一種基于概率-證據(jù)理論的滑動軸承可靠性優(yōu)化設計*

趙 軍 陶友瑞

(1.河北工業(yè)大學,省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室 天津 300401;2.河北工業(yè)大學機械工程學院 天津 300401)

滑動軸承作為旋轉軸支承元件在機械領域中被廣泛應用，通常采用優(yōu)化設計的方法來提高其工作性能。對于滑動軸承的優(yōu)化設計，一些相關的研究已經展開，如多目標優(yōu)化的粒子群法[1]和灰色微粒算法[2]已被用于尋求滑動軸承工作性能的最優(yōu)參數(shù)。符江鋒等[3]考慮了滑動軸承潤滑特性分布規(guī)律，提出了一種燃油泵軸承的優(yōu)化設計方法。然而滑動軸承作為機械產品內部的關鍵結構部件之一，對其可靠性的要求越來越高，不僅要求軸承在滿足設計要求的前提下達到更優(yōu)的性能，還要具有較高的可靠度。所以為了保證滑動軸承的穩(wěn)定運行，有必要對其進行可靠性優(yōu)化設計來獲得合理的設計參數(shù)。

早期可靠性優(yōu)化設計一般基于概率理論，如張鄂等人[4]考慮了設計變量和參數(shù)的隨機性，建立了滑動軸承的概率優(yōu)化設計模型。但是其中的一些不確定參數(shù)由于認知的不確定性，無法單一地使用概率理論描述其分布特性。非概率可靠性方法能夠更好地處理不確定性優(yōu)化設計問題[5],如證據(jù)理論[6]、模糊集理論[7]和凸模型理論[8]。在實際工程中,由于認知的匱乏，現(xiàn)有的數(shù)據(jù)只能描述不確定參數(shù)在某一區(qū)間的概率，證據(jù)理論是處理這類隨機的和認識的不確定性的問題有效手段。近些年，大量的學者開始研究證據(jù)理論在工程優(yōu)化設計的應用，針對優(yōu)化問題中存在認知不確定性,提出基于證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設計方法。如MOURELATOS和ZHOU[9]提出了基于證據(jù)理論的計算高效的設計優(yōu)化方法,通過在原始設計空間中移動一個超橢圓，能夠快速識別主動約束附近的最優(yōu)點?；谡J知不確定性的不連續(xù)性和子系統(tǒng)之間的復雜耦合關系，TAO等[10]提出了一種新的基于證據(jù)理論和概率論的多學科設計優(yōu)化方法，該方法可以有效地提高多學科優(yōu)化問題的計算效率。范松等人[11]構造了一種證據(jù)理論可靠性的近似梯度計算方法，在保證優(yōu)化過程的精度的同時提高其計算效率。HELTON等[12]基于樣本的敏感性分析與證據(jù)理論,分析不確定變量對互補累積信念函數(shù)和互補累積似然性函數(shù)的增量效應。

上述的研究都在一定程度上證明了證據(jù)理論在工程優(yōu)化問題上具有很強的實用性，并且取得了一定的成果。針對于滑動軸承優(yōu)化中部分參數(shù)沒有足夠的認知數(shù)據(jù)，無法通過概率論構建其概率密度函數(shù)，為了符合工程實際情況，本文作者利用證據(jù)理論去描述滑動軸承中認知程度匱乏的不確定性參數(shù)。文中通過分析滑動軸承的數(shù)學模型，結合概率論和證據(jù)理論充分描述不確定參數(shù)的分布特性；基于滑動軸承潤滑理論的膜厚比建立最小膜厚的可靠性約束，使用證據(jù)理論均勻化方法和一次二階矩法(FORM)將其可靠性約束條件轉化為傳統(tǒng)的約束條件；最后對滑動軸承進行可靠性優(yōu)化設計。

1 滑動軸承數(shù)學模型

有限長徑向滑動軸承結構示意圖如圖1所示，其中F是軸承工作載荷；hmin為最小油膜厚度；ω為軸徑角速度;d為軸承直徑；B為軸承寬度。

圖1 滑動軸承結構示意Fig 1 Schematic of sliding bearing

對滑動軸承進行優(yōu)化設計，首先需要保證軸承具有足夠的承載能力以承載外部載荷。承載能力是通過承載系數(shù)CP來反映，承載系數(shù)越大，滑動軸承的承載能力也越大。

(1)

式中：ψ為軸承的相對間隙；η為潤滑油黏度。

摩擦因數(shù)直接影響到導軸承的摩擦和潤滑性狀態(tài)，為了增大滑動軸承的傳動效率，通過降低摩擦因數(shù)f來減少其摩擦功耗。

(2)

其中:ξ是隨軸承寬徑比B/d而變化的系數(shù)，

(3)

在滑動軸承的運轉過程中，軸承內部潤滑油溫度升高會導致黏度降低，減小軸承的承載能力。因此為了降低溫升，應減少軸承的發(fā)熱量CQ。

(4)

式中:p為滑動軸承的平均比壓;v為軸頸的圓周速度。

文中對滑動軸承進行可靠性優(yōu)化設計，以承載系數(shù)CP最大、發(fā)熱量CQ最小和摩擦因數(shù)f最小為目標。為了簡化計算，將以承載系數(shù)CP最大為目標等效成以其倒數(shù)1/CP最小為目標。

(5)

在滑動軸承運行中，應保證軸承處于一定的潤滑狀態(tài)。如圖2所示，在滑動軸承潤滑中，兩條曲線可以描述為滑動軸承接觸區(qū)域的潤滑面。其中，h0為名義上的中心膜厚，定義為軸承與軸頸表面粗糙峰平均高度線的距離；h為軸承工作面上的膜厚;σ1和σ2分別為軸承和軸頸的表面粗糙度幅值,

圖2 軸承潤滑工作表面Fig 2 Lubricated working surface of bearing

(6)

其中，采用膜厚比λ(其公式見式(7))來確定接觸面的潤滑狀態(tài)[13]，如圖3所示。如果λ<1，則該狀態(tài)為邊界潤滑，其中壓力由邊界膜承擔，軸承劇烈磨損。如果1<λ<3時，則處于混合潤滑狀態(tài)，其中載荷由潤滑劑壓力和粗糙峰接觸共同分擔。如果λ>3，為全膜潤滑，運動副兩摩擦面完全被潤滑膜隔開，表面無黏著磨損。

圖3 滑動軸承潤滑狀態(tài)Fig 3 Lubrication state of sliding bearing

(7)

因此，文中滑動軸承的膜厚可靠性約束考慮為軸承需要建立全膜潤滑狀態(tài)，其可靠度需大于一定的許用概率。即

(8)

式中：n為軸承轉速。

相應地，滑動軸承的比壓p應保證在一定的范圍內，其可靠性約束考慮為

p=Fv

G=p(pmin≤p≤pmax)≥R2

(9)

2 證據(jù)理論

證據(jù)理論是一種介于概率論與凸模型之間的描述不確定變量的非連續(xù)模型，是由DEMPSTER和SHAFER提出[14]。他們從數(shù)學形式上，與相關不確定性理論的聯(lián)系中得出了證據(jù)理論的諸多概念。

(1)基本可信度分配函數(shù)

設定Θ為變量X的所有可能值的一個集合，Θ中的每個元素相互獨立。在任一時刻X都只能取Θ中一個元素為值，稱Θ為X的區(qū)別框架，其基本可信度分配(BPA)

(10)

式中:?A?Θ，m(A)稱為A的基本可信度;m(φ)=0反映了對于空集不產生任何可信度。

(2)信度函數(shù)(Bel)和似真度函數(shù)(Pl)

(11)

在證據(jù)理論中，信任區(qū)間[Bel(A),Pl(A)]表示假設A的確認程度。通常證據(jù)mass函數(shù)有多個來源，通過證據(jù)合成規(guī)則由一個mass函數(shù)表示出來。

3 可靠性優(yōu)化設計方法

3.1 基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設計

滑動軸承的可靠性優(yōu)化設計是保證軸承潤滑和比壓的失效概率在一定范圍內，使軸承的性能獲得最優(yōu)解的優(yōu)化方法。考慮不確定因素對滑動軸承的影響，基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設計模型一般通過以下公式來描述

s.tGi{gi(D,P)>0}≥Ri

Dmin

Pmin

(12)

基于概率-證據(jù)理論的可靠性設計優(yōu)化問題涉及雙層嵌套優(yōu)化過程，外層為傳統(tǒng)的優(yōu)化設計，內層對包含隨機變量的約束進行可靠性分析。由于證據(jù)變量的離散性，需要對每一個焦元進行極值分析得到約束的失效概率。在外層的優(yōu)化設計過程中，需要迭代計算可靠性約束，整個優(yōu)化設計問題求解效率非常低下。為了提高優(yōu)化的計算效率，利用一次二階矩法將概率約束轉化為等價的確定性約束，將優(yōu)化與可靠性分析兩個過程進行解耦，先進行可靠性分析，再進行確定性優(yōu)化。

由于證據(jù)理論模型并非連續(xù)模型，無法獲取具體概率分布表達式以及其均值和標準差，因此采用均勻化方法[15]將證據(jù)變量均勻化，如圖4所示。

圖4 證據(jù)理論均勻化過程Fig 4 Uniformization process of evidence theory(a) evidence variables;(b)random variables

證據(jù)變量均勻化后隨機變量的概率密度函數(shù)為

(13)

式中:m(At)為證據(jù)變量的焦元;ut和lt分別為其上下界;δi(u)為示性函數(shù)，

(14)

經均勻化處理后,證據(jù)理論描述的不確定變量的均值與方差可以表示為

(15)

σ2=μ(u2)-(μ(u))2

(16)

式中：μ(u)為不確定變量的均值;σ2為不確定變量的方差;n為焦元數(shù)。

(17)

式中：gX為可靠性約束的極限狀態(tài)方程；Z為極限狀態(tài)方程gX在均值點X處展開成泰勒級數(shù)并保留一次項；Xi為隨機變量；x*為驗算點；μz、σz為Z的均值和方差。

其可靠性約束條件轉化為

(18)

3.2 滑動軸承優(yōu)化設計流程

基于概率-證據(jù)理論的滑動軸承潤滑可靠性優(yōu)化設計主要分為3個部分。首先根據(jù)滑動軸承潤滑的設計要求確定設計目標和設計變量。然后使用證據(jù)理論和概率論處理不確定性參數(shù)，建立可靠性設計優(yōu)化模型。最后通過一次二階矩法求解可靠性約束并進行可靠性優(yōu)化設計，其計算流程如圖5所示。

圖5 基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化流程Fig 5 Reliability optimization process based on probability-evidence theory

4 數(shù)值算例

文中以某一滑動軸承實驗臺為例，其技術參數(shù)如表1所示。在優(yōu)化設計中，滑動軸承的直徑是根據(jù)實際工程中軸承直徑確定，機器轉速決定軸頸的轉速，因此將軸承直徑、軸頸轉速作為設計常量。文中考慮寬徑比B/d和相對間隙ψ為可靠性優(yōu)化模型的確定性設計變量。因為加工精度的原因，軸承表面粗糙度σ存在不確定性，其分布特性符合高斯分布。潤滑油黏度η由其分子結構及變化規(guī)律決定大小,同時也隨著溫度和壓力的作用而變化，存在認知不確定性的情形。所以將軸承表面粗糙度σ和潤滑油黏度作為優(yōu)化的不確定隨機參數(shù)。由于無法對潤滑油黏度η進行精確的概率描述，文中表示為證據(jù)理論的形式并求其在區(qū)間內的概率分布。η的BPA結構如表2所示。

表1 滑動軸承試驗臺技術參數(shù)Table 1 Technical parameters of sliding bearing test bed

表2 不確定性參數(shù)的BPA分布Table 2 BPA distribution for uncertain parameters

(19)

通過一次二階矩法將可靠性約束轉化為傳統(tǒng)的確定性約束，利用遺傳算法對滑動軸承進行可靠性優(yōu)化設計。計算得出的Pareto解如圖6所示。Pareto解分布較為均勻，表明由該算法得到的解的多樣性很好。文中在優(yōu)化設計中優(yōu)先考慮滑動軸承的承載能力，同時兼顧發(fā)熱量和摩擦因數(shù)的影響。根據(jù)Pareto解分布圖，選取靠近中間的點作為文中滑動軸承優(yōu)化目標的非劣解，設計變量的優(yōu)化結果如表3所示。

圖6 Pareto解分布Fig 6 Distribution of Pareto solutions

表3 設計變量優(yōu)化結果Table 3 Optimization results of design variables

從表3中可以看出，相比初始設計，確定性優(yōu)化使得優(yōu)化的設計變量值接近滑動軸承邊界約束值。由于工程應用中存在加工難度和加工成本的原因，設計變量產生微小的波動都會使優(yōu)化結果超出邊界約束條件導致滑動軸承失效概率增加，因此需要對其進行可靠性優(yōu)化。

為了驗證文中優(yōu)化設計方法的有效性，將表3各參數(shù)代入到各個分目標函數(shù),并且與傳統(tǒng)的遺傳優(yōu)化算法對比，其結果如表4、5所示。

表4 目標函數(shù)優(yōu)化結果Table 4 Optimization results of objective function

表5 可靠性優(yōu)化結果Table 5 Reliability optimization results

從以上結果得出，文中提出優(yōu)化設計方法結果與基于遺傳算法的確定性優(yōu)化結果基本一致?；诟怕?證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化后滑動軸承的承載能力提高了60%，摩擦因數(shù)減小10%，發(fā)熱量降低6.9%，這說明文中提出的可靠性設計優(yōu)化方法是安全有效的。雖然相比于傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化設計，可靠性優(yōu)化設計的承載能力減少5%，發(fā)熱量增加了3.05%，但是滑動軸承潤滑可靠度提升28.2%，軸承的比壓可靠度提升9.4%。這是由于文中方法的隨機變量取到失效值即判定軸承的可靠性約束失效，求出的優(yōu)化結果具有一定的保守性。但是相對于確定性優(yōu)化設計更加可靠，滑動軸承的潤滑性能更加穩(wěn)定。因此，基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設計方法雖然降低了部分最優(yōu)設計參數(shù)，但是能更好地滿足滑動軸承的潤滑性能要求，減少由滑動軸承潤滑失效帶來的劇烈磨損，提高其使用壽命，符合實際工程的需要。

5 結論

針對滑動軸承優(yōu)化設計中不確定性參數(shù)的影響，提出了一種基于概率-證據(jù)理論的可靠性設計優(yōu)化方法。該方法利用概率論和證據(jù)理論充分考慮滑動軸承的不確定信息，通過證據(jù)理論均勻化方法處理證據(jù)變量構建滑動軸承的可靠性優(yōu)化模型，使用一次二階矩方法轉化可靠性約束并優(yōu)化滑動軸承的設計變量。通過對比傳統(tǒng)的遺傳優(yōu)化算法，結果表明，基于概率-證據(jù)理論的可靠性優(yōu)化設計不僅明顯提高了滑動軸承的承載能力，降低摩擦阻力和發(fā)熱量，同時還滿足滑動軸承處于全膜潤滑狀態(tài)的要求，減小其摩擦損耗，具有很高的工程應用價值參考。