壓電效應(yīng)下一維六方準(zhǔn)晶中正六邊形孔邊裂紋傳播問題

高慧芳

(朔州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)計(jì)系，山西 朔州 036000)

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和新材料的出現(xiàn)，準(zhǔn)晶是一種目前研究較為廣泛的新材料，準(zhǔn)晶體在一定條件下，會(huì)使得微觀缺陷發(fā)展成為宏觀缺陷，從而發(fā)生斷裂破壞，甚至誘發(fā)事故，準(zhǔn)晶體在斷裂損傷中，其破壞與準(zhǔn)晶體的裂紋發(fā)展和傳播都有很大關(guān)系。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了大量的研究，不管是理論研究還是實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)均取得了豐碩成果[1-4]。文獻(xiàn)[5]利用復(fù)變函數(shù)方法，研究了一維六方壓電準(zhǔn)晶中多角形缺陷唇形快速傳播裂紋問題，給出了動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解。文獻(xiàn)[6]利用保角映射技術(shù),在電不滲透型的邊界條件下借助復(fù)變函數(shù)方法,解決了一維六方壓電準(zhǔn)晶中正六邊形孔邊裂紋的反平面問題，并得到了場(chǎng)強(qiáng)度因子的解析式。下面不僅考慮聲子場(chǎng)、相位子場(chǎng)及電場(chǎng)之間的耦合作用，還考慮正六邊形孔邊裂紋沿準(zhǔn)周期方向勻速傳播的動(dòng)力學(xué)問題，得到了電不滲透情形下動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子和電位移強(qiáng)度因子的解析解。

1 基本理論

在具有壓電效應(yīng)的一維六方準(zhǔn)晶材料中，建立空間直角坐標(biāo)系xi(i=1,2,3)，設(shè)坐標(biāo)軸x3方向?yàn)闇?zhǔn)周期方向，記Dj，Ei，φ分別表示電位移、電場(chǎng)和電勢(shì)，Eij,σij,ui分別表示聲子場(chǎng)的應(yīng)變、應(yīng)力和位移分量，ωj,Hij,w3(i,j=1,2,3)分別表示相位子場(chǎng)的應(yīng)變、應(yīng)力和位移分量，Cij表示聲子場(chǎng)的彈性常數(shù)，Ki表示相位子場(chǎng)的彈性常數(shù)，Ri表示聲-相位子場(chǎng)耦合的彈性常數(shù)，eij，dij表示壓電常數(shù)，λ11，λ33表示介電常數(shù)，ρ表示具有壓電效應(yīng)的一維六方準(zhǔn)晶材料的密度。則具有壓電效應(yīng)的一維六方準(zhǔn)晶彈性問題的本構(gòu)方程如下：

(1)

幾何方程

ω3j=?jw3,(i,j=1,2,3)

Ej=-?jφ

(2)

運(yùn)動(dòng)平衡方程為

?1D1+?2D2+?3D3=0

(3)

當(dāng)缺陷沿準(zhǔn)晶的準(zhǔn)周期方向穿透時(shí)，材料的幾何性質(zhì)不隨周期方向改變，即公式(1)中所有變量對(duì)x3的偏導(dǎo)數(shù)為0。

該問題可分解為兩個(gè)獨(dú)立的問題，文中只分析其中準(zhǔn)周期彈性場(chǎng)的反平面問題。

整理(1)-(3)式得

e15▽2u3+d15▽2w3-λ11▽2φ=0

(4)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

(5)

引入新的位移勢(shì)函數(shù)[7]M1(x1,x2,t),M2(x1,x2,t)和M3(x1,x2,t)，且設(shè)

{u3=ηM1-BM2

w3=BM1+ηM2

(6)

通過(guò)(4)的第三式和(5)式進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

▽2M3=0

(7)

把(6)代入(1)得由位移勢(shì)函數(shù)Mi(i=1,2,3)表示的應(yīng)力和電位移分量為

2 電不滲透的正六邊形孔邊快速傳播裂紋

如圖1所示，假設(shè)一無(wú)限大的一維六方準(zhǔn)晶體內(nèi)部含有沿準(zhǔn)周期方向穿透的正六邊形孔邊裂紋，正六邊形孔的邊長(zhǎng)為a，左右裂紋長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1和L2，以速度v勻速沿x1方向運(yùn)動(dòng)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處受到沿準(zhǔn)周期方向的剪應(yīng)力p和電載荷T的作用。

圖1 具有壓電效應(yīng)的一維六方準(zhǔn)晶中含正六邊形孔邊裂紋

作變換x=x1-vt,y=x2,建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系x-y,將問題轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定裂紋動(dòng)力學(xué)問題,該問題的電不滲透邊界條件為

{z→∞:σ32=H32=D2=0

z∈L:σ32=-p,H2=0,D2=-T

(9)

則方程(7)可化為三個(gè)新的方程

(10)

由文獻(xiàn)[8]知方程組(10)的解Mi(i=1,2,3)可以表示成三個(gè)解析函數(shù)f1(z1),f2(z2),f3(z)的實(shí)部或虛部，故令

Mi=Re{fi(zi)},(i=1,2)

M3=Re{f3(z)}

(11)

其中z1=x+iy1,z2=x+iy2,z=x+iy,

y1=δ1y,y2=δ2y

根據(jù)解析函數(shù)的性質(zhì)可得

(12)

引入保角映射[8]

(13)

其中

(14)

(15)

函數(shù)f1,f2,f3及它們的導(dǎo)數(shù)變換為

f1(z1)=f1(ω(ξ))=U1(ξ)

f2(z2)=f2(ω(ξ))=U2(ξ)

f3(z)=f3(ω(ξ))=U3(ξ)

(16)

(17)

把邊界條件代入式(13)，將單位圓周γ上 的點(diǎn)ξ=σ=eiθ代入，且兩邊同乘以dσ/2πi(σ-ξ)沿邊界γ積分得

(18)

由柯西公式得:

(19)

把式(19)代入(18)中再代入式(17)得

(20)

其中

G=δ1δ2[(Aη+B2)(Dη-B2)

-B2(η-A)(η+D)]

把式(20)代入式(12)可得z平面內(nèi)該問題的應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，可得裂紋尖端處z=a+L2，對(duì)應(yīng)在ξ平面內(nèi)ξ=1處動(dòng)態(tài)的聲子場(chǎng)應(yīng)力和電位移的強(qiáng)度因子分別為

(21)

其中K表示無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子，且L′為裂紋等效長(zhǎng)度,即L′=(L1+L2+2a)/2

θ2=B(Aη+B2)(η-A)

3 結(jié)論

通過(guò)引入無(wú)限大平面內(nèi)正六邊形孔口雙裂紋到數(shù)學(xué)平面的保角映射函數(shù)，利用柯西積分公式，在電不滲透的邊界條件下,對(duì)具有壓電效應(yīng)的一維六方準(zhǔn)晶材料中正六邊形孔邊裂紋的反平面動(dòng)態(tài)問題進(jìn)行了分析研究，得到了其應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)及動(dòng)態(tài)的應(yīng)力強(qiáng)度因子和電位移強(qiáng)度因子的解析解。發(fā)現(xiàn)應(yīng)力強(qiáng)度因子不僅受聲子場(chǎng)應(yīng)力大小的影響，還與電載荷、傳播速度、裂紋大小有關(guān)，而電位移強(qiáng)度因子與聲子場(chǎng)應(yīng)力大小無(wú)關(guān)。