光學腔中一維玻色-哈伯德模型的奇異超固相*

周曉凡 樊景濤? 陳剛3) 賈鎖堂

1) (山西大學,激光光譜研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

2) (山西大學,極端光學協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

3) (山東師范大學,光場調(diào)控及應用協(xié)同創(chuàng)新中心,濟南 250358)

利用密度矩陣重整化群計算了光學腔中一維無自旋玻色-哈伯德模型的基態(tài).通過研究超流序、局域密度分布、二階和三階關聯(lián)函數(shù),發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)出現(xiàn)了超越平均場理論的兩個奇異超固相.這兩個超固相同時具備對角和非對角長程序,其中一個展現(xiàn)出包絡形式的密度調(diào)制振蕩,另一個展現(xiàn)出均勻的密度分布.另外,結合光場的超輻射序參量和腔內(nèi)的平均光子數(shù),發(fā)現(xiàn)奇異超固相與腔光場的漲落存在密切關系.該工作給出了光學腔內(nèi)玻色哈伯德模型的超越平均場理論的新物理,并提供了探索光學腔內(nèi)光與物質(zhì)集體物態(tài)的完整計算方法.

1 引言

超冷量子氣體為多體相互作用系統(tǒng)的量子模擬提供了獨特的環(huán)境[1].將超冷量子氣體俘獲在光學晶格中可以模擬強關聯(lián)晶格模型,其中最典型的模型是玻色-哈伯德模型.這一模型中存在超流相和莫特絕緣體之間的量子相變[2?4].在超冷原子實驗中,原子間具有天然的有限長程相互作用,它可以通過Feshbach 共振技術進行調(diào)節(jié)[3,4].而凝聚態(tài)系統(tǒng)中還存在大量由無限長程相互作用驅(qū)動的多體現(xiàn)象,這為基于超冷原子的量子模擬提出了新的挑戰(zhàn).幸運的是,光學腔中的光子可以充當原子間溝通的中繼站,進而誘導出有效的無限長程相互作用[5?8].在晶格系統(tǒng)中,該無限長程相互作用會與原子動能和在位相互作用能競爭,進而衍生出周期是晶格周期兩倍的密度關聯(lián),并驅(qū)動奇偶格點分布差異的原子密度波[9].以上特征使得光學腔內(nèi)的玻色-哈伯德模型具備更加豐富的基態(tài)屬性[10?20].

超固相是一種反直覺的物質(zhì)狀態(tài),它同時具有超流體的無摩擦流與固體的周期性密度結晶[21].它也是一個對角序和非對角序(相位相干和空間序)共存的熱力學穩(wěn)態(tài)[22?27].在平均場理論下,光學腔中玻色原子的超固相通常出現(xiàn)在光場的超輻射區(qū)間,且晶格的密度分布呈現(xiàn)奇偶振蕩[12?18].然而,由于該理論在原理上忽略了物理量的高階漲落,故不足以完整描述量子場的密度關聯(lián).特別是當腔光場未發(fā)生超輻射時,腔場漲落可能劇烈增強,此時平均場理論變得更加不可靠[19,20].因此,為了更加精確地理解光學腔中玻色原子的超固相,有必要超越傳統(tǒng)的平均場理論,系統(tǒng)計算原子的局域密度分布、二階和三階關聯(lián)函數(shù).

本文考慮裝載在光學腔內(nèi)的一維超冷玻色原子,通過對腔光場做絕熱近似,得到一種拓展的玻色-哈伯德模型.這一模型的典型特征是其中包含在位相互作用和無限長程相互作用.利用密度矩陣重整化群方法[28,29](DMRG)數(shù)值計算系統(tǒng)基態(tài)的單體超流序、局域密度分布、二階和三階關聯(lián)函數(shù),探究系統(tǒng)的非對角和對角序.發(fā)現(xiàn)了超越平均場理論的兩個奇異超固相,其中一個展現(xiàn)出包絡形式的密度調(diào)制振蕩,另一個展現(xiàn)出均勻的密度分布.另外,結合光場的超輻射序參量和腔內(nèi)的平均光子數(shù),發(fā)現(xiàn)奇異超固相與腔光場的漲落存在密切關系.

2 模型和序參量

基于最近實現(xiàn)的光學腔實驗平臺[10],本文考慮的系統(tǒng)是裝載在準一維(1D)背景光晶格中的超冷玻色氣與光學腔的耦合,如圖1 所示.其中光晶格的晶格深度為V0,腔的頻率為ωc.所有共振頻率為ω的二能級原子不僅與方向的腔場耦合,還被方向的泵浦光所驅(qū)動.泵浦光驅(qū)動頻率和振幅分別為ωp和Ω.為了有效地降低原子發(fā)熱,這里只考慮紅失諧腔,即?cωc?ωp<0.在大失諧極限時,激發(fā)態(tài)可以被絕熱消除.考慮緊束縛近似后的有 效哈密頓量為[30]

圖1 左 圖:玻色原 子沿著 腔軸方 向 被俘獲 在準一 維(1D)背景光學晶格中,費米氣被兩束圓偏振的橫向(沿著 方 向) 抽運激 光驅(qū)動.右 圖:隧穿系 數(shù)t,接觸型 相互作 用Us 和無限長程相互作用 UlFig.1.Left:Proposed experimental setup that the bosonic atoms trapped in a quasi-1D optical lattice interact with an optical cavity.Right:Illustration of the competing terms among the hopping t,the contact interaction Us and the global-range interaction Ul.

根據(jù)方程(1)可以寫出光場消滅算符所滿足的量子郎之萬方程:

方程最后一項為庫環(huán)境引起的量子噪聲.考慮腔場的耗散k遠大于原子反沖能,此時可作絕熱近似,即忽略噪聲項,認為光場始終馳豫在穩(wěn)態(tài)[30].從方程(2)出發(fā)得到光場的穩(wěn)態(tài)形式為[10]

將方程(3)引入(1)式的哈密頓量,可以得到有效哈密頓量為

為了探究超固相的屬性,應該考慮非對角序和對角序的實驗可觀測序參量:超流序(非對角序)

目前關于光學腔中玻色子的研究大多只關注原子的量子效應,而較少探究光子的性質(zhì)[19,20].事實上,光學腔中的光子是原子之間的耦合媒介,它在系統(tǒng)的集體動力學中往往發(fā)揮著重要作用.這里重點考察兩個與光子相關的物理量,第一個是基于平均場理論的超輻射序參量:

另一個是腔中光子數(shù):

本文用DMRG 有限尺寸算法計算系統(tǒng)開邊界情況下的多體基態(tài).選取的格點長度L最大為96,DMRG 最大態(tài)數(shù)為200,掃描次數(shù)為30,此時的截斷誤差最大為 1 0?8.令t1 作為能量單位.

3 量子多體相

首先,將一個較大的無限長程相互作用(例如Ul6 )引入到Us10 的玻色-哈伯德模型中.DMRG數(shù)值結果顯示,超流序G(r) 隨著格點間隔r的增大呈現(xiàn)冪次衰減(冪率值為0.7)且奇偶振蕩,此時n(k0)>0,如圖2(a1)所示.這說明此時體系存在相位相干,即存在非對角長程序.密度分布呈現(xiàn)奇偶振蕩,此時νpeakπ,如圖2(a2)所示.消除了密度分布的 貢獻,二階關聯(lián)D2(l,j) 接近0,如圖2(a3)所示.二階關聯(lián)的貢獻全部來自奇偶振蕩的密度分布.這一參數(shù)下系統(tǒng)對應的基態(tài)與平均場近似理論的結果一致.我們又計算了這一參數(shù)下的三階關聯(lián)函數(shù)D3(i,l,j).消除了密度分布和二階關聯(lián)D2(l,j) 的貢獻,三階關聯(lián)D3(i,l,j)接近0,如圖2(a4)所示.本文將這一傳統(tǒng)的超固相稱為超固0 相.

當Us10 的玻色-哈伯德模型中引入一個大小適中的無限長程相互作用(以Ul4.4 為例).DMRG數(shù)值結果顯示,超流序G(r) 隨著格點間隔r的增大冪率衰減(冪率值為0.56),且此時n(k0)>0,如圖2(b1)所示.密度分布呈現(xiàn)包絡型振蕩,此時 0<νpeak<π,如圖2(b2)所示.二階關聯(lián)D2(l,j) 呈現(xiàn)奇偶振蕩且不隨格點間距增大而衰減,如圖2(b3)所示.二階關聯(lián)的貢獻全部來自關聯(lián)效應,這一數(shù)值結果完全超越了平均場理論.三階關聯(lián)函數(shù)D3(i,l,j) 呈現(xiàn)奇偶振蕩且不隨格點間距增大而衰減,如圖2(b4)所示.這一包絡型分布的奇偶格點原子總數(shù)相等,即.然而,無限長程相互作用能.這兩個值之間的差異主要源自于量子漲落.本文中,具有 0<νpeak<π 特征的超固相被稱為超固1 相.

降低在位相互作用大小(以Us2 為例),但無限長程相互作用不變,仍為Ul4.4.G(r) 隨著格點間隔r的增大冪率衰減(冪率值為0.24),且此時n(k0)>0,如圖2(c1)所示.此時體系存在相位相干,即存在非對角長程序.這一參數(shù)對應的基態(tài)同樣為超固相,但是這一超固相不同于超固0 相和超固1 相.密度分布是均勻的,此時νpeak0,如圖2(c2)所示.二階關聯(lián)D2(l,j) 和三階關聯(lián)D3(i,l,j) 呈現(xiàn)奇偶振蕩且不隨格點間距增大而衰減,如圖2(b3)和圖2(b4)所示.本文中,特征為νpeak0 的超固相被稱超固2 相.

圖2 (a1),(b1),(c1)超流序 G (r) 和插圖 n (k) ;(a2),(b2),(c2)密度分 布 ;(a3),(b3),(c3)二階關 聯(lián) D 2(l,j) ;(a4),(b4),(c4)三階關聯(lián) D 3(i,l,j).(a1)—(a3) 超固0 相,相互作用參數(shù) Us=10 和 Ul=6 ;(b1)—(b3) 超固1 相,相互作用參數(shù) Us=10和 Ul=4.4 ;(c1)—(c3) 超固2 相,相互作用參數(shù) Us=2 和 Ul=4.4.所 有圖中,共有參數(shù) L=96 ,ρ=0.4375Fig.2.(a1),(b1),(c1) Superfluid order G (r) and n (k) ;(a2),(b2),(c2) density profile ;(a3),(b3),(c3) two order correlation D2(l,j) ;(a4),(b4),(c4) three order correlation D 3(i,l,j) for i=j of (a1)–(a3) supersolid 0 phase with Us=10 and Ul=6,(b1)–(b3) supersolid 1 phase with Us=10 and Ul=4.4,and (c1)–(c3) supersolid 2 phase with Us=2 and Ul=4.4.In all subfigure,we have L=96 and ρ=0.4375.

為了更好地展示超流序G(r) 的存在,計算了多個尺寸的數(shù)據(jù),并做了有限尺寸分析,如圖3 所示.在有限尺寸下,超固1 相和超固2 相的超流序G(r) 隨著距離呈冪率衰減,將冪率做有限尺寸分析發(fā)現(xiàn),在熱力學極限下(L→∞)冪率在 (0,1) 區(qū)間,如圖3(a1)和圖3(b1)所示.對n(k0)/L做有限尺寸分析可以發(fā)現(xiàn),在熱力學極限下(L→∞)超固1 相和超固2 相的n(k0)/L>0,如圖3(a2)和圖3(b2)所示.綜上可得,超固1 相和超固2 相的超流序是固然存在的,不因尺寸變化而消失.

圖3 (a1),(b1)不同尺寸下的超流序 G (r),插圖為冥率的有限尺寸分析;(a2),(b2) n (k=0)/L 的有限尺寸分析.(a1),(a2)超固1 相,參數(shù) Us=10 和 Ul=4.4 ;(b1),(b2) 超固2 相,參數(shù) Us=2 和 Ul=4.4.所有圖中,共有參數(shù) ρ=0.4375Fig.3.(a1),(b1) Superfluid order G (r) of several lattice length.The inset is the finite-size scaling of the decay rate.(a2),(b2) Finite-size scaling of n (k=0)/L.(a1),(a2) Supersolid 1 phase with Us=10 and Ul=4.4.(b1),(b2) Supersolid 2 phase with Us=2 and Ul=4.4.In all subfigure,we have ρ=0.4375.

超固1 相和超固2 相源自于在位相互作用和無限長程相互作用的共存和競爭.超固1 相在不同尺寸情況下都會出現(xiàn)相同周期的包絡型的密度分布,如圖4(a1)—(a3)所示.且不同尺寸的νpeak相同,通過有限尺寸分析可以發(fā)現(xiàn),熱力學極限下(L →∞)的νpeak與有限尺寸的νpeak相等,如圖4(a4)所示.超固2 相在不同尺寸時的密度分布都是均勻的,如圖4(b1)—(b3)所示.不同尺寸包括熱力學極限下(L→∞)的νpeak≡0,如圖4(b4)所示.

圖4 (a1)—(a3)和(b1)—(b3)密度分布 ;(a4),(b4) νpeak 的有限尺寸分析.(a1)—(a4) 超固1 相,參數(shù) Us=10 和 Ul=4.4 ;(b) 超固2 相,參 數(shù) Us=2 和 Ul=4.4.(a1),(b1) L=80 ;(a2),(b2) L=64 ;(a3),(b3) L=48.所有圖中,共有參數(shù) ρ=0.4375Fig.4.(a1)–(a3) and (b1)–(b3) the density profile ;(a4),(b4) the finite-size scaling of the νpeak.(a1)–(a4) Supersolid 1 phase with Us=10 and Ul=4.4 ;(b1)–(b4) supersolid 2 phase with Us=2 and Ul=4.4.(a1),(b1) L=80 ;(a2),(b2) L=64 ;(a3),(b3) L=48.In all subfigure,we have ρ=0.4375.

本文利用n(k0) 和S(kπ) 的值,即可辨別超流、莫特絕緣體、電荷密度波和超固相.但是,需要使用νpeak來區(qū)分超固0 相、超固1 相和超固2相,如表1 所列.

表1 量子相對應的序參量Table 1.Corresponding orders of the phases.

為了清楚地探究上述超固相之間的相變,固定在位相互作用為Us10 和填充因子ρ0.4375,將無限長程相互作用強度Ul從0 不斷增大.這一過程中n(k0)>0.當 00和νpeak∈(0,π),對應的量子相為超固1 相;當Ul>4.6 時,S(kπ)>0和νpeakπ對應的量子相為超固0 相,如圖5(a)所示.基態(tài)從超流相變?yōu)槌? 相,最終又相變?yōu)槌? 相,臨界點為3.3 和4.6.超輻射相變同樣發(fā)生在無限長程相互作用Ul較大時,如圖5(b)所示.超固0 相是超輻射驅(qū)動的,在此區(qū)域中DMRG 的結果顯示.然而,超固1 相不是超輻射驅(qū)動,是腔光場漲落驅(qū)動的.此時且,如圖5(b)所示.

當固定無限長程相互作用強度Ul4.4 和填充因子ρ0.4375,將在位相互作用強度Us從0 不斷增大.這一過程中n(k0)>0 和S(kπ)>0.當011.5 時νpeakπ,對應的量子相為超固0 相,如圖5(c)所示.我們同樣計算了這一過程的超輻射序參量和光子數(shù),發(fā)現(xiàn)超固1 相和超固2 相這兩個相的,如圖5(d)所示.綜上,可以得出結論,超固1 相和超固2 相是腔光場漲落驅(qū)動的.

圖5 S (k=π) (黑色實線)和 νpeak (藍色方塊) (a) 關于 Ul 的變化,固定 Us=10 ;(c) 關于 Us 的變化,固定 Ul=4.4.平均光子數(shù) 和腔中 的光子 數(shù) 關 于 (b) 關 于 Ul 的變化,固 定 Us=10 ;(d) 關 于 Us 的變化,固 定 Ul=4.4.所有圖 中,共有參 數(shù)L=96 和 ρ=0.4375.SF 表示超流,MI 表示莫特絕緣體,CDW 表示電荷密度波,SS0 表示超固0 相,SS1 表示超固1 相,SS2 表示超固2 相Fig.5.The S (k=π) (black solid line) and νpeak (blue square) as function of (a) Ul with Us=10,and (c) Us with Ul=4.4.The number of cavity photons and mean cavity-field as a function of (b) Ul with Us=10,(d) Us with Ul=4.4.In all subfigure,we have L=96 and ρ=0.4375.SF denotes superfluid,MI denotes Mott insulator,CDW denotes charge density wave,SS0 denotes supersolid 0,SS1 denotes supersolid 1,SS2 denotes supersolid 2.

基于上述描述的相變,勾勒了哈密頓量(3)的相圖,如圖6 所示.圖6(a)—(c)給出了Ul-ρ平面的相圖,其中(a)Us0,(b)Us5 和(c)Us10.當無在位相互作用和無限長程相互作用時,體系基態(tài)在任何填充率ρ下都是超流.當引入無限長程相互作用Ul后體系變?yōu)槌? 相,繼續(xù)增強Ul體系變?yōu)槌? 相,如圖6(a)所示.當Us5 時,無限長程相互作用Ul驅(qū)動體系產(chǎn)生超固0 相、超固1相和超固2 相.只有ρ0.5 和1 時,體系會出現(xiàn)莫特絕緣體和電荷密度波,如圖6(b)所示.當Us10 時,超固2 相被壓縮而消失,相圖中仍然有超流、莫特絕緣體、電荷密度波、超固0 相和超固1相,如圖6(c)所示.為了更直觀地展示在位相互作用和無限長程相互作用的競爭,給出了Ul-Us平面的相圖,如圖6(d)所示.無限長程相互作用Ul驅(qū)動產(chǎn)生超固相,Ul很大時體系為超固0 相.當無限長程相互作用Ul4 左右時,在位相互作用Us驅(qū)動超固2 相變?yōu)槌? 相.

圖6 (a)—(c) Ul -ρ 平面的相圖 (a) Us=0 ;(b) Us=5 ;(c) Us=10.(d) Ul -Us 平面的相圖,參數(shù) ρ=0.4375.所有圖中,共有參數(shù) L=96.SF 表示超流,MI 表示莫特絕緣體,CDW 表示電荷密度波,SS0 表示超固0 相,SS1 表示超固1 相,SS2 表示超固2 相Fig.6.(a)–(c) Phase-diagram between Ul and ρ with (a) Us=0,(b) Us=5 and (c) Us=10.(d) Phase-diagram between Ul and Us,with filling ρ=0.4375.In all subfigure,we have L=96.SF denotes superfluid,MI denotes Mott insulator,CDW denotes charge density wave,SS0 denotes supersolid 0,SS1 denotes supersolid 1,SS2 denotes supersolid 2.

4 總結

上述量子相在目前的實驗平臺上都是可以觀測的,動量分布可以通過時間飛行探測,結構因子可以通過布拉格散射探測[37,38],密度分布可以通過單格點分辨進行探測[39].

本文研究了光學腔中一維無自旋玻色-哈伯德模型.利用密度矩陣重整化群方法,計算了基態(tài)的單體超流序、局域密度分布、二階和三階關聯(lián)函數(shù).發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)了存在對角和非對角的長程序并超越平均場理論的兩個奇異超固相.這兩個超固相分別展現(xiàn)出包絡型的密度調(diào)制振蕩和均勻的密度分布.通過計算光子數(shù)和腔場平均,發(fā)現(xiàn)奇異超固相主要由腔場漲落誘導.相互作用能夠驅(qū)動奇異超固相之間的相變.本文的工作給出了光學腔內(nèi)玻色-哈伯德模型的超越平均場理論的新物理,并提供了充分探索光學腔的完整計算方法.