一類具有飽和傳染率的垂直傳染的肺結(jié)核病動力學分析

陶 龍

皖南醫(yī)學院公共基礎學院，安徽蕪湖,241000

肺結(jié)核疾病的出現(xiàn)給人們健康生活造成了非常嚴重的傷害性，由于肺結(jié)核疾病具有一定的傳染性，因此對于其傳染規(guī)律以及治療策略的研究是相當必要的。已有大量的數(shù)學模型用于研究肺結(jié)核動力學分析[1-5]。 肺結(jié)核的傳染機理主要包括垂直傳播[6-7]，接觸傳播和蟲媒傳播，其中對于母嬰傳播的垂直影響是相當重要的。李錄錄和孔麗麗主要考慮了一類具有常系數(shù)輸入的垂直傳染時滯模型[8]，本文在此基礎上考慮具有飽和傳染率的垂直傳染肺結(jié)核模型。

1 模型的建立

考慮到系統(tǒng)中，隨著被傳染者的人數(shù)增加，并不會一直按照固定的常系數(shù)傳染率進行傳播，每一個患者傳染的人數(shù)是有限的，此時我們使用飽和傳染率會更貼近現(xiàn)實中疾病的傳播。再結(jié)合預防接種、垂直傳染等因素，依據(jù)文獻[8]建立了如下新的肺結(jié)核模型：

(1)

2 平衡點的存在唯一性

本節(jié)主要討論模型(1)平衡點的存在唯一性。出于實際的考慮，在討論之前需證明模型滿足初始條件的解是有界且為正的。

證明：由(1)可知

所以

兩邊同時對t進行積分得：

由(1)可知:

≤A-b1(S+I+R)

綜上所述，模型的解(S(t)，I(t)，R(t))有界。

故模型的基本再生數(shù)為:

3 平衡點的穩(wěn)定性分析

定理1若R0>1，則模型(1)的地方病平衡點E*(S*,I*,R*)全局穩(wěn)定。

證明:構(gòu)造Lyapunov函數(shù)[6]

V1(t)=|S-S*|+|I-I*|+|R-R*|。

易發(fā)現(xiàn)V1(t)≥0，當(S,I,R)≠0時，V1(t)>0；當且僅當(|S-S*|,|I-I*|,|R-R*|)=0時，V2(t)=0，即當(S,I,R)=(S*,I*,R*)時，V1(t)=0。

沿著系統(tǒng)(1)的解估計函數(shù)V1(t)的右上導數(shù)(即Dini導數(shù))：

=Sgn(S-S*)[-b(I-I*)+qb(I-I*)

上式中，S與S*，I與I*，R與R*的大小組合共有8種，這里僅對S>S*，I>I*，R>R*此種情況進行討論，其他分類有類似結(jié)論：

=-b1|S-S*|-b2|I-I*|-b3|R-R*|

取b=min{b1,b2,b3}，則

-b3|R-R*|≤-b(|S-S*|+|I-I*|

+|R-R*|)即

(2)

對(2)式兩邊從t0到t進行積分，可得：

由可行域Ω知，S，I，R有界，則其導數(shù)亦有界；從而函數(shù)V1(t)一致有界。 由LaSalle不變集原理可知，當R0<1時，模型(1)的解全局收斂于無病平衡點E0(S0,I0,R0)。

定理2若R0<1，則模型(1)的無病平衡點E0全局穩(wěn)定。

證明:構(gòu)造Lyapunov函數(shù)[10]

V2(t)=|S-S0|+|I-I0|+|R-R0|

易發(fā)現(xiàn)V2(t)≥0，當(S,I,R)≠0時，V2(t)>0；當且僅當(|S-S0|,I,R)=0時，V2(t)=0，即當(S,I,R)=(S0,0,0)時，V2(t)=0.

沿著系統(tǒng)(2)的解估計函數(shù)V2(t)的右上導數(shù)(即Dini導數(shù))：

上式中，S與S0，I與I0，R與R0的大小組合共有8種，這里僅對S>S0，I>I0，R>R0此種情況進行討論，其他分類有類似結(jié)論：

=-b1|S-S0|-b2|I-I0|-b3|R-R0|

取b=min{b1,b2,b3}，則

(3)

對(4)式兩邊從t0到t進行積分，可得：

由可行域Ω知，S，I，R有界，則其導數(shù)亦有界；從而函數(shù)V2(t)一致有界。由LaSalle不變集原理可知，當R0<1時，模型(2)的解全局收斂于無病平衡點E0(S0,I0,R0)。

4 數(shù)值模擬

下面將運用Matlab進行數(shù)值模擬，以驗證理論推導的正確性。

情形1地方病平衡點的全局穩(wěn)定性，選取參數(shù)為：A=0.8，β=0.2，b=0.2，b1=b2=b3=0.1，m=0.7，p=0.4，q=0.6，γ=0.8；此時模型的基本再生數(shù)R0=6.10>1，選取模型的初值為：(S(0),I(0),R(0))=(5,10,15)，則有圖1。

圖1 地方病平衡點的變化趨勢圖

情形2無病平衡點的全局穩(wěn)定性，選取參數(shù)為：A=0.1，β=0.2，b=0.1，b1=b2=b3=0.3，m=0.7，p=0.4，q=0.6，γ=0.5；此時模型的基本再生數(shù)R0=0.058<1，選取模型的初值為：(S(0),I(0),R(0))=(5,5,5)，則有圖2。

圖2 無病平衡點的變化趨勢圖

5 結(jié)束語

本文建立了一類具有飽和傳染率的垂直傳染的肺結(jié)核病的動力學模型，發(fā)現(xiàn)病毒的傳播主要依賴于基本再生數(shù)R0：當R0<1時，具有垂直傳染的肺結(jié)核病毒會逐漸消失，趨于穩(wěn)定；當R0>1時，具有垂直傳染的肺結(jié)核病毒會一直存在形成地方病而趨于穩(wěn)定。