一類四階微分方程Neumann邊值問題的多正解性

徐 晶，高紅亮

(蘭州交通大學 數(shù)理學院，甘肅 蘭州 730070)

常微分方程邊值問題是微分方程理論研究中的一個重要問題，在彈性力學和工程物理等領域中應用廣泛，對其正解研究受到許多學者關(guān)注[1-10]。

2008年，Li[1]等運用不動點指數(shù)理論和臨界群研究了四階微分方程邊值問題

(1)

解的存在性，其中f∈C([0,1]×R,R)且對任意的x∈[0,1]，f(x,·)在R上單調(diào)遞增。2009年，郭建敏等[3]運用Morse理論和Brezis-Nirenberg理論研究了四階微分方程邊值問題

(2)

2015年，Vrabel[5]運用上下解方法研究了兩端簡單支撐的靜態(tài)梁方程邊值問題

(3)

解的存在性，其中參數(shù)k1

(4)

1 預備知識

引理1[8]設P是實Banach空間B中的錐，若映射α:P→[0,+∞)是連續(xù)的且

α(tx+(1-t)x)≥(≤)tα(x)+(1-t)α(x),x,y∈P,t∈[0,1],

則稱映射α是凹(凸)泛函。

令β,γ和θ是錐P上的非負連續(xù)凸泛函，α和Ψ是錐P上的非負連續(xù)凹泛函，對于非負實數(shù)d，p和q，定義集合：

P(γ,r)={y∈P|γ(y)

Q(γ,β,d,r)={y∈P|β(y)≤d,γ(y)≤r},P(γ,θ,α,p,q,r)={y∈P|α(y)≥p,θ(y)≤q,γ(y)≤r}。

引理2[8]設P是實Banach空間B中的錐，α，γ是錐P上的非負連續(xù)增泛函，θ是錐P上的非負連續(xù)泛函且滿足θ(0)=0。對于任意正數(shù)r，存在正數(shù)M，使得

假設存在正數(shù)p,q滿足p

θ(λy)≤λθ(y),λ∈[0,1],y∈?P(θ,q)。

(ⅰ)α(Ty)>r，y∈?P(α,r);

(ⅱ)θ(Ty)

(ⅲ)P(γ,p)≠?且γ(Ty)>p,y∈?P(γ,p)。

γ(y1)>p,θ(y1)

引理3[8]設P是實Banach空間B中的錐，r和M是正數(shù)。假設α，Ψ是錐P上的非負連續(xù)凹函數(shù)，γ，β和θ是錐P上的非負連續(xù)凸泛函且滿足

(ⅰ) {y∈P(γ,θ,α,p,q,r)|α(y)>p}≠?且α(Ty)>p，y∈P(γ,θ,α,p,q,r)；

(ⅱ) {y∈P(γ,β,Ψ,h,q,r)|β(y)

(ⅲ)α(Ty)>p,y∈P(γ,α,p,r)且θ(Ty)>q;

(ⅳ)β(Ty)

本文假設f:[0,1]×[0,+∞)→[0,∞)是連續(xù)函數(shù)。

其中

容易驗證Gi(x,s)有如下性質(zhì)：

(ⅰ)Gi(x,s)>0，x,s∈[0,1];

(ⅱ)k1i(x)Gi(s,s)≤Gi(x,s)≤Gi(s,s)，x,s∈[0,1]，其中

P={y∈C[0,1]|y(x)≥0,y(x)≥k11(x)δ2m2‖y‖},

定義算子T:P→P為

2 主要結(jié)果

定理1假設存在常數(shù)p，q，r滿足0

則問題(4)至少存在兩個正解y1,y2，滿足

證明令

易知α，γ是P中的非負連續(xù)增泛函，θ是P上的非負連續(xù)泛函且θ(0)=0，ni≥mi。對任意y∈P，可知

易證T:P→P為全連續(xù)算子。下證引理2中的條件(ⅰ)～(ⅲ)成立。

首先，對任意y∈?P(α,r)，有

θ(y)=q≥α(y)≥δ1δ2n1m2γ(y)，

最后，可知

P(γ,p)={y∈P|‖y‖

且對任意y∈?P(γ,p)，即‖y‖=p，有α(y)≥δ1δ2n1m2p，根據(jù)條件(ⅲ)可得

綜上，由引理2可知，問題(4)至少存在兩個正解y1，y2，滿足

則問題(4)至少存在三個正解y1，y2，y3滿足不等式

證明令

易知α，Ψ是P中的非負連續(xù)凹泛函，γ，β，θ是P中的非負連續(xù)凸泛函，ni≥mi。

取y=δ1δ2n1m2q，顯然y∈P(γ,β,Ψ,δ1δ2n1m2q,q,r)。因為β(y)=δ1δ2n1m2q

{y∈P(γ,β,Ψ,δ1δ2n1m2q,q,r)|β(y)

對任意y∈P(γ,β,Ψ,δ1δ2n1m2q,q,r)，根據(jù)條件(ⅱ)可得

令y∈Q(γ,β,q,r)使得Ψ(Ty)<δ1δ2n1m2q，則

綜上，由引理3可知，問題(4)至少存在三個正解y1，y2，y3滿足

3 主要應用

例1考慮四階微分方程Neumann問題

正解的存在性，其中w1=2,w2=1,k1

(1)若非線性項f的形式為

綜上，在此條件下，邊值問題至少有兩個正解y1，y2滿足

(2)若非線性項f的形式為

綜上，在此條件下，邊值問題至少有三個正解y1，y2，y3滿足

例2考慮四階微分方程Neumann問題

(1)若非線性項f的形式為

綜上，在此條件下，邊值問題至少有兩個正解y1，y2滿足

(2)若非線性項f的形式為

綜上，在此條件下，邊值問題至少有三個正解y1，y2，y3滿足