蜃景形成的原理及實驗驗證

韓潤澤

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

海市蜃樓，又稱蜃景，是光線經過不同折射率的介質層發(fā)生連續(xù)折射或者發(fā)生全反射時出現的一種光學現象.

蜃景成因的主流觀點是光線經過多次折射，入射角不斷增大，最后出現全反射改變光路方向[1,2]，也有觀點認為上現蜃景是由于掠入射導致的鏡反射引起的[3].人造蜃景的方法主要是利用自由擴散法[4-7]，且大多數文獻只是通過擴展光源照射得到蜃景為止，暫無通過激光顯示光路來驗證蜃景形成原因的.

蜃景常見的是上現蜃景、下現蜃景和復雜蜃景.復雜蜃景是變形的上現、下現蜃景以及一些其他蜃景(如側向蜃景)的復雜疊加[8].本文將以上現蜃景為例進行理論和實驗的驗證，得到蜃景形成的一般原理.

1 光在介質中傳播基本理論

1.1 光線軌跡理論推導

大氣層分成同心球殼,每一球殼的折射率認為相同, 在任意相鄰的兩個球殼的分界面上, 發(fā)生折射現象.

由菲涅耳定律，設入射處折射率為n0，入射角為θ0.第i層的折射率為n(y)，入射角為θ(x,y)，有

即有

(1)

以射入點為原點，沿容器向上開口為y軸正方向.在垂直于y軸的平面內，沿光線在該平面上的投影的方向為x軸建立坐標系.如圖1所示.

圖1 光線傳播軌跡示意圖

在y處的導數表達式為

代入式(1)得

(2)

通過2.2節(jié)配置溶液的方法，n(y)滿足

(3)

折射率漸變溶液.其中a、b為溶質決定的參數；M0%為起始溶液的質量百分數；S、V為與裝置有關的常量. 記

(4)

n0sinθ0=E

(5)

(6)

由全反射限制，取E>a積分得

C為積分常量. 條件入射點(0,y0),積分得

稱為光線方程. 式(7)中

(8)

(9)

a、b、β、E由式(3)、(4)、(5)決定.

由反三角函數定義域, 得

(10)

則y的最大值ym恰為光線發(fā)生全反射時的y值. 即n(ym)sin90°=n0sinθ0. 代入ym，得到對應的全反射處的x值滿足

(11)

1.2 一種特定折射率漸變溶液的成像規(guī)律

由NaCl溶液折射率n與其質量百分數的經驗公式[9]，得到式(3)中的參數：

a=1.333 1±0.000 5;

b=0.001 85±0.000 03

(12)

并取β=7.955/m,M0=16.

激光以不同入射角從y0=0.03m處射入溶液，光線發(fā)散，所成像為在特定觀察點的光線切線的交點，故為虛像. 用Matlab模擬入射光線在溶液中的光路及物點對應的成像點，如圖2所示. 盛放配置溶液的容器長1m，物貼在容器一側的器壁上，人在另一側觀察.

觀測點的橫坐標一定時，對于物體的兩端分析，探究成像情況. 由于光射出容器后沿直線傳播，且觀測人眼離容器壁很近，故取觀測點橫坐標為x0=1m，物點縱坐標分別為y0=0.03,0.09m. 箭頭所指的圈中為對應物點的像點位置，如圖2所示.

圖2 改變物點縱坐標模擬成像位置

通過圖2可知，物點越高像點越高，所以不論物的縱坐標在何處，只要光線透過溶液且切線的交點近似為一點，得到的都是正立的虛像.

2 光在非均勻介質中傳播的實驗

2.1 實驗裝置

改進指數分布法配置溶液裝置示意圖如圖3所示.由四部分組成，分別是水管、混合槽、觀景槽、內外雙層開縫塑料管. 水管通入可調恒定水流，通過調節(jié)水流流量與混合槽流出水流流量相等來使混合槽水位不變. 混合槽實驗前裝入配置好的已知初始質量百分數的溶液，高度適宜.

圖3 配置裝置示意圖

觀景槽實驗前調平，以保證折射率分界面水平.在實驗開始前，觀景槽內放入緩沖板.緩沖板是與觀景槽槽底等大的打孔泡沫板，可以漂浮在水面上，一定程度上使水流相對平穩(wěn)落入觀景槽.

在混合槽一側的水龍頭加上內外雙層開縫塑料管(剖面圖如圖4所示)，內部小口徑塑料管上側開口，保證其灌滿后再均勻溢出.外部大口徑塑料管下側開多個槽使溶液流出. 水龍頭與塑料管的規(guī)格大小為：內管外徑和外管內徑與水龍頭的內外徑恰好相同，避免水的泄漏.實驗開始前，內外雙層開縫塑料管的末端需要封住，避免實驗時溶液外流.

圖4 內外雙層開縫塑料管剖面圖

2.2 配置觀景槽溶液的原理及步驟

水管和水龍頭流量相等，記為Φ.混合槽內裝入質量百分數為M0，體積為V的食鹽水. 設t時刻混合槽內鹽水質量百分數為M(t)，dt時間內槽內食鹽的增量為VdM，從混合槽排出的鹽水質量百分數也為M(t)，dt時間內從混合槽排出鹽量為Φdt·M.在混合槽內食鹽增量就等于該槽食鹽的排出量，因此有

VdM=-Φdt·M

(13)

(14)

(15)

令t時刻觀景槽鹽水的高度為y，底面積為S，則

(16)

聯立式(15)、式(16),得

(17)

其中M%為混合槽內鹽水質量百分數，S為觀景槽的底面積，V是混合槽中液體的體積，M0%為混合槽中溶液初始質量百分數，對于食鹽水一般是10～20%[10].

2.3 實驗步驟

1) 按圖3擺放實驗裝置，保證觀景槽高度適宜觀看.

2) 打開水管和混合槽水龍頭，調整二者流量使混合槽內水位達到不隨時間改變.關閉水管和水龍頭，倒出混合槽內的水并擦拭干凈.

3) 在混合槽內注入鹽水，質量百分數M0=20左右.標記混合槽水位，保證配置過程高度不變.

4) 同時打開水管和混合槽水龍頭.用攪拌棒在混合槽內不斷攪拌.目視混合槽標記處，保證混合槽水位高度不變.

6) 去掉除觀景槽以外的所有裝置，配置完成.

2.4 實驗數據提取方法

配置完溶液后，激光如圖5方式斜入射，之后用Tracker軟件提取照片中光路的數據點，進行數據分析. 提取數據點具體方法如下.

1) 用win10電腦自帶的圖片轉視頻功能，將一張如圖5的光路照片轉為時長約為30 s的MP4文件.

圖5 激光筆斜上入射

2) 打開Tracker，導入轉換好的MP4文件.

3) 建立坐標系，設定定標尺和質點. 把原點設置在視頻中長方體容器左下角，坐標系x軸與容器底邊重合. 利用定標尺，把容器長度定為1 m. 點擊工具欄中的創(chuàng)建質點，按住Shift鍵出現一個小方框，將方框中心置于y軸上的光線入射點. 點擊之后就將質點A創(chuàng)建在了方框正中心.

4) 手動逐幀在光線上標定質點，每點一次鼠標就會標定一幀，每幀質點都在上一幀基礎上右移3 mm左右，直到把整個光線標定出來.

5) 將提取的x,y坐標導入Excel，進行數據處理.

如圖6所示，將提取的數據點還原光路，與理論計算光路對比可初步判斷理論的可靠性.其中誤差棒表示的是每一點測量的不確定度，可以看到誤差棒的數量級為1 mm.

圖6 一次實驗的理論與實驗曲線對照圖

圖7為物點縱坐標為y0=0，觀測點橫坐標x0=0.3 m，即與圖6實驗參數吻合情況下理論模擬的不同入射角的光線和成像位置. 箭頭所指的圈為像點位置.該處成像原理并不是全反射，而是光線的過度折射.

圖7 在真實實驗參數下的光線和成像圖

2.5 實驗數據處理方法

B=PA

(18)

記A、B正比關系擬合的斜率為k，則

(19)

選用斜率k作為對照理論值與實驗值的依據.

(20)

的數據進行擬合，同時設置截距為0.

這個限制嚴格來說會導致全反射之后的光線無法與文中理論直接對照，但是由于光路的對稱性，只考慮全反射之前的理論實驗對照依然是可行的.

實驗中靠上層的溶液與計算得到的溶液質量百分數符合度較低，主要原因是溶液越靠上，相鄰層的變化越小，擴散作用會導致上層幾乎變?yōu)榫鶆蛉芤海凵渎蕸]有變化，故而光線進入該區(qū)域后不再向下彎折.

2.6 實驗數據分析

條件為：β=8.594/m,y0=0,x0=1 m,a=1.333 1,b=0.001 85,M0=16,ρ=1.116 g/cm3[11]，改變入射角進行實驗. 斜率k的理論與實驗對照見表1，圖8為入射角θ0=85.64°條件下B-A圖. 可以看出，各次實驗的相對誤差都是比較小的.

表1 改變入射角θ0時斜率k的理論與實驗對照

圖8 θ0=85.64°條件下B-A正比關系擬合圖

2.7 誤差分析

實驗中直接測量的物理量為：觀景槽的長p，觀景槽的寬q，射入點縱坐標y0，配置食鹽水的食鹽質量mNaCl，水的體積Vwater，構成射入角的短邊h，長邊d，標定點的坐標x、y.

直尺測量物理量為p、q、y0、h、d，不確定度為

(21)

(22)

代入數據計算得u(θ)的數量級為10-3rad，故記u(θ)=0.001 rad；mNaCl由機械天平測量且除食鹽外含有0.2%雜質(如KCl，I等)，故記不確定度u(mNaCl)=5g，Vwater由量筒測量，不確定度u(Vwater)=5ml.

用2.4節(jié)提取數據點的方法，x、y數據精度主要受Tracker內置算法，手動標點誤差以及照片視差的影響. 查閱Tracker參考手冊得到信息：當照片像素高時對應坐標誤差很小，雖然沒有給出具體數據，但由Tracker可以適用于測量單縫衍射[12]，有理由估算上述三種誤差帶來的極限誤差和不超過1 mm.故u(x)=u(y)=1 mm.

由式(12),得u(a)=0.000 5,u(b)=0.000 03，將上述所有不確定度合成，代入不確定度計算公式

(23)

其中

(24)

(25)

(α=p,q,y0,a,b,mNaCl,Vwater,θ), 得到的不確定度如下表.

表2 改變入射角θ0的斜率k實驗不確定度

由于理論計算得到的值基本上在實驗值的2σ區(qū)間內，所以實驗結果是比較可靠的.

溶液從內外雙層開縫塑料管落入觀景槽時不可避免會對配制溶液產生擾動，得到的溶液與理論計算有差異.這個差異是不可控的，而且是主要誤差來源.

3 討論

首先討論激光熱效應的影響. 通過估算，在實驗時間內水升高的溫度小于ΔT=0.36℃，在這個溫度變化范圍內，折射率的變化為10-5數量級[13]，而配制溶液折射率精度為10-3，故激光熱效應帶來的影響可以忽略不計.

其次討論配置溶液的穩(wěn)定性和溶液的橫向折射率對實驗的影響. 由于食鹽溶液的折射率不易無接觸測量，而溶液的穩(wěn)定性與溶質的擴散系數有關，考慮到食鹽和葡萄糖的擴散系數均為10-9數量級，我選擇利用葡萄糖的旋光性測量相同折射率漸變葡萄糖溶液的折射率.

一是在5處豎直方向坐標不同的位置用消光法多次測定濃度(如圖9)，二是在同一高度測量多處濃度. 偏振片A不動的情況下，消光偏振片B角度變化小于1°. 由葡萄糖溶液濃度和折射率經驗公式得到[14,15]，折射率變化量為1.4*10-5(20 ℃)，配置溶液折射率精度為10-3，故在實驗過程中自由擴散影響和橫向折射率的影響均可忽略不計.

圖9 旋光法測溶液濃度示意圖

4 總結

用激光照射有折射率漸變流體，光路為

對于折射率n與高度y滿足式(3)的溶液，從(0,y0)入射，光路方程為

其中P、Q、a、β、E由式(8)、(9)、(12)、(4)、(5)決定.

由于負指數梯度的折射率變化與大氣類似[16]，所以通過溶液成像的模擬和實驗可以歸納上現蜃景的總體規(guī)律：上現蜃景物和像大小關系不能確定，且大部分為正立虛像，