伏安法測電阻實驗的改進及誤差分析

張曉燕，牛中明，諶正艮，李 剛

（安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，合肥230601）

電阻是電學(xué)中的基本物理量，其測量方法有很多，如伏安法和電橋法等[1]。相比其他方法，伏安法測電阻實驗電路簡單，使用方便，是一種廣泛采用的電阻測量方法。該方法利用歐姆定律估算電阻的阻值，因此有助于加深學(xué)生對歐姆定律的認(rèn)識，已成為物理教學(xué)中的基本電學(xué)實驗之一。

在伏安法測電阻實驗中，利用電壓表測出待測電阻兩端的電壓值U，電流表測出流過待測電阻的電流值I，利用歐姆定律R=U/I求出待測電阻的阻值R。但在實際測量電路中，按電流表的接線位置，分為內(nèi)接法和外接法兩種方式，實驗電路如圖1所示。對于內(nèi)接法，電流表測出流過待測電阻的電流I，而電壓表給出待測電阻和電流表串聯(lián)后的總電壓UR+UA；對于外接法，電壓表測出待測電阻兩端的電壓U，而電流表給出待測電阻和電壓表并聯(lián)后的總電流IR+IV。因此，內(nèi)外接法的測量值分別為電阻和電流表內(nèi)阻之和R+RA，以及電阻和電壓表內(nèi)阻并聯(lián)值R·RV/(R+RV)。在電表內(nèi)阻未知的情況下，其對測量結(jié)果的影響不可避免，由此導(dǎo)致的誤差稱為系統(tǒng)誤差。因此，為了減小電表內(nèi)阻對結(jié)果的影響，當(dāng)待測電阻阻值較大時，一般采用內(nèi)接法；當(dāng)待測電阻阻值較小時，一般采用外接法。對于較大較小的標(biāo)準(zhǔn)以及誤差分析，也進行了詳細(xì)的通論，有很多評判標(biāo)準(zhǔn)[2]。

圖1 伏安法測電阻電路圖（左右圖分別對應(yīng)內(nèi)接法和外接法）

為了避免電表內(nèi)阻對測量結(jié)果的影響，已提出電橋平衡法、電路補償法和等效替代法等，并基于這些方法，詳細(xì)討論了如何減小電阻測量的系統(tǒng)誤差[3]。然而，這些方法的測量電路一般較為復(fù)雜，實驗操作也相對困難。本文將提出一種不增加測量電路復(fù)雜度便可消除電表內(nèi)阻影響的新方法，并利用Origin軟件進行數(shù)據(jù)分析，估算待測電阻的阻值及其不確定性，最后通過與標(biāo)準(zhǔn)值進行對比以驗證方法的可靠性。

1 實驗原理

設(shè)待測電阻、電流表內(nèi)阻和電壓表內(nèi)阻分別用R、RA和RV表示，由上面的討論可知，內(nèi)接和外接法得到的電阻測量值Ri和Re分別為

如果實驗中采用內(nèi)接和外接法測量兩個電阻R1和R2的阻值，由公式（1）和（2）可得

其中，R1i和R1e（R2i和R2e）分別為采用內(nèi)接和外接法得到的電阻R1（R2）的測量值，可以由實驗測量的U-I數(shù)據(jù)確定。由公式（3），即可消除電表內(nèi)阻對測量阻值的影響，得到被測電阻的阻值

其中 δi=R2i-R1i，δe=R2e-R1e.

2 結(jié)果

為了驗證新提出方法的可靠性，本實驗將采用標(biāo)準(zhǔn)值為100 Ω和200 Ω的電阻進行測量。實驗所使用電源的輸出電壓為8 V，電流表和電壓表的準(zhǔn)確度等級均是0.5，量程分別為75 mA和7.5 V，因此，測量電流和電壓的儀器誤差限分別為0.375 mA和0.037 5 V。

實驗中，調(diào)節(jié)滑動變阻器，改變被測電阻兩端電壓，采用內(nèi)接法和外接法對兩只待測電阻各測量30組U-I數(shù)據(jù)，圖2給出了100 Ω電阻（上圖）和200 Ω電阻（下圖）對應(yīng)的內(nèi)接和外接法的伏安特性曲線。

圖2 內(nèi)接和外接法測量的100 Ω電阻和200 Ω電阻的伏安特性曲線

為了比較各種方法的可靠性，圖3給出了各種方法得到的電阻測量值與標(biāo)準(zhǔn)值之差。因電表內(nèi)阻未知，圖中內(nèi)接和外接法的測量誤差僅包括統(tǒng)計誤差，未考慮系統(tǒng)誤差。

圖3 不同方法得到的電阻測量值與標(biāo)準(zhǔn)值之差

從圖3可見，內(nèi)接法在誤差范圍內(nèi)與標(biāo)準(zhǔn)值相吻合，而外接法的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值相差較大，即使在3倍的誤差范圍內(nèi)都無法與標(biāo)準(zhǔn)值吻合，這說明本實驗所采用的兩個待測電阻的阻值都相對較大，使用外接法會引起很大的系統(tǒng)誤差。與此相比，使用本文提出的新方法，可以消除系統(tǒng)誤差的影響，最終結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值非常接近。盡管該方法估算的誤差比內(nèi)接和外接法略大，但是由于已經(jīng)消除了電表內(nèi)阻的影響，并按照誤差傳遞公式估算了所有測量誤差對最終結(jié)果誤差的貢獻，因此給出了更為全面的誤差估計，測量結(jié)果在誤差范圍內(nèi)與標(biāo)準(zhǔn)值完全吻合。

3 結(jié)論

伏安法測電阻實驗的測量結(jié)果會受到電表內(nèi)阻的影響，甚至造成較大誤差，從而影響伏安法測量電阻的可靠性。本文提出了一種不增加測量電路復(fù)雜度便可消除電表內(nèi)阻影響的新方法，采用標(biāo)準(zhǔn)值為100 Ω和200 Ω的電阻進行測試，利用Origin軟件進行數(shù)據(jù)分析，估算了待測電阻的阻值及其不確定性。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，測量結(jié)果在誤差范圍內(nèi)與標(biāo)準(zhǔn)值完全吻合，驗證了該方法的可靠性。