基于灰色馬爾科夫模型的南四湖水質(zhì)預(yù)測(cè)

馬 景，武周虎，鄒艷均，任 鵬，李 琪

(青島理工大學(xué)環(huán)境與市政工程學(xué)院，山東 青島 266033)

南四湖是南水北調(diào)東線(xiàn)工程的必經(jīng)之地，其水環(huán)境質(zhì)量對(duì)受水區(qū)的供水安全保障至關(guān)重要。南四湖流域內(nèi)人口眾多，工業(yè)和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)結(jié)構(gòu)特征復(fù)雜，水環(huán)境容量小，水體污染與水資源短缺等問(wèn)題較為突出。自2002年南水北調(diào)東線(xiàn)工程開(kāi)工以來(lái)，山東省全面推進(jìn)“治用保”流域治污體系，實(shí)現(xiàn)輸水干線(xiàn)水質(zhì)基本達(dá)到規(guī)劃的水質(zhì)目標(biāo)。2013年12月南水北調(diào)東線(xiàn)一期工程順利通水后，山東省生態(tài)環(huán)境廳繼續(xù)組織開(kāi)展了每年兩次的南四湖水質(zhì)空間監(jiān)測(cè)工作。本文以2010—2018年南四湖水質(zhì)空間監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，開(kāi)展南四湖水質(zhì)模型研究。

在湖泊水環(huán)境規(guī)劃、評(píng)價(jià)和管理工作中，水質(zhì)模型是重要的技術(shù)支撐[1-3]。由水質(zhì)預(yù)測(cè)可以了解湖泊水環(huán)境質(zhì)量的變化趨勢(shì)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致湖泊水質(zhì)惡化的原因并采取必要的治理對(duì)策[4]。目前常用的水質(zhì)預(yù)測(cè)方法有灰色系統(tǒng)理論預(yù)測(cè)法[5]、數(shù)理統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)法[6-7]、水質(zhì)模擬預(yù)測(cè)法[8-9]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型法[10-11]等。相對(duì)而言，灰色系統(tǒng)理論預(yù)測(cè)法對(duì)水質(zhì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的信息量要求較少，但存在灰色偏差和抗干擾能力弱的問(wèn)題。因此，國(guó)內(nèi)許多學(xué)者將灰色系統(tǒng)中的GM(1，1)模型應(yīng)用于水質(zhì)預(yù)測(cè)中，并通過(guò)不斷改進(jìn)灰色模型來(lái)提高預(yù)測(cè)精度。王海云等[12]采用殘差修正處理技術(shù)后顯著提高了GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)精度，解決了三峽大壩與葛洲壩之間水質(zhì)數(shù)據(jù)波動(dòng)性大的問(wèn)題；李娜等[13]基于GM(1，1)模型提出新陳代謝理論，在補(bǔ)充新信息的同時(shí)去除因時(shí)間推移使其影響降低的老信息，為傳統(tǒng)模型的改進(jìn)提供了新思路；顏廷文等[14]利用等維新息原理改進(jìn)GM(1，1)模型，同時(shí)利用馬爾科夫鏈理論來(lái)改進(jìn)對(duì)太湖流域水質(zhì)預(yù)測(cè)的結(jié)果；盧丹[15]基于灰色馬爾科夫模型提出粒子優(yōu)算法，快速求得了模型的最優(yōu)化解，并將其應(yīng)用于地下水水質(zhì)預(yù)測(cè)中。

本文采用灰色馬爾科夫模型改進(jìn)傳統(tǒng)GM(1，1)模型，再利用等維新息思想更新建模所需數(shù)據(jù)序列，構(gòu)建一種等維新息灰色馬爾科夫模型；在模型檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)2019—2021年南四湖水質(zhì)狀況和水質(zhì)演變趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)與分析，旨在診斷可能存在的水質(zhì)問(wèn)題，為南水北調(diào)南四湖水污染防治工作提供參考。

1 南四湖水質(zhì)監(jiān)測(cè)概況

南四湖位于魯西南濟(jì)寧市，自北向南由南陽(yáng)湖、獨(dú)山湖、昭陽(yáng)湖和微山湖4個(gè)湖泊連接而成，南北長(zhǎng)約126 km，湖面面積約1 266 km2，蓄水量為 20.08億m3。南四湖流域面積為3.17萬(wàn)km2，承接53條河流的來(lái)水，湖內(nèi)各區(qū)段受污染情況因各河流的污染狀況不同而產(chǎn)生差異[16]。位于南四湖湖腰的二級(jí)壩樞紐工程將南四湖分為上級(jí)湖(北段)和下級(jí)湖(南段)[17]。在南水北調(diào)東線(xiàn)工程中，輸水是由下級(jí)湖南端入湖，經(jīng)二級(jí)壩泵站提水入上級(jí)湖，再由上級(jí)湖北端出湖，入梁濟(jì)運(yùn)河。

南四湖水質(zhì)空間監(jiān)測(cè)采用網(wǎng)格式布點(diǎn)法，在上級(jí)湖和下級(jí)湖共均勻布置90個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，其中上級(jí)湖51個(gè)，下級(jí)湖39個(gè)。監(jiān)測(cè)時(shí)間為每年春末4—5月和秋末10—11月，主要水質(zhì)監(jiān)測(cè)指標(biāo)為CODCr、pH值、溫度、TP、TN、NH3-N、CODMn、懸浮物、電導(dǎo)率、葉綠素a等。對(duì)比GB 3838—2002《地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》，選取CODCr、CODMn、TP、TN、NH3-N等5項(xiàng)水質(zhì)指標(biāo)作為研究對(duì)象，選用2010—2018年共16批次(其中2010年與2012年分別為春和秋未監(jiān)測(cè))南四湖水質(zhì)空間監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分別建立南四湖平均值、上級(jí)湖平均值、下級(jí)湖平均值和調(diào)水出湖口4個(gè)特征值的灰色GM(1，1)模型。

以2010—2018年南四湖全湖每年春季的CODCr、CODMn、TP、TN、NH3-N數(shù)據(jù)平均值(表1)為例，建立灰色GM(1，1)模型的原始數(shù)據(jù)序列。

表1 2010—2018年南四湖春季水質(zhì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)平均值

2 南四湖水質(zhì)預(yù)測(cè)模型

2.1 模型構(gòu)建

南四湖水質(zhì)預(yù)測(cè)模型的理論基礎(chǔ)為灰色理論，灰色理論的核心是通過(guò)部分已知信息建立數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)事物的發(fā)展。其構(gòu)建原理為：分別以5項(xiàng)水質(zhì)指標(biāo)為研究對(duì)象，首先對(duì)選定水質(zhì)指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加處理，生成累加序列使其具有指數(shù)規(guī)律；其次對(duì)累加序列建立一階微分方程并求解；第三將求解結(jié)果累減還原得到相應(yīng)水質(zhì)指標(biāo)的預(yù)測(cè)值。南四湖灰色GM(1，1)模型構(gòu)建的方法步驟如下：

a.選定水質(zhì)指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)序列，記為X0={x0，1，x0，2，…，x0，n}，生成X0的一次累加序列X1={x1，1，x1，2，…，x1，n}[18-19]，其中：

(1)

式中n為樣本數(shù)。

b.對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行級(jí)比檢驗(yàn)。先計(jì)算原始數(shù)據(jù)的級(jí)比ρk序列：

(2)

再判斷ρk是否均在可容性覆蓋區(qū)間?=(e-2/n+1，e2/n+1)內(nèi)。若是，則相應(yīng)數(shù)據(jù)序列可以建立灰色GM(1，1)模型；否則，應(yīng)選取適當(dāng)?shù)某?shù)b對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行平移轉(zhuǎn)換處理，使處理后的數(shù)據(jù)序列Y0={y0，1，y0，2，…，y0，n}的級(jí)比落入可容性覆蓋區(qū)間內(nèi)，其平移轉(zhuǎn)換過(guò)程為

y0，k=x0，k+b

(3)

c.通過(guò)一次累加序列X1，建立南四湖灰色GM(1,1)模型的一階微分方程：

(4)

式中：α、q分別為發(fā)展系數(shù)和灰色作用量。

d.設(shè)a=(α，q)T，運(yùn)用最小二乘法，求解α、q：

a=(α，q)T=(BTB)-1BTD

(5)

e.由式(4)和式(5)得到灰色GM(1，1)模型：

(6)

(7)

2.2 模型檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目尚哦?，需?duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行后驗(yàn)差檢驗(yàn)[20-21]。建立一階殘差序列：

E0={e0，1，e0，2，…，e0，n}=

(8)

令選定水質(zhì)指標(biāo)原始數(shù)據(jù)序列的方差為s1，殘差序列E0的方差為s2，分別計(jì)算后驗(yàn)比c與小誤差概率p：

(9)

(10)

其中p和c的大小共同決定模型精度等級(jí)。表2給出了4級(jí)好、合格、基本合格和不合格的模型精度等級(jí)。模型c越小，p越大，則模型精度高。c越小，則s1越大、s2越小，即原始數(shù)據(jù)序列離散程度大，殘差序列離散程度小，由模型所得預(yù)測(cè)值與原始數(shù)據(jù)相差小，p值越大則表明預(yù)測(cè)值較為均勻。若檢驗(yàn)精度等級(jí)符合要求，則建立的灰色GM(1，1)模型可直接預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)；若精度等級(jí)不符合，則對(duì)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。

2.3 模型的修正

對(duì)式(8)中的E0建立灰色GM(1，1)模型：

(11)

(12)

(13)

其中

引入灰色馬爾科夫模型判斷m0，k的正負(fù)?；疑R爾科夫模型根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移之間的概率來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)[22-25]，適用于預(yù)測(cè)隨機(jī)變化無(wú)規(guī)律的數(shù)據(jù)，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)GM(1，1)模型對(duì)波動(dòng)性和趨勢(shì)性數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精度低的不足。其計(jì)算過(guò)程如下：

a.根據(jù)E(0)劃分狀態(tài)。本文劃分兩種狀態(tài)，狀態(tài)1表示殘差為正，狀態(tài)2表示殘差為負(fù)。

b.求從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j經(jīng)過(guò)的次數(shù)所占的概率pij：

(14)

式中：Mij為狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j經(jīng)過(guò)的次數(shù)；Mi為狀態(tài)i出現(xiàn)的總次數(shù)。根據(jù)式(14)得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P：

(15)

c.選定殘差序列最后一個(gè)值的狀態(tài)作為初始狀態(tài)向量μ0。設(shè)μ0=(μ0，1，μ0，2)，其中μ0，1、μ0，2分別代表處于狀態(tài)1和狀態(tài)2時(shí)的概率。即最后一個(gè)殘差值若為正，μ0=(1，0)；若為負(fù)，μ0=(0，1)。

d.根據(jù)μt=μ0Pt，求出經(jīng)過(guò)t次狀態(tài)轉(zhuǎn)移后，第t次的狀態(tài)概率。選取概率最大的狀態(tài)作為最終結(jié)果，若兩種狀態(tài)概率相等，取前一次計(jì)算的結(jié)果。

2.4 模型的等維新息預(yù)測(cè)

將南四湖水質(zhì)指標(biāo)預(yù)測(cè)值x0，n+1補(bǔ)充到原始數(shù)據(jù)序列X0={x0，1，x0，2，…，x0，n}中作為最后一個(gè)水質(zhì)數(shù)據(jù)，同時(shí)刪掉最早的一個(gè)水質(zhì)數(shù)據(jù)，得到更新后的水質(zhì)數(shù)據(jù)序列X0={x0，2，x0，3，…，x0，n+1}。對(duì)該水質(zhì)數(shù)據(jù)序列重新進(jìn)行計(jì)算、建模、預(yù)測(cè)，直至結(jié)果達(dá)到任務(wù)要求。在不斷更新數(shù)據(jù)的過(guò)程中，建模序列更能反映水環(huán)境系統(tǒng)目前的特征。

3 結(jié)果與分析

3.1 兩種模型精度對(duì)比

為對(duì)比分析灰色馬爾科夫模型與傳統(tǒng)GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)精度，以2011—2019年春季水質(zhì)監(jiān)測(cè)TN指標(biāo)為例，其實(shí)測(cè)值與兩種模型的預(yù)測(cè)值見(jiàn)圖1。由圖1可以看出，灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值擬合度更高，灰色馬爾科夫模型、傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值間的相關(guān)系數(shù)分別為0.95、0.44。通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差在-11.7%～30.6%之間，相對(duì)誤差絕對(duì)值平均為10.3%；而灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差在-5.2%～5.5%之間，相對(duì)誤差絕對(duì)值平均為3.3%，大大優(yōu)于傳統(tǒng)GM(1，1)模型。因此，灰色馬爾科夫模型對(duì)具有波動(dòng)性的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確。

圖1 2011—2019年春季TN質(zhì)量濃度實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值

3.2 TN、NH3-N和TP指標(biāo)

表3為2019—2021年春秋季南四湖TN、NH3-N和TP質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)結(jié)果。由表3可見(jiàn)，2019—2021年TN質(zhì)量濃度隨年份和季節(jié)的推移呈現(xiàn)波動(dòng)升高趨勢(shì)，上級(jí)湖秋季和下級(jí)湖春季均出現(xiàn)超標(biāo)現(xiàn)象(GB 3838—2002《地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》)，預(yù)計(jì)2021年秋季南四湖、上級(jí)湖、下級(jí)湖、調(diào)水出湖口TN質(zhì)量濃度平均值分別達(dá)到1.147 mg/L、1.216 mg/L、1.054 mg/L和1.072 mg/L，均超過(guò)Ⅲ類(lèi)水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)。

表3 2019—2021年南四湖TN、NH3-N和TP質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)結(jié)果

NH3-N質(zhì)量濃度的變化規(guī)律呈現(xiàn)春季上升、秋季下降趨勢(shì)，均達(dá)到Ⅲ類(lèi)水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)要求，預(yù)計(jì)到2021年秋季，南四湖、上級(jí)湖、下級(jí)湖、調(diào)水出湖口NH3-N質(zhì)量濃度平均值分別為0.116 mg/L、0.113 mg/L、0.304 mg/L、0.075 mg/L。

TP質(zhì)量濃度隨年份和季節(jié)的推移呈現(xiàn)類(lèi)似的波動(dòng)下降趨勢(shì)，且在一定程度上趨于平緩。預(yù)計(jì)2021年秋季南四湖、上級(jí)湖、下級(jí)湖、調(diào)水出湖口TP質(zhì)量濃度平均值分別達(dá)到0.051 mg/L、0.055 mg/L、0.041 mg/L和0.082 mg/L。調(diào)水出湖口、上級(jí)湖、下級(jí)湖水質(zhì)TP指標(biāo)存在超標(biāo)現(xiàn)象。

由于湖區(qū)蘆葦、水草等植物密度較高且湖泊換水率低，易形成水體富營(yíng)養(yǎng)化[26]，在每年秋季枯水期尤為顯著。徐好等[27]研究了2006—2016年南四湖水質(zhì)空間變化，發(fā)現(xiàn)10年間NH3-N下降最為顯著，TP、TN則受季節(jié)影響有所起伏。流域內(nèi)農(nóng)村污水管網(wǎng)建設(shè)不健全，加之船舶航運(yùn)廢棄物以及工業(yè)面污染源導(dǎo)致氮磷污染呈逐年升高的趨勢(shì)?？傮w來(lái)說(shuō)，南四湖流域由于自然環(huán)境以及人類(lèi)活動(dòng)因素，短期內(nèi)對(duì)氮磷污染的管控尚未取得顯著成效。

3.3 CODCr和CODMn指標(biāo)

表4為2019—2021年春秋季南四湖CODCr和CODMn質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)結(jié)果。由表4可見(jiàn)，2019—2021年南四湖4個(gè)特征值的CODCr和CODMn質(zhì)量濃度隨年份和季節(jié)的推移呈現(xiàn)波動(dòng)下降的趨勢(shì)，其規(guī)律均呈現(xiàn)秋季上升、春季下降趨勢(shì)，未出現(xiàn)水質(zhì)超標(biāo)情況。預(yù)計(jì)到2021年秋季，南四湖、上級(jí)湖、下級(jí)湖、調(diào)水出湖口CODCr質(zhì)量濃度平均值分別為13.13 mg/L、13.30 mg/L、13.18 mg/L和 15.11 mg/L，與2018年秋季相比，分別下降了19.6%、22.7%、12.6%、19.2%；CODMn質(zhì)量濃度平均值分別為4.40 mg/L、4.47 mg/L、4.43 mg/L和4.24 mg/L，與2018年秋季相比，分別下降了14.2%、8.4%、5.3%、15.2%。CODMn、CODCr質(zhì)量濃度總體上呈現(xiàn)上級(jí)湖大于下級(jí)湖、秋季大于春季的特征，張柳青等[28]的研究結(jié)果表明，湖區(qū)內(nèi)有機(jī)物質(zhì)量濃度受枯水期工農(nóng)業(yè)等人為污染源影響較大，上游流域的養(yǎng)殖業(yè)、種植業(yè)對(duì)COD貢獻(xiàn)較高。

表4 2019—2021年南四湖CODCr和CODMn質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)結(jié)果

綜合南四湖歷年水質(zhì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)與以上預(yù)測(cè)結(jié)果可得出：水質(zhì)指標(biāo)CODCr、NH3-N、CODMn質(zhì)量濃度總體均呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，達(dá)到Ⅲ類(lèi)水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)要求。南四湖流域水環(huán)境治理取得了一定的成效，但TN和TP指標(biāo)質(zhì)量濃度受季節(jié)影響顯著，總體呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。南四湖平均值、上級(jí)湖平均值、下級(jí)湖平均值、調(diào)水出湖口水質(zhì)隨季節(jié)性的變化規(guī)律明顯，且春季水質(zhì)優(yōu)于秋季，下級(jí)湖水質(zhì)優(yōu)于上級(jí)湖，說(shuō)明水質(zhì)由北向南逐漸變好。

4 結(jié) 論

a.利用灰色馬爾科夫模型對(duì)傳統(tǒng)GM(1，1)模型進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)對(duì)改進(jìn)前、后兩種模型精度的對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的灰色馬爾科夫模型相對(duì)誤差小、精度高，預(yù)測(cè)結(jié)果更為合理。

b.預(yù)測(cè)結(jié)果表明，2019—2021年南四湖CODCr、NH3-N、CODMn質(zhì)量濃度呈下降趨勢(shì)，均達(dá)到Ⅲ類(lèi)水水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)要求，水質(zhì)自北向南逐漸變好；TN、TP質(zhì)量濃度有上升現(xiàn)象，存在超標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)南四湖流域TN、TP的控制與監(jiān)管力度。

c.自2010年以來(lái)，南四湖CODCr、NH3-N、CODMn治理效果明顯，但TN、TP受流域內(nèi)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)性污染的影響出現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象。建議進(jìn)一步調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，推行科學(xué)施肥，以減少水體富營(yíng)養(yǎng)化的風(fēng)險(xiǎn)。