基于ST-EKF與濾波增益約束的加速度計微g級標定

郭 航，吳文啟，王茂松，崔加瑞

(國防科技大學智能科學學院，長沙410073)

0 引言

在系統(tǒng)級標定中考慮加速度計組件的非線性誤差，精確標定包括二次項誤差、振擺誤差在內的各項誤差，將有效提高導航精度。尤其，當捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)慣性測量單元(Inertial Measurement Unit，IMU)處于大水平傾角情況下，二次項誤差、振擺誤差將成為影響加速度計組件輸出精度的重要誤差源，對二次項誤差、振擺誤差的精確標定與補償將極大提高大水平傾角下慣導系統(tǒng)的導航精度。

慣性測量單元的系統(tǒng)級標定主要是建立包含待估計誤差系數(shù)在內的誤差模型，通過將如速度誤差、位置誤差等導航輸出誤差作為觀測量對慣性器件的誤差參數(shù)進行估計。文獻[1]指出了系統(tǒng)級標定相對于分立式標定的優(yōu)勢，表明系統(tǒng)級標定不需要依賴高精度轉臺，適用于自標定與外場標定，因而得到國內外諸多學者的深入研究。文獻[2]～文獻[6]對慣性測量單元的系統(tǒng)級標定技術進行了相關研究，文獻[2]提出了一種基于逆向導航的雙軸旋轉慣導系統(tǒng)自標定方法，但是只完成了慣性測量單元部分誤差參數(shù)的系統(tǒng)級標定；文獻[3]針對雙軸旋轉激光慣導系統(tǒng)提出了一種在線自標定方法，但是沒有對IMU振擺誤差進行標定；文獻[4]考慮了內外桿臂誤差，針對激光捷聯(lián)慣導系統(tǒng)提出了一種高階Kalman濾波的系統(tǒng)級標定方法；文獻[5]提出了一種八位置的系統(tǒng)級標定方法，考慮了溫度的影響，但只估計了慣性測量元件的線性誤差；文獻[6]總結了慣性測量元件的各種標定方法以及標定技術的發(fā)展方向?？梢钥闯?，文獻鮮少同時考慮將加速度計組件的二次項誤差、振擺誤差作為狀態(tài)變量進行估計，一方面是考慮到加速度計組件振擺誤差的弱可觀性，會導致通過傳統(tǒng)擴展 Kalman濾波(Extended Kalman filter，EKF)算法所估計出的結果不準確；另一方面僅僅標定出加速度計的線性誤差或進一步標定出加速度計的二次項誤差即可滿足一般慣性導航的實際精度需求。為了提高狀態(tài)變量估計的準確性，國內外學者也做了許多研究工作，例如，文獻[7]為解決動態(tài)環(huán)境下濾波的局部可觀測性與誤差協(xié)方差矩陣估計不一致問題，提出了一種狀態(tài)變換擴展Kalman濾波(State Transformation Extended Kalman Filter，ST-EKF)算法；文獻[8]為實現(xiàn)濾波增益矩陣與濾波狀態(tài)估計可觀測性的一致性，從而提高定位精度與姿態(tài)跟蹤精度而提出了Schmidt-Kalman濾波(Schmidt Kalman Filter)；文獻[9]為解決傳統(tǒng)Kalman濾波器對協(xié)方差估計不一致造成對弱可觀或不可觀狀態(tài)變量的錯誤估計問題，引入了可觀測約束Kalman濾波等。

本文通過三個方面來實現(xiàn)對加速度計組件的微g級精確標定：1)推導并建立包含標度因數(shù)誤差、安裝誤差、零偏、二次項誤差、振擺誤差在內的加速度組件誤差模型；2)將1)中建立的誤差模型中所有誤差參數(shù)作為狀態(tài)變量構建基于狀態(tài)變換擴展Kalman濾波(ST-EKF)的系統(tǒng)方程，以導航解算速度作為量測值，激勵出待估計誤差參數(shù)；3)為進一步解決濾波狀態(tài)協(xié)方差陣計算誤差問題，提高待估計誤差參數(shù)的準確性，采用以Schmidt濾波為基礎對濾波增益矩陣進行約束的方法，通過調整濾波增益矩陣K的值，使得在編排的23個非傾斜位置上估計出標度因數(shù)誤差、安裝誤差、零偏、二次項誤差，在12個傾斜位置上估計出振擺誤差。相比于傳統(tǒng)的基于擴展Kalman濾波的系統(tǒng)級標定算法，狀態(tài)變換擴展Kalman濾波(ST-EKF)通過將濾波器狀態(tài)轉移矩陣中的比力項變換為當?shù)刂亓铀俣?，解決了轉臺在翻滾時狀態(tài)轉移矩陣計算的不準確對濾波精度的影響。根據(jù)系統(tǒng)級標定過程中狀態(tài)的實際可觀測性對濾波增益進行約束，避免了對弱可觀或不可觀狀態(tài)的錯誤估計，使參數(shù)估計更加準確。

1 一種基于ST-EKF與增益約束的加速度組件系統(tǒng)級標定方法

使用Kalman濾波算法對加速度計組件進行各項參數(shù)的估計，應用于實際系統(tǒng)長時間使用后需要進行精確標定的場景。由于捷聯(lián)慣導在出廠前已經經過了一次標定，于是再標定時的各誤差將都是微小量。

取靜止狀態(tài)下慣導解算的速度與實際速度的差作為觀測量，觀測方程如下所示

于是得到觀測矩陣H

式(7)、式(8)中，Z(t)為觀測向量，ν為隨機白噪聲，其他符號與上文中的定義保持一致。

系統(tǒng)級標定采用多位置靜止標定，標定過程通過陀螺模值來區(qū)分靜止數(shù)據(jù)段與翻滾數(shù)據(jù)段。

理論上，弱可觀誤差狀態(tài)估計的準確性更加依賴于狀態(tài)協(xié)方差陣計算的準確性。傳統(tǒng)的基于EKF的系統(tǒng)級標定算法由于對狀態(tài)協(xié)方差陣P的計算不夠準確，從而不適用于對弱可觀狀態(tài)的精確估計。然而，基于ST-EKF的系統(tǒng)級標定算法將導航誤差方程中的比力項用重力項替代[10]，可更準確計算出狀態(tài)協(xié)方差陣P。 同時，將ST-EKF與濾波增益約束相結合，進一步避免了在非傾斜位置上對振擺誤差的錯誤估計，同時在其他誤差狀態(tài)估計結束后，通過斜置IMU使弱可觀的振擺誤差最終得到準確估計。

由振擺誤差的來源機理可知，當IMU處于非傾斜位置時，將激勵不出振擺誤差，因此如果整體估計，將會由于協(xié)方差矩陣的計算誤差造成在非傾斜位置上估計出不準確的振擺誤差系數(shù)。于是借鑒Schmidt濾波器的原理，調整與狀態(tài)變量對應的濾波增益變化，在非傾斜位置(式(9))和傾斜位置(式(10))上設置濾波增益矩陣

式(9)、式(10)中，Kk為tk時刻的濾波增益矩陣，為根據(jù)狀態(tài)可觀測性借鑒Schmidt-Kalman濾波約束后的tk時刻的濾波增益矩陣。從而在非傾斜位置上只估計出標度因數(shù)誤差、安裝誤差、零偏、二次項誤差，在傾斜位置上只估計振擺誤差而不改變已經估計出來的其他各項誤差參數(shù)。

判斷加速度組件是否處于傾斜位置，可以通過各軸輸出比力值與當?shù)刂亓铀俣饶Ｖ档拇笮砼袛唷Ｔ趯嶒炇覂葮硕ǖ募铀俣扔嫵叽缧獏?shù)不會變化，再次標定時不考慮該誤差系數(shù)的變化。

2 實驗驗證與分析

2.1 實驗設備與條件

為驗證本文提出的一種基于ST-EKF與濾波增益約束系統(tǒng)級標定算法的有效性，需借助SGT-3三軸慣導測試轉臺實現(xiàn)對慣導系統(tǒng)的位置編排。為減少溫度對慣性器件各項誤差的影響，在進行標定實驗之前充分預熱，保證慣導系統(tǒng)溫度基本穩(wěn)定后，再開展標定實驗。

實驗選擇某型光纖陀螺捷聯(lián)慣導系統(tǒng)，加速度計與陀螺的指標參數(shù)如表1、表2所示。

表1 某型慣性導航系統(tǒng)加速度計指標參數(shù)Table 1 Performance parameters of accelerometer in the inertial navigation system

表2 某型慣性導航系統(tǒng)陀螺指標參數(shù)Table 2 Performance parameters of gyroscope in the inertial navigation system

2.2 實驗內容與分析

將光纖慣導系統(tǒng)固定在三軸慣導測試轉臺上，通過編排23＋12位置估計出加速度計組件的各項誤差參數(shù)：23個非傾斜位置估計出加速度計組件的標度因數(shù)誤差、安裝誤差、常值零偏、二次項誤差系數(shù)，12個傾斜位置估計出加速度計組件的振擺誤差系數(shù)。通過6個大水平傾角位置的重力殘差驗證了標定結果的正確性以及估計振擺誤差的必要性，最后對比不同補償模型時水平姿態(tài)角變化情況下純慣導解算的位置誤差，再一次驗證了估計結果的正確性和估計振擺誤差的必要性。

標定實驗所需的三軸慣導測試轉臺如圖1所示。圖1中，光纖慣導系統(tǒng)被固定在轉臺上。

圖1 三軸慣導測試轉臺實物圖Fig.1 Physical map of three axis inertial navigation test turntable

23＋12位置編排如圖2、圖3所示。

圖2 系統(tǒng)級標定實驗非傾斜23位置編排Fig.2 Twenty-three non-tilting positions and rotations in systematic calibration experiments

圖3 系統(tǒng)級標定實驗傾斜12位置編排Fig.3 Twelve tilt positions in systematic calibration experiments

圖2、圖3給出了基于IMU的位置編排。圖2中，每個位置分別給出了當前IMU軸系的方位、旋轉軸以及旋轉方向與角度，k＝0，1，2，…，n，本文實驗選擇k＝0。圖3則給出了估計加速度計振擺誤差的12個傾斜位置，符號?代表垂直向內，符號☉代表垂直向外。

基于上述的位置編排，區(qū)分開傾斜或者非傾斜位置，僅在靜態(tài)數(shù)據(jù)段以速度為零作為觀測量進行濾波估計，得到加速度計的各項誤差參數(shù)的估計值，開展了三組重復性實驗，結果如表3～表7所示。

表3 加速度計組件標度因數(shù)標定結果Table 3 Calibration results of accelerometer assembly scale factor

表4 加速度計組件安裝誤差標定結果Table 4 Calibration results of accelerometer assembly installation error

表5 加速度計組件二次項誤差標定結果Table 5 Calibration results of accelerometer assembly quadratic term error

表6 加速度計組件零偏標定結果Table 6 Calibration results of accelerometer assembly bias

表3～表7給出了三次重復性實驗中所有誤差參數(shù)的估計值：標度因數(shù)誤差的極差約為7×10－6；安裝誤差的極差約為0.9″，二次項誤差的極差約為9μg／g2，零偏的極差為2.4μg，振擺誤差的極差約為12μg／g2。從統(tǒng)計結果中可以看出，基于ST-EKF與濾波增益約束的系統(tǒng)級標定算法對誤差參數(shù)的估計具有較好的重復性。

在23＋12位置編排中，分別選擇6個傾斜位置與6個非傾斜位置來開展驗證實驗。

表8和圖4給出了IMU傾斜時不同標定模型下的重力殘差模值統(tǒng)計結果和示意圖。

表8 IMU傾斜時不同標定模型下的重力殘差模值統(tǒng)計結果Table 8 Statistical results of gravity residual modulus under different calibration models when IMU tilts

圖4 IMU傾斜時不同標定模型下的重力殘差模值圖Fig.4 Diagram of gravity residual modulus under different calibration models when IMU tilts

由表8和圖4可知，標定了非線性誤差項的加速度計組件具有更高的輸出精度。尤其，當對加速度計組件的振擺誤差進行標定后，在大水平傾角下與對加速度計補償線性／二次項誤差相比，重力殘差模值的均值從12.68μg減小到7.65μg，均方差從13.38μg減小到6.71μg；而與僅補償線性誤差相比，重力殘差模值的均值從8.11μg減小到7.65μg， 均方差從24.12μg減小到6.71μg。

表9和圖5給出了IMU非傾斜時不同標定模型下的重力殘差模值統(tǒng)計結果和示意圖。

表9 IMU非傾斜時不同標定模型下的重力殘差模值統(tǒng)計結果Table 9 Statistical results of gravity residual modulus under different calibration models when IMU is not tilted

圖5 IMU非傾斜時不同標定模型下的重力殘差模值圖Fig.5 Diagram of gravity residual modulus under different calibration models when IMU is not tilted

由表9和圖5可知，補償線性／二次項誤差與補償線性／二次項／振擺誤差的重力殘差模值的均值與均方差基本一致，且都要優(yōu)于僅補償線性誤差的情況。

表10和圖6給出了基于ST-EKF與EKF兩種不同系統(tǒng)級標定算法對誤差參數(shù)估計的統(tǒng)計結果和示意圖。

表10 基于EKF與ST-EKF系統(tǒng)級標定重力殘差模值的統(tǒng)計結果對比Table 10 Comparison of statistical results based on EKF and ST-EKF systematic calibration gravity residual modulus

圖6 EKF與ST-EKF系統(tǒng)級標定重力殘差模值對比圖Fig.6 Comparison of gravity residual modulus in systematic calibration based on EKF and ST-EKF

由表10和圖6可知，基于ST-EKF的系統(tǒng)級標定算法對誤差參數(shù)的估計具有更高的精度。相比于基于EKF的系統(tǒng)級標定算法，基于ST-EKF的系統(tǒng)級標定算法估計出來的參數(shù)補償加速度計后，其重力殘差模值的均值為 7.65μg，均方差為6.71μg，而基于EKF的系統(tǒng)級標定算法其值分別為 11.39μg和 8.39μg。

表11和圖7給出了有無濾波增益約束的基于ST-EKF系統(tǒng)級標定算法對誤差參數(shù)估計的統(tǒng)計結果和示意圖。

表11 有無濾波增益約束的ST-EKF系統(tǒng)級標定重力殘差模值的統(tǒng)計結果對比Table 11 Comparison of statistical results based on ST-EKF systematic calibration gravity residual modulus with and without filter gain constraint

圖7 有無濾波增益約束的ST-EKF系統(tǒng)級標定重力殘差模值對比圖Fig.7 Comparison of gravity residual modulus in systematic calibration based on ST-EKF with and without filter gain constraint

由表11和圖7可知，有無濾波增益約束的基于ST-EKF的系統(tǒng)級標定算法對線性誤差、二次項誤差、振擺誤差進行估計，并對加速度計補償后在大水平傾角下的重力殘差模值進行對比，結果表明：有濾波增益約束的基于ST-EKF的系統(tǒng)級標定算法標定精度更高。在有濾波增益約束下，加速度計經過補償后，重力殘差模值的均值為7.65μg，均方差為6.71μg；而在增益不進行約束的情況下，其均值為10.34μg，均方差為7.96μg。

圖8為姿態(tài)角變化曲線，圖9、圖10為不同標定模型下北向和東向位置誤差對比曲線。

圖8 姿態(tài)角變化曲線Fig.8 Change curves of attitude angles

圖9 不同標定模型下北向位置誤差對比曲線Fig.9 Comparison curves of north position error under different calibration models

圖10 不同標定模型下東向位置誤差對比曲線Fig.10 Comparison curves of east position error under different calibration models

由圖8～圖10可知，當慣導系統(tǒng)處于大水平傾角時，將基于ST-EKF與濾波增益約束系統(tǒng)級標定算法估計出的各項誤差參數(shù)通過線性／二次項／振擺誤差標定模型補償加速度計的輸出后，其北向和東向位置的最大定位誤差得到減少。具體而言，對比僅標定線性誤差，東向與北向最大位置誤差分別從 192.40m、96.72m 減小到 74.64m、65.44m；對比標定線性／二次項誤差，東向與北向最大位置誤差則分別由173.70m、65.49m減少到74.64m、65.44m，結果證明了在大水平傾角變化下標定二次項誤差與振擺誤差對提高慣導系統(tǒng)導航精度的必要性以及論文所提算法的有效性。

3 結論

隨著對導航定位、測姿精度的要求越來越高，對慣性器件誤差來源與標定算法的研究也越來越深入。在高精度標定中，當慣導系統(tǒng)處于傾斜位置時，加速度計二次項誤差和振擺誤差對慣導系統(tǒng)導航精度的影響不容忽略，本文因此建立了包括二次項誤差和振擺誤差在內的加速度計組件誤差模型，并利用ST-EKF和濾波增益約束解決了狀態(tài)轉移矩陣計算不準確以及弱可觀非線性誤差項估計不準的問題，提出了一種基于ST-EKF與濾波增益約束的系統(tǒng)級標定算法，并通過重復性實驗與對比實驗驗證了該算法在大水平傾角變化下的精度優(yōu)勢。最后，在大水平傾角變化下給出了線性、線性／二次項與線性／二次項／振擺誤差標定模型下的東向與北向位置誤差變化曲線，曲線表明經過線性／二次項／振擺誤差模型補償后的慣導系統(tǒng)具有更高的導航精度。