一種幅度量化誤差補償策略*

李萬珅，張達(dá)凱，劉胤凱，李熙民，馮孝斌

(電磁散射重點實驗室，北京100854)

0 引 言

工程上對天線低副瓣電平(Side Lobe Level，SLL)的要求越來越高，常通過對陣列天線各陣元進(jìn)行幅度加權(quán)控制以實現(xiàn)低副瓣方向圖。目前進(jìn)行幅度加權(quán)控制應(yīng)用較多的是數(shù)字衰減器，其優(yōu)點是可以較為精準(zhǔn)、快速地實現(xiàn)對各陣元激勵幅度的控制，缺點是受衰減步進(jìn)和量化位數(shù)的限制，只能提供有限個確定的離散幅度值，勢必產(chǎn)生量化誤差，抬升SLL，影響天線性能。

對幅度量化的討論大多在設(shè)計陣列天線尤其是稀布陣時對量化臺階和加權(quán)寬度的求解上[1-4]，而對于借助數(shù)字衰減器實現(xiàn)幅度加權(quán)的陣列天線，其量化臺階隨著衰減器選型的確定已經(jīng)確定，且數(shù)量較多，加權(quán)寬度求解也演變成對理想加權(quán)系數(shù)的量化問題。降低量化誤差最直接的辦法就是通過縮小衰減步進(jìn)、增加量化位數(shù)來提高數(shù)字衰減器的精度，但需付出提高成本的代價。在不改變數(shù)字衰減器精度的前提下，若采取全局搜素，雖可得到最優(yōu)解，但由于每個加權(quán)系數(shù)存在兩種量化結(jié)果，隨著陣元數(shù)的增加，計算量成指數(shù)增長，效率較低。目前所查閱文獻(xiàn)多以就近量化(四舍五入)[5]作為量化策略，并未進(jìn)一步細(xì)究，對較優(yōu)解會有所遺漏。因此,如何在現(xiàn)有條件下尋求合理的幅度量化策略值得研究。

1 陣列模型及問題引出

考慮沿x軸排列的N元線陣，陣元間距d，借助數(shù)字衰減器進(jìn)行幅度激勵控制，其xoy平面內(nèi)理想陣因子方向圖函數(shù)[6]可表示為

(1)

式中：In(n=1,2,…,N)為各陣元幅度激勵系數(shù)；k=2π/λ為傳播常數(shù)，λ為波長；φ為方位角。

對于衰減步進(jìn)為R0的M位數(shù)字衰減器，可以提供2M個相對幅度，即各陣元的歸一化相對激勵幅值只能取{1,β,β2,…,β2M-1}集合中的數(shù)值，其中β=10-R0/20。

陣因子量化方向圖函數(shù)可表示為

(2)

式中：[·]代表某種量化策略。

誤差方向圖函數(shù)為

(3)

式中：δn=In-[In](n=1,2,…,N)為量化誤差。

定義增益損耗偏移量(單位dB)為量化方向圖與理想方向圖的增益偏移值，可表示為

(4)

由式(3)和式(4)可知，對低副瓣算法求解出的幅度激勵系數(shù)進(jìn)行幅度量化，其誤差方向圖函數(shù)、增益損耗偏移量與具體采取的量化策略直接相關(guān)。

2 仿真分析

2.1 常見的量化策略

假設(shè)In∈[an,bn](n=1,2,…,N)，[an,bn]為數(shù)字衰減器量化區(qū)間，常見的量化策略有舍尾量化(取所在量化區(qū)間的左端點值)、進(jìn)位量化(取所在量化區(qū)間的右端點值)和就近量化(取數(shù)值接近的量化端點值)。

此外，二可能值法(Two Possible Values，TPV)，依概率取左右量化端點值，常用來解決電掃描中移相器移相量化誤差造成指向精度下降的問題[7-11]，本質(zhì)上屬于統(tǒng)計理論[12]?？蓪⑵溆迷跀?shù)字衰減器幅度量化誤差補償策略中，并在此基礎(chǔ)上提出統(tǒng)計意義下增益保持的二可能值法(Two Possible Values of Gain Hold，GH_TPV)，即

(5)

可見，當(dāng)p=1時，即為舍尾量化；當(dāng)q=1時，即為進(jìn)位量化。除這兩種極端情況之外，某個陣元的幅度激勵值采取進(jìn)位量化還是舍尾量化是隨機的，由此可得誤差方向圖函數(shù)的期望為

(6)

式中：Δn=bn-an為In所在量化區(qū)間的區(qū)間長度。

本文重點關(guān)注量化方向圖的增益損耗和最大SLL，不需拘泥于其他細(xì)節(jié)，故令量化后增益損耗偏移量期望為零，即

(7)

得出判決概率

(8)

以一維等間距側(cè)射陣為仿真對象，仿真參數(shù)如表1所示，其中(a)、(b)、(c)、(d)為圖1和圖2的子圖。

表1 一維仿真參數(shù)表

根據(jù)約束條件R0(2M-1)≥20lgK，得出數(shù)字衰減器可提供的幅度激勵最大動態(tài)比K為37.58。采取Taylor加權(quán)[13]，隨著期望SLL的降低，幅度加權(quán)的錐削度升高，K也不斷變大。當(dāng)期望SLL為-56.6 dB時，K為37.47。從圖1(a)中也可以驗證，當(dāng)期望SLL小于-56.6 dB時，最大SLL的降低會受到衰減器精度(衰減步進(jìn)和量化位數(shù))的限制。

當(dāng)期望SLL在-20～-40 dB之間時，進(jìn)位量化和舍尾量化作為量化策略的兩種極端，由式(4)可知其增益損耗偏移量較大。圖1也表明，進(jìn)位量化增益損耗降低，但最大SLL較高；舍尾量化最大SLL較低，但增益損耗增大。就近量化的增益損耗偏移量在±0.1 dB之內(nèi)，但其最大SLL并非總是最優(yōu)。圖1中GH_TPV是在100次量化搜索中選取最優(yōu)SLL的結(jié)果，由于當(dāng)In數(shù)值接近an(或bn)時有q(或p)的概率置為bn(或an)，這將產(chǎn)生較大的量化誤差，想得到較優(yōu)結(jié)果，需大幅提高搜索次數(shù)，這將與全局搜索無異。而本文理想的量化策略應(yīng)是在較少搜索次數(shù)下得到具有小增益損耗偏移量的同時，最大SLL又盡可能低，從而最大限度降低幅度量化帶來的影響，故需要進(jìn)行改進(jìn)。

(a)N=32，最大SLL隨期望SLL變化曲線

(b)N=32，增益衰減偏移量隨期望SLL變化曲線

(c)-40 dB泰勒加權(quán)，最大SLL隨陣元數(shù)目變化曲線

(d)-40 dB泰勒加權(quán)，增益衰減偏移量隨陣元數(shù)目變化曲線

2.2 增益保持的適當(dāng)二可能值法

(9)

同樣令E[ΔG]=0，得決策概率

(10)

式中：

A={x|x=arg{an≤In≤an/ξ},n=1,2,…,N},
B={x|x=arg{ξbn≤In≤bn},n=1,2,…,N},
C={x|x=arg{an/ξ

(11)

GH_ATPV量化策略步驟如下：

Step1 設(shè)置量化搜素次數(shù)初值k=1，最大量化搜素次數(shù)為kmax，閾值系數(shù)ξ，最佳歸一化量化副瓣電平初值SLL=0，最大副瓣電平初值SLLmax=0，最佳幅度量化加權(quán)系數(shù)Ibest。

Step2 由幅度加權(quán)系數(shù)得到其對應(yīng)的量化區(qū)間，即In∈[an,bn](n=1,2,…,N)，并判斷In在區(qū)間中所處的位置，得到集合A、B、C，由式(10)計算決策概率p。

Step3 根據(jù)式(9)對In進(jìn)行量化，得到[In]GH_ATPV。

Step4 計算歸一化量化副瓣電平SLL(k)，若SLL(k)

Step5k=k+1，若k>kmax，則停止搜索，輸出Ibest、SLLmax；否則，轉(zhuǎn)向Step3。

以Taylor加權(quán)為例，設(shè)kmax=100，ξ=0.985，仿真結(jié)果如圖1所示?？梢钥闯鯣H_ATPV增益損耗偏移量與就近量化相當(dāng)，比同等搜索次數(shù)下的GH_TPV要小，其最大SLL優(yōu)于四種常見的量化策略，量化效果較好且具有一定的普適性。對給定幅度加權(quán)值進(jìn)行量化時，適當(dāng)調(diào)整量化閾值系數(shù)ξ，可在較少量化搜索次數(shù)下得到較優(yōu)的量化結(jié)果。

2.3 改進(jìn)的GH_ATPV

采用GH_ATPV對每個不確定量化幅度加權(quán)值進(jìn)行量化時，都是假設(shè)每個加權(quán)值的量化過程是相互獨立的，但實際算法是逐次量化，當(dāng)某個加權(quán)值量化結(jié)果確定后，其所帶來的量化誤差就隨之確定，式(10)就會發(fā)生變化，此時決策概率應(yīng)當(dāng)實時更新，以便在一定程度上降低隨機數(shù)的影響。

對GH_ATPV量化過程中決策概率進(jìn)行實時更新，提出改進(jìn)的GH_ATPV量化策略，其進(jìn)行一次搜索的步驟如下：

Step1 設(shè)置加權(quán)值序數(shù)初值i=1。

Step2 由式(10)計算決策概率p(i)，按下述方法對Ii進(jìn)行量化并更新集合A、B、C：

若i∈A，則[Ii]=ai；若i∈B，則[Ii]=bi；若i∈C，且rand(i)≤p(i)，則[Ii]=ai，A=A∪{i}，C=C-{i};否則[Ii]=bi，B=B∪{i}，C=C-{i}，其中rand(i)為0～1的隨機數(shù)。

Step3i=i+1，若i>N，則完成本次量化；否則，轉(zhuǎn)向Step 2。

以Taylor加權(quán)為例，設(shè)kmax=100，ξ=0.985，仿真得到改進(jìn)前后的對比結(jié)果如圖2所示?？梢钥闯龈倪M(jìn)的GH_ATPV在保持與GH_ATPV相當(dāng)?shù)腟LL水平基礎(chǔ)上，增益損耗偏移量得到了進(jìn)一步降低，且隨著陣元數(shù)目N的增大效果更加明顯。

(a)N=32，最大SLL隨期望SLL變化曲線

(b)N=32，增益衰減偏移量隨期望SLL變化曲線

(c)-40 dB泰勒加權(quán)，最大SLL隨陣元數(shù)目變化曲線

(d)-40 dB泰勒加權(quán)，增益衰減偏移量隨陣元數(shù)目變化曲線圖2 改進(jìn)的GH_ATPV與GH_ATPV對比

表2給出了以N=32為例、對部分期望SLL的Taylor加權(quán)系數(shù)進(jìn)行1 000次kmax=50、ξ=0.985的量化仿真數(shù)據(jù)取平均的結(jié)果，進(jìn)一步表明改進(jìn)的GH_ATPV通過采取實時更新決策概率，充分利用已量化的數(shù)據(jù)信息，可保證其SLL與在GH_ATPV基本相當(dāng)?shù)那疤嵯掠兄〉脑鲆鎿p耗偏移量。

表2 改進(jìn)的GH_ATPV與GH_ATPV相關(guān)數(shù)據(jù)

若C中最大的元素為j，則改進(jìn)的GH_ATPV最終增益損耗偏移量的期望和方差只與p(j)和Ij有關(guān)，即E～(Ij-bj)+p(j)Δj，D～p(j)(1-p(j))Δj2，而GH_ATPV和GH_TPV一樣，如式(11)，其增益損耗偏移量的期望和方差是多個獨立隨機變量期望和方差積累的結(jié)果。對圖2中(a)、(b)量化搜索過程數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到樣本均值和方差，如圖3所示，可以驗證改進(jìn)的GH_ATPV其增益損耗偏移量樣本均值和方差優(yōu)于GH_ATPV。

(a)平均增益損耗偏移量絕對值隨期望SLL變化曲線

(b)增益損耗偏移量方差隨期望SLL變化曲線圖3 改進(jìn)的GH_ATPV與GH_ATPV仿真數(shù)據(jù)處理結(jié)果對比

2.4 本文量化策略的二維推廣

將本文提出的改進(jìn)的GH_ATPV量化策略推廣到二維陣列，關(guān)注二維陣列在兩垂直面(φ=0°，φ=90°)上的方向圖。對可分離型二維陣列進(jìn)行兩維加權(quán)系數(shù)的量化，其本質(zhì)與一維陣列一樣。以32×32二維陣列為例，在φ=0°、φ=90°面上均采用Taylor加權(quán)，仿真參數(shù)見表3，仿真結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯觯疚奶岢龅牧炕呗跃哂休^低的SLL，且有較優(yōu)的增益保持效果，即在可分離型二維陣列的量化上，本文提出的量化策略依然適用。

表3 二維仿真參數(shù)表

(a)φ=0°,最大SLL隨期望SLL變化曲線

(b)φ=90°,最大SLL隨期望SLL變化曲線

(c)增益衰減偏移量隨期望SLL變化曲線圖4 改進(jìn)的GH_ATPV與常見的量化策略對比

3 結(jié)束語

本文仿真分析了幾種常見的幅度量化策略對數(shù)字衰減器控制的一維等間距側(cè)射陣幅度加權(quán)方向圖副瓣電平、增益損耗的影響，在TPV的基礎(chǔ)上提出了GH_ATPV量化誤差補償策略，并對其決策概率進(jìn)行實時更新，提出了改進(jìn)的GH_ATPV量化誤差補償策略。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的GH_ATPV量化誤差補償策略在保持改進(jìn)前SLL水平基礎(chǔ)上具有較優(yōu)的增益保持性能，最大限度地降低了量化誤差對天線性能的影響，對一維低副瓣陣列天線的實現(xiàn)有一定的參考價值。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行二維推廣，仿真表明本文的量化策略對可分離型二維陣列加權(quán)系數(shù)的量化仍有較優(yōu)的效果，但對更加復(fù)雜的二維陣列的量化策略還需進(jìn)一步研究。