基于應(yīng)變楔模型的砂土地基水平循環(huán)受荷樁簡(jiǎn)化分析方法

邢康宇，吳文兵，張凱順，劉浩

（1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué) 工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.巖土鉆掘與防護(hù)教育部工程研究中心，湖北 武漢 430074；3.中鐵工程咨詢集團(tuán)有限公司 鄭州設(shè)計(jì)院，河南 鄭州 450001）

0 引言

海上風(fēng)電機(jī)組、鉆井平臺(tái)等海洋工程結(jié)構(gòu)物使用的樁基礎(chǔ)在服役期間往往需長(zhǎng)期承擔(dān)由風(fēng)、波浪、海流帶來的周期性循環(huán)荷載，相較于靜載作用，樁基礎(chǔ)受到水平循環(huán)荷載作用時(shí)其承載力、側(cè)向位移剛度將出現(xiàn)不同程度下降，導(dǎo)致樁身位移過大，極易引起上部建筑物安全問題。造成這一現(xiàn)象的本質(zhì)原因是循環(huán)荷載引起的土體塑性應(yīng)變累積，使樁側(cè)土體剛度等工程性質(zhì)產(chǎn)生弱化。目前分析水平循環(huán)受荷樁工作性狀較為普遍的理論計(jì)算方法是p-y曲線法，最初由H.Matlock［1］、L.C.Reese等［2］提出，將靜力p-y曲線法中的極限土抗力進(jìn)行折減，從而考慮樁側(cè)土的弱化，已納入API等設(shè)計(jì)規(guī)范中，隨后許多學(xué)者［3-4］在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了不同的折減方法。p-y曲線法形式較為簡(jiǎn)單，工程實(shí)際中應(yīng)用方便，但大多依據(jù)小循環(huán)次數(shù)作用下的樁基荷載試驗(yàn)提出，無法直接考慮荷載作用次數(shù)和荷載幅值的影響。已有研究［5］表明，p-y曲線法的計(jì)算結(jié)果可能存在較大誤差，并不適用于長(zhǎng)期循環(huán)荷載作用下的樁基響應(yīng)計(jì)算。M.Achmus［6］、胡安峰等［7］基于室內(nèi)循環(huán)三軸試驗(yàn)結(jié)果建立的砂土剛度弱化模型［8］考慮樁側(cè)土的循環(huán)弱化特性，并將其嵌入到三維有限元數(shù)值模擬中計(jì)算得到樁身位移響應(yīng)，可直接考慮循環(huán)荷載次數(shù)和荷載幅值的影響。水平荷載作用下樁側(cè)土應(yīng)力和應(yīng)變水平隨地基深度和荷載大小發(fā)生變化［9-10］，因此不同埋深處土體循環(huán)弱化程度也不同。與p-y曲線法相比，有限元法優(yōu)勢(shì)在于可以確定樁側(cè)土體的應(yīng)力分布規(guī)律，然后根據(jù)剛度弱化模型，確定不同深度樁側(cè)土的弱化程度，進(jìn)而分析樁身的水平位移響應(yīng)，但其計(jì)算過程較為復(fù)雜，不利于工程應(yīng)用。因此，建立能有效反映樁側(cè)土循環(huán)弱化特性并便于工程應(yīng)用的水平循環(huán)受荷樁簡(jiǎn)化分析方法有著重要的工程意義。

M.Ashour等［11］建立的應(yīng)變楔模型結(jié)合三維樁-土相互作用確定樁基水平靜力響應(yīng)，可充分考慮宏觀土抗力-樁身位移與微觀上土體應(yīng)力-應(yīng)變的聯(lián)系，并確定樁側(cè)土應(yīng)力、應(yīng)變分布；在此基礎(chǔ)上，K.Lesny等［12］考慮樁側(cè)土的循環(huán)累積塑性應(yīng)變，通過對(duì)應(yīng)變楔模型［11］中的參數(shù)ε50進(jìn)行修正以考慮循環(huán)荷載的影響，但累積塑性應(yīng)變計(jì)算方法并未考慮應(yīng)力幅值等特性對(duì)砂土循環(huán)弱化特性的影響；楊曉峰等［13］指出，現(xiàn)有應(yīng)變楔模型樁身位移線性變化位移假設(shè)會(huì)造成一些問題和矛盾，并基于此建立了改進(jìn)的靜力應(yīng)變楔模型。

針對(duì)上述問題，在前人研究基礎(chǔ)上，本文基于應(yīng)變楔模型計(jì)算水平荷載作用下樁側(cè)土的應(yīng)力分布規(guī)律，然后由砂土剛度衰減經(jīng)驗(yàn)公式確定樁側(cè)土的循環(huán)弱化程度，對(duì)靜力應(yīng)變楔模型中的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行修正以考慮循環(huán)荷載的影響，建立計(jì)算水平循環(huán)受荷樁側(cè)向位移的簡(jiǎn)化分析方法，最后通過算例分析驗(yàn)證本文方法的有效性與合理性。

1 基于應(yīng)變楔模型的簡(jiǎn)化分析方法

1.1 應(yīng)變楔模型

如圖1所示，在應(yīng)變楔模型中，樁前被動(dòng)受壓土體被簡(jiǎn)化為三維楔形體［11］，其幾何大小與樁基受荷水平相關(guān)，在樁基達(dá)到極限承載能力前，荷載大小變化會(huì)引起樁前土體應(yīng)力-應(yīng)變水平的改變，進(jìn)而導(dǎo)致楔形體寬度、深度的動(dòng)態(tài)變化。M.Ashour等［11］假設(shè)極限承載狀態(tài)下楔形體的底角β為靜三軸試驗(yàn)中土體破壞面的方向夾角。則在達(dá)到極限承載狀態(tài)前的任一載荷作用下，動(dòng)態(tài)楔形體的幾何參數(shù)由式（1）～（2）確定［11］：

式中：βm為三維楔形體動(dòng)態(tài)底角；φm為土體內(nèi)摩擦角發(fā)揮值；BC為地基深度z處楔形體前置寬度；D為樁徑；H為當(dāng)前被動(dòng)楔形體深度，與樁身側(cè)向位移的第一零點(diǎn)深度Z0有關(guān)，具體取值為彈性長(zhǎng)樁H＝0.69Z0，中長(zhǎng)樁H＝（0.69～1）Z0，剛性樁H＝Z0。

如圖1所示，對(duì)于深度z處的應(yīng)變楔水平截面有

圖1 應(yīng)變楔模型基本形狀Fig.1 Basic shape of strain wedge model

式中：Δσh＝σh－K0σ′v，為樁側(cè)楔形體的水平增應(yīng)力，考慮成樁效應(yīng)，K0＝1，則Δσh相當(dāng)于三軸試驗(yàn)的偏應(yīng)力σ1－σ3（水平應(yīng)力σh為軸向應(yīng)力σ1，豎向有效應(yīng)力σv′相當(dāng)于圍壓σ1）；p為單位樁長(zhǎng)上作用的樁側(cè)土反力；τ＝2′σvtanφm，τf＝σvtanφ，τ≤τf，τ為樁側(cè)土體剪應(yīng)力，其中φ為土體峰值內(nèi)摩擦角；S1和S2為樁截面形狀因子，圓形樁分別取0.75和0.5，方形樁均取1。

楊曉峰等［13］指出，現(xiàn)有應(yīng)變楔模型［11］假設(shè)樁前楔體范圍內(nèi)樁身位移呈線性變化，與實(shí)際樁身位移非線性變化的情況有所出入，會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成一定誤差，并采用非線性位移假設(shè)對(duì)其進(jìn)行修正。在此基礎(chǔ)上，本文假設(shè)樁身位移在楔體范圍內(nèi)呈非線性變化，并引入鄧肯-張模型［14］描述土體應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)，以便后文考慮土體循環(huán)弱化特性，對(duì)應(yīng)變楔模型進(jìn)行改進(jìn)，如圖2所示。為計(jì)算方便，結(jié)合有限差分法，將樁體與楔形體進(jìn)行均勻離散，離散長(zhǎng)度為h，埋深段樁長(zhǎng)為L(zhǎng)，其范圍內(nèi)樁體與土體離散層數(shù)為mL＝L／h，楔形體內(nèi)樁體及土層離散層數(shù)為mH＝H／h。依據(jù)差分原理、鄧肯-張模型及土體應(yīng)變莫爾圓原理［11］，任一荷載作用下楔內(nèi)離散點(diǎn)i處樁身位移yi、樁段i的轉(zhuǎn)角δi，與對(duì)應(yīng)土層i的摩擦角發(fā)揮值φmi、水平增應(yīng)力Δσhi、應(yīng)變?chǔ)舏的關(guān)系分別為

圖2 改進(jìn)的應(yīng)變楔模型及樁身差分化［13］Fig.2 Modified SW model and discretion of pile［13］

式中：νi為土體泊松比；Eini為初始加載模量，Eini＝KePa（σ′vi／Pa）n；Pa＝101 kPa，為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；Ke，n，Rf為計(jì)算參數(shù)，與砂土密實(shí)度有關(guān)［15］；Δσhfi為極限水平應(yīng)力增量，對(duì)應(yīng)于三軸試驗(yàn)靜偏應(yīng)力破壞強(qiáng)度σsfi，計(jì)算式為

根據(jù)土體應(yīng)力發(fā)揮水平，內(nèi)摩擦角發(fā)揮值φmi可由式（7）確定，

利用改進(jìn)應(yīng)變楔模型求解樁身靜力水平荷載響應(yīng)的流程圖如圖3所示，據(jù)此可以確定水平荷載P0作用下不同埋深處樁側(cè)土的應(yīng)力應(yīng)變水平。求解過程需結(jié)合彈性地基梁法進(jìn)行迭代求解，水平荷載作用下樁段i的撓曲方程為

式中：EI為樁身抗彎剛度；ki為地基反力模量。對(duì)于彈性長(zhǎng)樁，楔形體內(nèi)ki＝2pi／（yi－1＋yi），楔形體以下區(qū)域ki＝ηhzi，其中ηh為地基反力系數(shù)，其取值可參考文獻(xiàn)［16］。

根據(jù)差分式與微分式的關(guān)系，可將各樁身所有離散樁段的式（9）轉(zhuǎn)化為差分方程組

式中：［K］為（mL ＋1）×（mL ＋1）階剛度矩陣；［Y］與［P］分別為mL ＋1階樁身水平位移矩陣與水平荷載矩陣。

通過求解式（10）得到樁身位移矩陣［Y］，具體計(jì)算方法參考文獻(xiàn)［17］。圖3中初值矩陣［Y0］可按式［K0］［Y0］＝［P］計(jì)算，其中［K0］可按m法［16］確定。

圖3 改進(jìn)應(yīng)變楔模型計(jì)算流程圖Fig.3 Flow chart for procedure ofmodified SW model

1.2 剛度衰減模型

水平靜力荷載作用下，應(yīng)變楔模型中土體受力狀態(tài)類似于靜力三軸試驗(yàn)。由于海上樁基所承受的長(zhǎng)期循環(huán)荷載頻率一般較低，因此對(duì)于砂土地基，此時(shí)樁側(cè)土體受力狀態(tài)類似于不排水循環(huán)三軸壓縮試驗(yàn)（豎向應(yīng)力′相當(dāng)于試驗(yàn)圍壓，水平應(yīng)力增量Δσh相當(dāng)于循環(huán)偏應(yīng)力σcyc）。如圖4所示，在砂土不排水循環(huán)三軸試驗(yàn)中，隨著循環(huán)應(yīng)力作用次數(shù)N增加，累積塑性應(yīng)變不斷增加，砂土割線剛度EsN不斷減小，這將會(huì)導(dǎo)致樁基位移增大、承載力不斷弱化。采用合理的方法描述與EsN隨循環(huán)次數(shù)N的變化過程，對(duì)于研究循環(huán)荷載作用下樁基性狀至關(guān)重要。許多學(xué)者基于循環(huán)三軸試驗(yàn)結(jié)果對(duì)-N試驗(yàn)曲線進(jìn)行擬合，采用實(shí)用經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式描述累積塑性應(yīng)變的增長(zhǎng)過程，并在實(shí)際工程中得到了廣泛應(yīng)用。其中Huurman［18］引入2個(gè)砂土循環(huán)參數(shù)b1、b2近似描述砂土累積塑性應(yīng)變的發(fā)展過程，

圖4 循環(huán)荷載作用下砂土割線剛度的衰減Fig.4 Degradation of sand secantmodulus under cyclic loading

Xc反映了循環(huán)應(yīng)力幅值對(duì)砂土循環(huán)特性的影響，因此本文基于上述經(jīng)驗(yàn)公式，結(jié)合圖4，當(dāng)不考慮彈性應(yīng)變時(shí)，采用下式計(jì)算砂土弱化割線剛度EsN，

式中：Es1為第一次循環(huán)應(yīng)力作用下的割線剛度。KUO Y S［8］通過對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)砂土循環(huán)三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到b1，b2的取值分別為：緊密砂土，b1＝0.2，b2＝5.76；中密砂土，b1＝0.16，b2＝0.38。

1.3 循環(huán)荷載作用下樁基側(cè)向位移計(jì)算過程

對(duì)于荷載幅值為Pmax、作用次數(shù)為N的單向水平恒幅荷載循環(huán)作用下的樁基，可利用上述改進(jìn)應(yīng)變楔模型與剛度衰減經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式確定其側(cè)向位移響應(yīng)。首先基于擬靜力法的思想，采用改進(jìn)靜力應(yīng)變楔模型計(jì)算循環(huán)荷載幅值Pmax作用下樁側(cè)土體應(yīng)力沿地基埋深的分布規(guī)律。試驗(yàn)研究［9］表明，單向循環(huán)荷載作用下樁側(cè)土體應(yīng)力呈半正弦規(guī)律變化，且有限元計(jì)算結(jié)果［6-7］也驗(yàn)證了將第一次循環(huán)荷載幅值作用下的應(yīng)力水平作為循環(huán)應(yīng)力水平的可靠性。因此，以上述靜力應(yīng)變楔計(jì)算得到的應(yīng)力狀況確定樁側(cè)土循環(huán)應(yīng)力比分布，然后根據(jù)剛度衰減經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算N次循環(huán)荷載作用后樁側(cè)土的衰減剛度，最后將其引入應(yīng)變楔模型，對(duì)樁基位移響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，具體計(jì)算步驟如下。

（1）確定樁側(cè)土循環(huán)應(yīng)力比。令P0＝Pmax，輸入樁基和土體參數(shù)，代入流程圖3，基于改進(jìn)應(yīng)變楔模型對(duì)荷載峰值Pmax作用下的樁基水平響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，得到樁側(cè)不同深度離散層土體水平應(yīng)力增量Δσhi和水平應(yīng)變?chǔ)舏。令σcyci＝Δσhi，將Δσhi視為循環(huán)偏應(yīng)力幅值，利用式（6）計(jì)算各離散點(diǎn)土體靜偏應(yīng)力強(qiáng)度σsfi，進(jìn)而確定相應(yīng)的循環(huán)應(yīng)力比Xci＝σcyci／σsfi。令，將εi視為循環(huán)應(yīng)力第一次作用下的土體應(yīng)變。

（2）計(jì)算樁側(cè)土累積應(yīng)變和衰減剛度。將樁側(cè)各離散土層的循環(huán)應(yīng)力比Xci代入式（12），計(jì)算N次循環(huán)荷載作用后所有土體離散點(diǎn)的衰減剛度EsNi和累積塑性應(yīng)變其中Es1i＝可根據(jù)鄧肯-張模型計(jì)算，

其中：Euri為加卸載彈性模量，為Eini的1～3倍［14］。

（3）確定第N次加載過程中土體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。如圖5所示，與靜力應(yīng)變楔模型中的土體應(yīng)力加載過程不同，由于樁側(cè)土體存在累積塑性應(yīng)變，土體剛度發(fā)生衰減，則樁側(cè)土在第N次加載過程中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可近似為，

圖5 第N次加載過程中土體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.5 Relations of stress-strain of the soils during the N th loading process

（4）對(duì)靜力應(yīng)變楔模型進(jìn)行修正。令P0＝Pmax，用式（14）代替式（5），代入應(yīng)變楔模型計(jì)算過程（圖3）中，考慮循環(huán)荷載對(duì)樁側(cè)土體的影響，計(jì)算得到水平循環(huán)荷載作用下樁身側(cè)向位移響應(yīng)。據(jù)此本文編制了相應(yīng)的MATLAB計(jì)算程序?qū)ζ溥M(jìn)行求解。

2 算例驗(yàn)證與分析

P.Peralta等［19］開展了管樁在不同循環(huán)荷載水平作用下的室內(nèi)模型試驗(yàn)。模型試驗(yàn)中，樁體材料為高密度乙烯，樁徑D＝63 mm，壁厚度為1.8 mm，嵌入地基深度L＝300 mm，抗彎剛度EI＝0.162 kN·m2。土體采用級(jí)配均勻的中密干砂，相對(duì)密實(shí)度為40%，不均勻系數(shù)為1.5，曲率系數(shù)為1，重度為14.79 kg／m3，孔隙比為0.764。模型樁的極限承載力Pu約為50 N。文獻(xiàn)［19］采用單向加載進(jìn)行循環(huán)荷載峰值分別為0.5Pu，0.45Pu，0.4Pu及0.2Pu的4組循環(huán)加載試驗(yàn)，采用本文簡(jiǎn)化分析方法計(jì)算循環(huán)荷載作用下樁基水平響應(yīng)，本文所采用的計(jì)算參數(shù)如表1所示。經(jīng)計(jì)算，模型樁相對(duì)樁長(zhǎng)L／LT＝3，其中LT＝（EI／ηh）0.2，為相對(duì)剛度，屬于中短長(zhǎng)樁［16］。據(jù)此確定計(jì)算過程中應(yīng)變楔深度與樁身第一位移零點(diǎn)關(guān)系為H＝0.9Z0。剛度衰減公式中的參數(shù)取值依據(jù)文獻(xiàn)［8］，取b1＝0.16，b2＝0.38，在實(shí)際工程時(shí)，應(yīng)采取原狀土進(jìn)行室內(nèi)循環(huán)三軸試驗(yàn)，擬合得到剛度衰減公式中的參數(shù)，然后代入應(yīng)變楔模型進(jìn)行相關(guān)工程問題的分析。

表1 土體理論計(jì)算參數(shù)Tab.1 Theoretically computed parameters of soil

將本文計(jì)算結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，不同荷載條件作用下樁頭水平位移隨循環(huán)次數(shù)的發(fā)展如圖6所示，可以看出，當(dāng)Pmax＝0.6Pu及Pmax＝0.2Pu時(shí)，本文提出的簡(jiǎn)化分析方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果較為吻合，雖然Pmax＝0.5Pu及Pmax＝0.4Pu時(shí)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果略有差別，但位移發(fā)展規(guī)律基本一致，誤差在可接受范圍內(nèi)。結(jié)果表明本文方法可以較為準(zhǔn)確快捷地計(jì)算樁基在長(zhǎng)期循環(huán)荷載作用下的側(cè)向位移響應(yīng)結(jié)果，進(jìn)一步說明本文方法的有效性與準(zhǔn)確性。此外，p-y曲線法［2］將地基土反力進(jìn)行折減以考慮循環(huán)荷載作用下地基土體弱化的影響，據(jù)此本文還在圖6中給出了p-y曲線法的計(jì)算結(jié)果。由圖6可知，不同荷載幅值下p-y曲線法計(jì)算得到的位移結(jié)果為一定值，相較于初次加載情況下位移有一定幅度增加，一定程度上反映了樁側(cè)土的弱化，但計(jì)算位移與實(shí)測(cè)結(jié)果及本文計(jì)算結(jié)果相比，不能反映出循環(huán)荷載作用次數(shù)的影響。

圖6 不同方法計(jì)算結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig.6 Comparisons between calculation results of differentmethods and model tests

圖7為樁基分別在Pmax＝0.45Pu與Pmax＝0.2Pu荷載作用下樁身水平位移分布隨循環(huán)荷載作用次數(shù)的發(fā)展情況。隨著循環(huán)次數(shù)增加，樁身水平位移不斷發(fā)展。當(dāng)Pmax＝0.2Pu時(shí)，循環(huán)荷載幅值較小，樁身各處側(cè)向位移隨循環(huán)次數(shù)的增大而增大，當(dāng)N＝7 000或10 000時(shí)，樁身位移基本保持一致，趨于穩(wěn)定。當(dāng)Pmax＝0.45Pu時(shí)，荷載幅值較大，樁身各處位移在較大次數(shù)循環(huán)后不再保持穩(wěn)定，而是不斷增長(zhǎng)，說明循環(huán)荷載幅值大小和循環(huán)次數(shù)均對(duì)樁身位移響應(yīng)影響較大，圖6也揭示了這一現(xiàn)象。一般情況下，樁身泥面處位移極限值應(yīng)當(dāng)不超過樁徑的20%，若以此為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，當(dāng)Pmax＝0.27Pu時(shí)，10 000次循環(huán)后泥面位移約達(dá)到0.2D，因此對(duì)于本例，循環(huán)荷載幅值極限值應(yīng)當(dāng)不超過樁基靜極限承載能力的27%。由此可見，循環(huán)荷載作用下，樁基水平承載能力存在較大程度的弱化，在循環(huán)受荷樁的設(shè)計(jì)階段，應(yīng)更加注意荷載幅值的大小，保證樁基穩(wěn)定性。

圖7 不同循環(huán)次數(shù)作用下樁身位移分布Fig.7 Lateral deformation distributions of pile under different cycles

3 結(jié)論

（1）本文簡(jiǎn)化分析結(jié)果與室內(nèi)模型試驗(yàn)結(jié)果吻合程度較好，表明本文方法能夠真實(shí)反映樁基礎(chǔ)在水平循環(huán)荷載作用期間側(cè)向位移發(fā)展情況。

（2）循環(huán)荷載幅值較小時(shí)，樁身各處側(cè)向位移的發(fā)展隨循環(huán)次數(shù)增大而趨于穩(wěn)定；當(dāng)循環(huán)荷載幅值較大時(shí)，側(cè)向位移不斷增長(zhǎng)，且不再保持穩(wěn)定。

（3）循環(huán)荷載作用下，樁基水平承載能力將出現(xiàn)較大程度的弱化，樁基設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該考慮荷載幅值大小，避免側(cè)向位移過大。

本文方法相比于有限元法在計(jì)算上較為簡(jiǎn)單，無需建立復(fù)雜的有限元模型。較p-y曲線法能更有效地反映樁側(cè)土體弱化程度，且能夠考慮循環(huán)荷載作用次數(shù)的影響。本文研究目前僅限適用于單向恒幅循環(huán)荷載條件，對(duì)于變幅循環(huán)荷載條件下樁基性狀的計(jì)算仍需進(jìn)一步研究，以便為實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供參考。