿足空間白噪聲假設，而趨近于空間部分相干，即陣列不同傳聲器采集到的背景噪聲部分相干[15]。此時傳統(tǒng)的去噪方法（對角線重構，子空間法）在信噪比較高以及相干通道數(shù)較少時尚可取得不錯的結果；而在強干擾的工況下，將導致聲場成像動態(tài)范圍的減小以及對聲源強度的低估。

因此，針對傳聲器陣列接收信號中背景噪聲部分相干與聲源個數(shù)相對傳聲器個數(shù)較少的特點，提出了許多基于背景噪聲及聲源結構化特征建模的去噪算法。文獻[16]考慮了背景噪聲與前向傳播模型的不確定性，引入了聲源的稀疏模型并使用貝葉斯方法進行求解，增強了聲源成像的分辨率。文獻[17]最早提出了對聲源互譜矩陣的低秩建模：譜矩陣的秩數(shù)等于不相干聲源的個數(shù)，其提出的一種循環(huán)投影（Cyclic Projection,CP）算法，在聲場信號高度相干的情況下，能夠恢復傳聲器互譜矩陣中聲源信號的缺失信息。文獻[18]基于壁壓互譜矩陣的低秩特性與邊界層噪聲的稀疏特性，除了對聲源進行低秩建模之外，還引入了背景噪聲的稀疏模型，并使用魯棒主成分分析（Robust Principal Component Analysis,RPCA）實現(xiàn)水動力隧道邊界層去噪。文獻[19]提出了一種概率因子方法（Probabilistic Factorial Analysis,PFA）：使用復高斯分布對聲源及噪聲進行建模以擬合傳聲器陣列的互譜矩陣，利用貝葉斯層次方法對模型未知參數(shù)求解。

在上述研究的基礎上，根據(jù)部分相干噪聲的機理，本文提出了背景噪聲互譜矩陣的稀疏建模；以及當已知聲源個數(shù)小于傳聲器個數(shù)時，對聲源互譜矩陣進行低秩建模，并以聲源與背景噪聲各自互譜矩陣的秩和0-范數(shù)作為兩者的度量準則。通過使用最優(yōu)收縮和軟閾值操作對該度量準則進行近似和優(yōu)化求解，實現(xiàn)了互譜矩陣中聲源和背景噪聲成分的分離。將提取出的聲源互譜矩陣用于波束形成，可以很好地實現(xiàn)對空間不相干和部分相干背景噪聲的抑制。

1 問題描述

若有S個不相干聲源信號，M個傳聲器組成的傳聲器陣列，假設聲源位于位置xs處，那么聲源經(jīng)自由場傳播至位置xm處的聲壓信號表示為[20]

將聲源信號的傅里葉變換表示為q（xs,f），那么在不相干聲源假設下兩個不同聲源的頻域信號之間關系為

背景噪聲會嚴重影響傳聲器陣列波束形成方法的成像效果，在傳統(tǒng)的波束形成方法中，陣列采集到的背景噪聲往往被認為是互不相干的。傳聲器陣列采集到的頻域聲壓p可以一般性地表示為

2 部分相干噪聲的去噪方法

2.1 低秩稀疏假設

對于式（10）的求解，可以將其看成低秩子問題與稀疏子問題，如式（11）與式（12）所示：

2.2 稀疏子問題

式（12）的解一般可使用對稀疏矩陣的軟閾值（Soft Thresholding）操作求解：

2.3 低秩子問題

其中，I為單位矩陣，Tr（·）為矩陣的跡運算。此時，式（17）可以寫為

2.4 算法求解過程

分別使用軟閾值操作和最優(yōu)收縮實現(xiàn)對式（10）的迭代求解，其中，第k次迭代過程為

值得注意的是，上述算法基于低秩/稀疏假設，假設聲源個數(shù)已知且遠遠小于傳聲器個數(shù)，此時認為每個迭代步長的聲源的互譜矩陣都是低秩的，并使用最優(yōu)收縮求解；而部分相干噪聲的互譜矩陣是稀疏的，并使用軟閾值操作進行求解。最終，基于最優(yōu)收縮的傳聲器陣列部分相干噪聲去噪算法的流程圖如圖2所示。

圖1 部分相干噪聲互譜矩陣Fig.1 Cross spectrum matrix of partially coherent noise

圖2 去噪算法的流程圖Fig.2 Flow chart of denoising algorithm

3 仿真與實驗驗證

3.1 仿真驗證

利用仿真，生成不同相干通道數(shù)的背景噪聲，以驗證所提去噪算法在不同相干通道數(shù)下的部分相干噪聲的表現(xiàn)。仿真中使用 56個通道的阿基米德螺線陣列，共有7個臂，如圖3（a）所示。設置兩個獨立聲源，聲源位置分別為（-0.2,-0.2,1.5）和（0.2,0.1,1.5），仿真布置如圖3（b）所示。在采樣頻率為16 384 Hz時，假設時域信號被分成1 600個采樣段，每段信號在時域利用256點FFT轉化到頻域。兩個聲源分別生成寬帶高斯白噪聲，背景噪聲采用相同參數(shù)的隨機序列。若以傳聲器陣列采集到所有聲源信號能量的平均值除以背景噪聲能量的平均值定義信噪比，噪聲信號設置的不相干背景噪聲信噪比為-20 dB，相干通道信噪比為-7 dB。對處理后的傳聲器陣列信號在分析頻率為2 432 Hz時，分別使用移除互譜矩陣對角線方法與本文提出的基于最優(yōu)收縮的去噪方法提取互譜矩陣低秩部分，對傳聲器陣列進行去噪。成像網(wǎng)格為67×67個，網(wǎng)格大小為 0.015 m，比較原始信號與去噪后信號的互譜矩陣與波束形成成像結果，如圖4～6所示。

圖3 仿真環(huán)境設置Fig.3 Simulation environment settings

通過圖 4（d）～4（f）、5（d）～5（f）、6（d）～6（f）比較原始傳聲器陣列波束形成結果、對角線移除后結果以及本文提出的低秩部分提取方法去噪后的結果，以探究部分相干背景噪聲對聲源成像的影響（聲功率級）。由于背景噪聲不相干部分與部分相干部分的影響，對聲源成像結果造成較大的干擾。當傳聲器陣列互譜矩陣相干通道數(shù)為0時，如圖4所示，傳聲器互譜矩陣非對角線的幅值較小，使用對角線移除和低秩部分提取均能獲得較好的成像結果，如圖4（e）～4（f）所示。如圖5（b）、圖6（b）所示，當相干通道數(shù)逐漸變多時，互譜矩陣非對角線的噪聲幅值逐漸變大，僅使用對角線移除無法還原出聲源互譜矩陣的結構化特征。而從圖5（c）、6（c）可以發(fā)現(xiàn)，所提出的方法在保證互譜矩陣的完整性（對角線）的同時，最大化地去除背景部分相干噪聲的影響。相比于圖 5（e）、圖 6（e）中對角線移除的聲源定位效果，所提出的方法實現(xiàn)更加精準的聲源定位，如圖5（f）、圖6（f）所示。

圖4 不相干背景噪聲下原始陣列，對角線法去噪后陣列和低秩提取法去噪后陣列的互譜矩陣與成像結果對比Fig.4 Comparison between cross spectrum matrixes and imaging results of the original array,the DR denoising array and the low-rank extraction denoising array under incoherent background noise

圖5 10個相干通道下原始陣列，對角線法去噪后陣列和低秩提取法去噪后陣列的互譜矩陣與成像結果對比Fig.5 Comparison between cross spectrum matrixes and imaging results of the original array,the DR denoising array and the low-rank extraction denoising array under 10 coherent channels

圖6 25個相干通道下原始陣列，對角線法去噪后陣列和低秩提取法去噪后陣列的互譜矩陣與成像結果對比Fig.6 Comparison between cross spectrum matrixes and imaging results of the original array,the DR denoising array and the low-rank extraction denoising array under 25 coherent channels

為了定量比較不同相干通道數(shù)下對角線移除與基于最優(yōu)收縮的低秩提取方法的聲源重構效果，定義互譜相對誤差為

雖然在極低信噪比及部分相干噪聲的工況下，所提出的低秩提取方法具有超過200%的互譜矩陣相對誤差，但依然可以根據(jù)互譜矩陣的結構化信息實現(xiàn)聲源定位。

觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，當相干通道數(shù)小于40時，基于最優(yōu)收縮的低秩提取方法相比對角線移除方法擁有更小的互譜矩陣誤差，并且在相干通道數(shù)小于8個、大于1個時，所提出的方法對比對角線移除方法，均減小了超過100%的互譜矩陣對角線誤差，驗證了本方法的有效性。當相干通道數(shù)為7個時，所提出的方法具有最好的去噪效果，而隨著相干通道數(shù)的增多，噪聲的互譜矩陣逐漸開始難以滿足稀疏的假設，去噪效果也逐漸變差。

圖7 不同相干通道數(shù)下互譜矩陣相對誤差對比Fig.7 Comparison of relative errors of cross spectrum matrix under different coherent channel numbers

另外，當相干通道數(shù)到達 56個時，未去噪的互譜矩陣相對誤差與去噪后的互功率譜矩陣相對誤差出現(xiàn)了重合。此時所有通道上都出現(xiàn)了相干噪聲，聲源與噪聲的互功率譜矩陣的結構化信息從低秩+稀疏，變?yōu)榱说椭?低秩，事實上此時已從傳聲器陣列去噪問題轉化為了聲源分離問題。

3.2 實驗驗證與分析

在封閉實驗大廳中，安放障板并使用2個1 in（1 in=2.54 cm）揚聲器作為標準聲源，障板遠離陣列一側使用消聲棉包裹以避免另外一側聲場的影響。為了模擬出部分相干的背景噪聲，在聲源四周使用4臺工業(yè)風扇同時運轉產(chǎn)生背景噪聲，此時在正對聲源位置人耳無法聽到揚聲器播放的聲音。利用與仿真中陣元布置方式一致的傳聲器陣列進行采集，陣列直徑為1 m，如圖8（a）所示，傳聲器采用BSWA MA 231型號傳聲器前置放大器以及MP201傳聲器，數(shù)據(jù)采集模塊使用配套的BBM PAK MKII 采集系統(tǒng)。陣列放置于聲源（揚聲器）的正前方，聲源-陣列距離為1.5 m，如圖8（b）所示。

圖8 強干擾環(huán)境下實驗布置圖Fig.8 Experimental layout in strong interference environment

試驗中揚聲器播放白噪聲信號，傳聲器陣列進行信號采集。采集設備的采樣頻率為16 384 Hz，并使用256點FFT在90%重復率下轉換到頻域，其他參數(shù)與仿真保持一致。在試驗中，首先測量沒有聲源情況下的背景噪聲，然后添加聲源進行信號采集，獲得信噪比約為-17 dB。對背景噪聲的測試結果中選擇兩個典型的分析頻率（2 432 Hz和4 416 Hz），此時背景噪聲的互譜矩陣相干性分別對應較為典型的部分相干和不相干特性，如圖9所示，聲源定位結果如圖10所示。

圖9 不同頻率下各通道互譜矩陣的相干性Fig.9 Coherence of the cross spectrum matrix of each channel at different frequencies

對于聲源附近“光圈”的出現(xiàn)可以解釋為：使用未經(jīng)處理的傳聲器陣列互譜矩陣進行波束形成，其主要貢獻量來自三部分：聲源、不相干噪聲和部分相干噪聲，如圖11（a）所示。可以發(fā)現(xiàn)，不相干噪聲對整個動態(tài)范圍內(nèi)波束形成的都有影響；而部分相干噪聲在聲源附近能量較高，對背景噪聲的貢獻并不明顯，因此當使用對角線移除的方法對陣列互譜矩陣進行去噪，移除了不相干噪聲的貢獻量如圖11（b）所示，出現(xiàn)了如圖 10（e）所示的圓環(huán)。而使用基于最優(yōu)收縮的低秩提取方法，同時去除不相干噪聲與部分相干噪聲，如圖11（c）所示，所以獲得了更好的去噪結果。

圖10 部分相干噪聲的去噪實驗結果Fig.10 Results of denoising experiments for partially coherent noise

圖11 聲源、不相干背景噪聲和部分相干噪聲對波束形成的貢獻Fig.11 Contributions of sound source,incoherent background noise and partially coherent noise to beamforming

4 結 論

本文探究了部分相干背景噪聲的來源及其對聲源成像的影響。當傳聲器個數(shù)大于聲源個數(shù)時，可認為聲源互譜矩陣是低秩的；部分相干噪聲的不相干部分集中在背景噪聲互譜矩陣的對角線上，而部分相干部分則分布在互譜矩陣的非對角線上，因此是稀疏的。在低秩、稀疏假設下，提出了一種基于最優(yōu)收縮的互譜矩陣低秩提取方法以達到去噪的目的。通過仿真，對比了在不同相干通道數(shù)下所提出方法與傳統(tǒng)去噪方法（對角線移除）的去噪效果。通過實驗，驗證了空間部分相干噪聲的存在與本文所提去噪算法相對于對角線移除方法的優(yōu)越性。