狀態(tài)受限柔性關節(jié)機械臂的有限時間指令濾波反步控制

楊 康，趙 林

（青島大學 自動化學院，青島266071）

隨著諧波齒輪傳動和關節(jié)扭矩傳感器在機械臂中的應用，剛性連桿和剛性關節(jié)的假設在機械臂系統中不再適用。柔性機械臂系統（FJMs）中的非線性、柔性、摩擦力和強耦合性限制了系統的控制性能?；？刂?、動態(tài)面控制、反步控制和模糊控制等[1-2]很多控制方法被研究人員用來消除機械臂系統中的柔性。文獻[1]提出了一種應用于不確定單連桿柔性機械臂系統的自適應滑?？刂?，但是此控制器存在抖振問題[3-4]。與滑?？刂葡啾确床椒ú⒉淮嬖谶@個缺點，因此基于反步法設計的控制器在高階非線性柔性機械臂系統中應用非常廣泛；文獻[5]將反步法應用到了柔性機械臂系統的控制器設計中，但采用的是傳統反步法，虛擬控制信號在每一步運算時都需要積分，這就增加了系統的計算復雜度；文獻[6-7]引入動態(tài)面控制，通過使用一階濾波器來降低系統的運算復雜度；文獻[8]將分布式動態(tài)面控制運用到了柔性機械臂系統中，但是文獻[5-8]都沒有考慮到引入濾波器所產生的的濾波誤差，降低了閉環(huán)系統的跟蹤效果。與動態(tài)面控制相比，文獻[9-12]提出的指令濾波反步控制不僅降低了系統的計算復雜度，而且引入了誤差補償機制抵消了濾波誤差。

另一方面，系統在實際運行過程中往往會受到各種各樣的限制，比如飽和、物理限制以及化學反應器的溫度等，如果系統超過了所給定的物理限制，會降低控制效果，導致系統崩潰甚至危及工作人員的生命安全，因此必須考慮如何設計一個控制器能夠讓系統的輸入和輸出控制在期望的范圍內。為了使指定的狀態(tài)能夠控制在期望的范圍內，文獻[13-14]將障礙李雅普諾夫函數（BLFs）應用到了非線性系統中，但是它們并沒有考慮此種控制方法在機械臂系統中的應用；文獻[15-16]將障礙李雅普諾夫函數應用于輸出受限的機械臂系統；文獻[17]進一步將其應用到了全狀態(tài)受限的n 階剛性機械臂系統中，但是文獻[15-17]都沒有考慮到實際機械臂系統中的柔性，并且控制器的設計都是基于傳統反步法，會產生“計算爆炸”，還有一點必須要指出的是文獻[13-17]中都沒有考慮到系統的收斂速度，這將限制實際系統的控制效果。

此外，收斂速度快、響應快、高精度和良好的抗擾動能力對于實際系統來說非常的重要，而有限時間控制對提高這些性能非常有效，因此有限時間控制非常具有吸引力。文獻[18]將有限時間控制應用于航天器系統的跟蹤控制；文獻[19]將有限時間控制應用到了具有終端滑模的機械臂系統中，但是忽略了機械臂系統的柔性；文獻[20]研究了基于神經網絡的有限時間控制在柔性機械臂中的應用，但是并沒有考慮狀態(tài)受限的情況；文獻[21]將自適應指令濾波控制應用在了全狀態(tài)受限的非線性系統中，而并沒有考慮有限時間控制。根據作者所知，目前還沒有針對全狀態(tài)受限柔性機械臂系統的有限時間指令濾波反步控制的研究成果，因此它具有非常重要的研究價值?；谡系K李雅普諾夫函數和指令濾波反步控制方法，本文提出了一種能夠實現有限時間收斂的控制算法，解決了全狀態(tài)受限柔性機械臂系統的軌跡跟蹤問題。具體貢獻如下：

（1）與文獻[11-12]中提出的應用在柔性機械臂系統中的指令濾波控制和文獻[20]將有限時間應用于輸出受限的機械臂系統相比，本文進一步的考慮了系統的全狀態(tài)需要被約束在期望范圍內的情況，并且使用障礙李雅普諾夫函數設計虛擬控制量來使所有狀態(tài)都不超過期望的范圍。

（2）與文獻[17]將障礙李雅普諾夫函數應用在全狀態(tài)受限的剛性機械臂系統中相比，本文不僅考慮了實際機械臂系統的柔性問題，而且使用了基于分數冪的有限時間控制器，有效提高了系統的收斂速度，控制精度更高。

1 理論準備

引理1[9]：對于正數Ψ1＞0，Ψ2＞0，β∈（0，1），如果一個連續(xù)函數滿足條件V˙+Ψ1V+Ψ2Vβ≤0 那么V（t）將在時間T≤t0+（1/Ψ1（1-β）ln（Ψ1V1-β（t0）+Ψ2）/Ψ2）內收斂到平衡點。

引理2[9]：存在一個正常數ι＞0，λ＞0 滿足以下不等式：

式中：ρ（q，p）>0 是一個實值函數。

2 柔性機械臂系統的數學模型

本文所研究的柔性關節(jié)機械臂的動力學模型如下：

式中：q∈Rn，∈Rn，∈Rn分別表示關節(jié)的位置、速度和加速度。H（q）∈Rn×n為對稱正定慣性矩陣；C（q，）∈Rn×n為科里奧利向心矩陣；G（q）∈Rn為模型的重力項；F∈Rn×n為關節(jié)摩擦系數矩陣。qm∈Rn，∈Rn，∈Rn分別代表轉子角的位置、速度、加速度。Km∈Rn×n代表模型關節(jié)的柔度；J∈Rn×n代表模型的慣性項；B∈Rn×n代表模型關節(jié)的阻尼項；u∈Rn為系統的控制輸入向量；y∈Rn是系統的輸出向量。

性質1：桿慣性矩陣H（q）是一個對稱正定矩陣，它的范圍滿足不等式Hh≤‖H（q）‖2≤HH，其中‖·‖2表示誘導矩陣范數，Hh和HH是正常數。另外，H-1（q）是有界的。

性質2：H-1（q）Km是有界的，滿足‖H-1（q）Km‖≤ρ1，其中ρ1是一個常數且滿足ρ1>0。

注1：當Km是一個常數正定對稱矩陣時，由性質1 可證明性質2 是成立的。

令q=x1，=x2，qm=x3，=x4，可以得到如下方程：

讓f2=-H-1（x1）［C（x1，x2）x2+G（x1）+F（x2）+Kmx1］，g2=H-1（x1）Km，f4=-J-1［Bx4+Km（x3-x1）］，g4=J-1，將其帶入式（3）中可以得到：

式中：xs=[xs，1，…，xs，n]T，并要求所有的xs，i都滿足進一步定義期望軌跡xd=[xd，1，…，xd，n]T∈Rn，其中xd和是有界連續(xù)的，并且滿足xd，i≤ε＜kc，1，i。

注2：文獻[18]中需要計算xd（s）（s=1，…，n-1）的值，而本篇文章只需要求得xd和的值。

3 控制器設計

跟蹤誤差信號定義為

式中：πs=[φs，1，…，φs，n]T，s=2，3，4 是由以下指令濾波器輸出的：

式中：s＝2，3，4；i=1，…，n，虛擬控制量αs-1=［αs-1，1，…，αs-1，n］T是指令濾波器的輸入。

引理3[22]：如果γs，1，i和γs，2，i選擇得當，那么式（7）將會成立：

在指令濾波反步控制中，為了抵消掉指令濾波器產生的濾波誤差πs-αs-1，s=2，3，4，將誤差補償機制定義如下：

式中：ξs（0）=0，bs>0，s=1，…，4 是比例增益；r=r1/r2∈（0，1），并且r1，r2均為奇數。

為了逼近未知權重向量ωs，i，s=2，4，i=1，…，n，選定θ＝max {‖ωs，i‖2}，并定義自適應律為

式中：λ，μ 和a2，a4都是>0 的常數；s2，i和s4，i為基函數向量。

虛擬控制信號定義為

式中：hs，ls，s=1，2，3，4 均為正常數，補償誤差跟蹤信號vi設計為

步驟1構造Lyapunov 函數：

可以得到：

對V1求導得：

將α1和ξ1代入式（14）中得：

根據引理2 可以得到：

進一步可以得到：

步驟2選取另一個Lyapunov 函數：

所以對V2求導得：

由于函數f2＝[f2，1，…，f2，n]T含有不確定性，因此利用模糊邏輯系統對其進行逼近，則f2，i，i=1，…，n 可以近似表示為

式中：ζ2，i為近似誤差且滿足‖ζ2，i‖≤σ2，σ2為>0 的常數。從而，根據楊不等式得到：

將α2和ξ2代入式（19）中得：

步驟3選取Lyapunov 函數：

對V3求導得：

將α3和ξ3代入式（24）中得：

步驟4選取Lyapunov 函數：

對V4求導得：

根據步驟2 可以得到：

式中：ζ4，i為近似誤差且滿足‖ζ4，i‖≤σ4，σ4為>0 的常數。

將u 和ξ4代入式（28）中得：

定理1：對于基于有限時間指令濾波器的FJMs來說，如果采用式（8）中的誤差補償信號ξs、式（9）中的自適應律和式（10）中的虛擬控制量αs，可以在有限的時間內使柔性機械臂系統的跟蹤誤差x1-xd穩(wěn)定在足夠小的包含原點的鄰域里，并且系統的各個狀態(tài)和跟蹤誤差補償信號都不超過期望的范圍。

為了證明誤差補償機制的穩(wěn)定性，選用以下函數：

鎮(zhèn)長嚴肅了，說，這事分兩頭說，打人已經處理了就不說了好啵。只說這個補償，我覺得兩千已經是不錯的了，其他人還分文沒給呢。

根據性質2 和引理3 可以得到（πs+1-αs）=0，進一步結合楊不等式可以得到gsξsξs+1≤可以將式（32）寫為

式中：bo=min

由于zs=vs+ξs，要想將zs在有限時間內收斂到期望的區(qū)域內就必須讓vs和ξs收斂到期望的區(qū)域內。因此在李雅普諾夫函數中加入估計誤差θ～，全局李雅普諾夫方程選擇：

對式（34）求導得：

經過進一步化簡得到：

式中：

或者

式中：η∈（0，1），從式（38）中可以得出，如果滿足V＞Θ3/（Θ1（1-η）），那么可以得到＜-ηΘ1V-Θ2V（r+1）/2。所以信號vs，ξs和θ～可以在有限時間T1內，收斂到以下鄰域內：

根據引理1 可以得到T1≤T0+1/ [ηΘ1（1-（1+r）/2）]ln [（ηΘ1V1-（r+1）/2（T0）+Θ2）/Θ2]。同樣，如果V（r+1）/2＞Θ3/（Θ2（1-η）），那么可以得到＜-Θ1V-ηΘ2V（r+1）/2，所以信號vs，ξs和可以在有限時間T2≤T0+1/[Θ1（1-（1+r）/2）]ln [（Θ1V1-（r+1）/2（T0）+ηΘ2）/（ηΘ2）]內，收斂到以下鄰域內：

從式（39）和式（40）中可以得到：

進一步可以得到：

然后，因為zs=vs+ξs，所以t≥T=max｛T1，T2｝時可以得到：

這意味著在有限時間內系統的軌跡跟蹤誤差x1-xd能夠穩(wěn)定在原點附近足夠小的鄰域里，并且系統的各個狀態(tài)和跟蹤誤差補償信號都不超過期望的范圍?，F在，需要進一步分析閉環(huán)系統的所有狀態(tài)并沒有超出期望的范圍。當ξs，i有界的時候，存在一個常數kξs，i使得，所以定義k1，i＝kc，1，i-kξs，i-ε，所以可以得到輸出并不會超出限制。因為虛擬控制量α1是由z1和x˙d組成，它們全是有界的，所以虛擬控制量α1，i是有界的，進一步可以得出π2，i是有界的，存在一個常數kπ2，i＞0 使得π2，i≤kπ2，i。從不等式和等式k2，i＝kc，2，i-kξ2，i-kπ2，i可以得出同樣的方法可以得到這說明閉環(huán)系統的全狀態(tài)受限是可以滿足的。

注3：根據Θ 的定義可以知道應該滿足并且更大的bs，s=1，2，3，4 可以保證更快的收斂速度。

4 仿真結果與分析

在本節(jié)中，將提出的算法應用到單桿柔性機械臂系統中，利用Matlab 軟件進行仿真分析，來證明此算法的有效性。單桿柔性關節(jié)機械臂系統的動態(tài)方程為

表1 柔性機械臂系統參數Tab.1 Parameters of FJ robot system

柔性機械臂系統的狀態(tài)x1，x2，x3和x4的響應曲線如圖1所示；跟蹤誤差信號v1，v2，v3和v4的響應曲線如圖2所示。

從圖1和圖2中可以看到無論是系統的各個狀態(tài)還是跟蹤誤差信號都沒有超出設定的限制條件，說明本文提出的算法在處理全狀態(tài)受限的問題時具有很好的效果。

圖1 柔性機械臂系統x1，x2，x3 和x4 響應曲線圖Fig.1 Response curves of x1，x2，x3 and x4 under the FJ manipulator system

圖2 柔性機械臂系統v1，v2，v3 和v4 的響應曲線Fig.2 Response curves of v1，v2，v3 and v4 under the FJ manipulator system

為了進一步體現本文提出的算法在有限時間上的控制效果，令提出算法中的r=1，其它參數不變，此時系統為漸近收斂。為了直觀的反映提出算法的優(yōu)勢，將有限時間收斂和漸近收斂作比較，使用全局跟蹤誤差進行對比。當r=1和r=3/5 時，系統的OTE 響應曲線如圖3所示。

圖3 r=1 和r=3/5 時系統的OTE 對比Fig.3 Comparison of the OTE of system when r=1 andr=3/5

從結果中，可以看出r=3/5 時，系統的收斂速度更快，穩(wěn)定后收斂效果更好。說明本文提出的算法在處理實現受限問題時有著明顯的優(yōu)勢。

5 結語

針對全狀態(tài)受限的柔性機械臂系統的跟蹤控制問題，本文使用了一種基于障礙李雅普諾夫函數的有限時間模糊邏輯反步控制。有限時間指令濾波器的應用不僅可以消除反步法所產生的“計算爆炸”問題，而且可以更快的濾波。同時，引入誤差補償系統來抵消掉濾波過程中產生的濾波誤差。通過引入模糊邏輯控制系統來逼近系統的不確定性，并且文中只有一個參數需要估計。最終，證明了系統的跟蹤誤差可以在有限時間內穩(wěn)定在一個足夠小的原點鄰域內，并且閉環(huán)系統的所有狀態(tài)都不超過限制的范圍。如何將本文提出的算法應用到多柔性機械臂系統中是我們未來研究的方向。