基于機(jī)器學(xué)習(xí)的可轉(zhuǎn)債定價(jià)與實(shí)證分析研究

牛曉健 巴雄

摘要：可轉(zhuǎn)換債券作為一種兼具債券和股票特征的金融產(chǎn)品，已成為資本市場(chǎng)重要的融資工具和廣大投資者青睞的資產(chǎn)配置工具。由于國內(nèi)可轉(zhuǎn)債的附加條款及內(nèi)含期權(quán)復(fù)雜，常用的Black-Scholes公式嚴(yán)格的前提假設(shè)往往造成定價(jià)結(jié)果偏差較大。經(jīng)實(shí)證發(fā)現(xiàn)，以31個(gè)可轉(zhuǎn)債因子作為解釋變量，通過支持向量回歸能很好地?cái)M合可轉(zhuǎn)債價(jià)格。

關(guān)鍵詞：可轉(zhuǎn)債定價(jià);Black-Scholes模型;機(jī)器學(xué)習(xí);支持向量回歸

中圖分類號(hào)：F832 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009 - 5381（2021）05 - 0058- 14

收稿日期：2021 - 08 - 02

基金項(xiàng)目：本文系國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“流動(dòng)性壓力、信息交互與價(jià)格聯(lián)動(dòng)——基于中國股票和債券市場(chǎng)多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的風(fēng)險(xiǎn)交叉

傳播機(jī)制與控制修復(fù)策略研究”（項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)：71873039，71573051）階段性研究成果。

作者簡(jiǎn)介：牛曉健，男，新疆阿克蘇人，復(fù)旦大學(xué)國際金融系教授。研究方向：量化投資。

巴雄，男，江西九江人，復(fù)旦大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院金融碩士研究生。研究方向：量化投資。

一、引言

可轉(zhuǎn)換公司債券（以下簡(jiǎn)稱可轉(zhuǎn)債）是指持有者可在規(guī)定時(shí)間內(nèi)按照轉(zhuǎn)股價(jià)轉(zhuǎn)換為公司股票的債券，或者可以直接持有到期等待發(fā)行人還本付息。可轉(zhuǎn)債最早出現(xiàn)在美國金融市場(chǎng)，由于兼具債券價(jià)值的保底和復(fù)雜期權(quán)的波動(dòng)機(jī)會(huì)，可轉(zhuǎn)債在發(fā)達(dá)的金融市場(chǎng)發(fā)展迅速。中國的可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)起步較晚，發(fā)展歷程大致可以分為幾個(gè)階段： 第一個(gè)階段是21世紀(jì)之前。1993年，國內(nèi)可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)迎來了首個(gè)可轉(zhuǎn)債標(biāo)的——由中國寶安集團(tuán)發(fā)行的寶安轉(zhuǎn)債，發(fā)行規(guī)模為5個(gè)億。1997年，國務(wù)院證券委員會(huì)發(fā)布《可轉(zhuǎn)換公司債券管理暫行辦法》，這個(gè)階段是我國對(duì)可轉(zhuǎn)債的初步探索。第二個(gè)階段是2000-2004年。這期間相繼迎來了《上市公司發(fā)行可轉(zhuǎn)換債券的實(shí)施辦法》《關(guān)于做好上市公司可轉(zhuǎn)換債券發(fā)行工作的通知》兩大規(guī)范政策，市場(chǎng)上的可轉(zhuǎn)債標(biāo)的數(shù)量達(dá)到兩位數(shù)，可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)異軍突起。第三個(gè)階段是2005-2016年。這期間我國可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)經(jīng)歷了2005年的股權(quán)分置改革的一級(jí)市場(chǎng)停滯，隨后又逐漸恢復(fù)繁榮。在2015年股災(zāi)期間，出現(xiàn)大幅贖回及發(fā)行停滯的現(xiàn)象，可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)大起大落，規(guī)模尚小。第四個(gè)階段是2017年至今。2017年，國家進(jìn)一步嚴(yán)格股票定向增發(fā)的要求，可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)諸多利好政策出現(xiàn)，可轉(zhuǎn)債發(fā)行數(shù)量和發(fā)行規(guī)模大幅增加。近些年來，為解決中國再融資的結(jié)構(gòu)失衡，監(jiān)管層進(jìn)一步完善了可轉(zhuǎn)債、可交換債的發(fā)行方式，為可轉(zhuǎn)債等再融資產(chǎn)品創(chuàng)造了良好的發(fā)展條件。

從圖1可以清晰看出2000年至今可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)的變化，即隨著我國可轉(zhuǎn)債發(fā)行數(shù)量的增加，可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)發(fā)行規(guī)模逐漸增加。其中，2019年發(fā)行規(guī)模2657億，2020年發(fā)行規(guī)模2736億，2020年發(fā)行數(shù)量210只。與此同時(shí)，可轉(zhuǎn)債存量達(dá)5434億。截至2021年3月19日，可轉(zhuǎn)債數(shù)量達(dá)374只。

圖1? 2000-2020年中國可轉(zhuǎn)債的發(fā)行情況

無論是從可轉(zhuǎn)債發(fā)行數(shù)量還是從發(fā)行規(guī)模來看，可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)都已經(jīng)進(jìn)入快速發(fā)展階段，但由于可轉(zhuǎn)債條款設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，加上投資者知識(shí)匱乏，導(dǎo)致可轉(zhuǎn)債暴漲暴跌及可轉(zhuǎn)債折價(jià)現(xiàn)象頻發(fā)，不利于我國可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)的健康發(fā)展。因此，解決可轉(zhuǎn)債定價(jià)效率低的問題成為重中之重。一方面，合理的定價(jià)體系可以讓發(fā)行人有效地發(fā)行可轉(zhuǎn)債，制定內(nèi)含的各種條款，尋找最優(yōu)的融資方式;另一方面，正確的定價(jià)體系能幫助投資者準(zhǔn)確地對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)格進(jìn)行估計(jì)，構(gòu)建最優(yōu)的投資組合?？赊D(zhuǎn)債定價(jià)方法的探索不僅要借鑒國外經(jīng)典的可轉(zhuǎn)債定價(jià)思想，更要從我國可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)的特點(diǎn)出發(fā)，與時(shí)俱進(jìn)，嘗試從更多歷史數(shù)據(jù)中挖掘?qū)赊D(zhuǎn)債價(jià)格具有解釋力的信息。目前機(jī)器學(xué)習(xí)方法在國內(nèi)金融市場(chǎng)中已有較多應(yīng)用，且隨著可轉(zhuǎn)換債券投資性價(jià)比逐步提升，機(jī)器學(xué)習(xí)模型在可轉(zhuǎn)債定價(jià)領(lǐng)域更具可行性。

二、文獻(xiàn)綜述

（一）國外可轉(zhuǎn)債定價(jià)方法綜述

國外對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)的研究首次出現(xiàn)于1968年[1]，Weil以及后來的Baumol and Malkiel 等對(duì)可轉(zhuǎn)債的價(jià)格屬性展開討論，將可轉(zhuǎn)債的價(jià)格等價(jià)為未來選擇轉(zhuǎn)股后的股權(quán)價(jià)值，以及作為信用債持有到期的價(jià)值兩部分并進(jìn)行貼現(xiàn)，取較高者作為當(dāng)前轉(zhuǎn)債的合理定價(jià)。

其中BC為轉(zhuǎn)債價(jià)值，B為未來時(shí)點(diǎn)的信用債價(jià)值，S為未來時(shí)點(diǎn)的選擇轉(zhuǎn)股獲得的股權(quán)價(jià)值，r為折現(xiàn)率，t為未來時(shí)點(diǎn)距離當(dāng)前的時(shí)間。

1970年，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的誕生使可轉(zhuǎn)債的相關(guān)研究開啟了新的篇章，模型認(rèn)為可轉(zhuǎn)債價(jià)值包含了公司債券和若干份股票期權(quán)兩種金融工具的價(jià)值。B指的是可轉(zhuǎn)債的純債價(jià)值，OP是轉(zhuǎn)股期權(quán)的價(jià)值，B為每期現(xiàn)金流貼現(xiàn)之和，其中為每期現(xiàn)金流，為信用價(jià)差，為無風(fēng)險(xiǎn)利率。OP由Black-Scholes公式算得，其中K為轉(zhuǎn)股價(jià)格，股價(jià)歷史波動(dòng)率為δ，可轉(zhuǎn)債期限為T：

Brennan and Schwartz[2]認(rèn)為，可轉(zhuǎn)債價(jià)值只由服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的公司市場(chǎng)價(jià)值決定，從而基于Black-Scholes公式和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)思想，推導(dǎo)出偏微分方程，結(jié)合最優(yōu)贖回策略和最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略確定微分方程的邊界條件求解。Ho and Pfeffer[3]在定價(jià)中引入了利率的波動(dòng)。Goldman Sachs[4]首次將可轉(zhuǎn)債的信用風(fēng)險(xiǎn)引入定價(jià)模型，綜合股價(jià)的波動(dòng)與信用風(fēng)險(xiǎn)的調(diào)整給出可轉(zhuǎn)債定價(jià)方法。Longstaff and Schwartz[5]提出了最小二乘蒙特卡羅模擬法（Least Squares Monte Carlo Simulation，簡(jiǎn)稱LSM），該方法假設(shè)正股未來波動(dòng)符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，在模擬生成大量可能的正股價(jià)格序列后，便可以采取類似于二叉樹的逆向推導(dǎo)方法，借助最小二乘估計(jì)逐步推算前一期轉(zhuǎn)債的期望持有價(jià)值，最后對(duì)各條模擬路徑的轉(zhuǎn)債估值結(jié)果取平均值，從而得到轉(zhuǎn)債在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)的理論定價(jià)。Dubrov and Bella[6]曾提出強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法可以比蒙特卡洛模擬更好地找到最優(yōu)執(zhí)行策略，基于大量的實(shí)證研究和數(shù)值實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)若引入二叉樹的計(jì)算，機(jī)器學(xué)習(xí)模型將更有效。

（二）國內(nèi)可轉(zhuǎn)債定價(jià)方法綜述

自從我國第一只轉(zhuǎn)債（寶安轉(zhuǎn)債）上市后，國內(nèi)開始出現(xiàn)可轉(zhuǎn)債定價(jià)的實(shí)證分析。具有代表性的為鄭振龍教授在2004年提出的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法，通過贖回條款及轉(zhuǎn)換條款確定邊界條件，通過數(shù)值解法解得可轉(zhuǎn)債價(jià)格。鄭振龍、林海[7]率先指出，可轉(zhuǎn)債的定價(jià)復(fù)雜性主要表現(xiàn)在是否執(zhí)行期權(quán)以及何時(shí)執(zhí)行期權(quán)，由此產(chǎn)生的問題可以歸納為：

1.附加條款的期權(quán)為奇異期權(quán)，很難得到其解析解;

2.轉(zhuǎn)股期權(quán)為美式期權(quán)，很難以蒙特卡洛模擬;

3.內(nèi)含期權(quán)多為路徑依賴期權(quán)，難以使用二叉樹和有限差分法等數(shù)值方法。

如圖2所述，可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值由股票價(jià)格和債券價(jià)值決定，假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

可轉(zhuǎn)債視為股票的衍生品，可轉(zhuǎn)債的價(jià)格偏微分方程可表示為：

江良、林鴻熙、林建偉及宋麗平[8]基于隨機(jī)利率模型對(duì)可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)分析，結(jié)果顯示利率的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值具有影響。王茵田、文志瑛[9]基于Tsiveriotisand Fernandes信用風(fēng)險(xiǎn)的定價(jià)模型，發(fā)現(xiàn)考慮修正條款后，模型的精度明顯提高且可轉(zhuǎn)債溢價(jià)現(xiàn)象有所改善。馬林、黃中翔[10]采用偏最小二乘回歸方法，選取了對(duì)可轉(zhuǎn)債具有解釋能力的變量，并分類為轉(zhuǎn)債、正股及指數(shù)類因子，結(jié)合最優(yōu)停時(shí)定理給期權(quán)定價(jià)。程志富、胡昌生[11]構(gòu)建了基于套利限制的可轉(zhuǎn)債交換期權(quán)模型，基于遠(yuǎn)期風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度以及期權(quán)的超復(fù)制方法，并應(yīng)用2015年2月至10月的可轉(zhuǎn)債數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，提升了模型準(zhǔn)確度。沈傳河等[12]基于改進(jìn)的支持向量回歸算法，以鋼釩轉(zhuǎn)債為例，考慮了諸如正股價(jià)格、轉(zhuǎn)股溢價(jià)率等8個(gè)相關(guān)變量，進(jìn)行支持向量回歸SVR訓(xùn)練，并對(duì)203條數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試，發(fā)現(xiàn)支持向量回歸模型的準(zhǔn)確度最好。

以往文獻(xiàn)采納的定價(jià)框架大都基于嚴(yán)格的Black-Scholes公式前提假設(shè)，然而這些假設(shè)是我國金融市場(chǎng)無法滿足的。隨著機(jī)器學(xué)習(xí)模型的流行，機(jī)器學(xué)習(xí)模型的強(qiáng)大擬合能力以及函數(shù)優(yōu)化的特征被慢慢挖掘，加之不斷充實(shí)的數(shù)據(jù)為模型提供了較強(qiáng)的支撐，使得模型精度及穩(wěn)定性進(jìn)一步提升。下文將嘗試用機(jī)器學(xué)習(xí)擬合的方法給可轉(zhuǎn)債定價(jià)。

三、可轉(zhuǎn)債價(jià)格影響因子及有效性檢驗(yàn)

（一）可轉(zhuǎn)債價(jià)格影響因子

如圖3所示，當(dāng)正股股價(jià)較低或平價(jià)小于面值100的狀態(tài)，可轉(zhuǎn)債價(jià)格貼近于債底價(jià)值小幅波動(dòng);當(dāng)正股股價(jià)較高或平價(jià)大于面值100的狀態(tài)，可轉(zhuǎn)債價(jià)格貼近于平價(jià)或者轉(zhuǎn)股價(jià)值波動(dòng)。其中，可轉(zhuǎn)債價(jià)格相對(duì)于債底或平價(jià)的溢價(jià)通常被解釋為轉(zhuǎn)債的估值變動(dòng)。

價(jià)值分解也可以進(jìn)一步用Black-Scholes公式求導(dǎo)來說明，可轉(zhuǎn)債價(jià)值CB同時(shí)由債底B、正股S及估值Vol驅(qū)動(dòng)。在我國，還由可轉(zhuǎn)債的自身特有屬性決定（如附加條款等）。

我國可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)的波動(dòng)更多由可轉(zhuǎn)換債券對(duì)應(yīng)正股的價(jià)值主導(dǎo)。對(duì)比2007年1月至2020年12月間中證轉(zhuǎn)債指數(shù)和滬深300指數(shù)凈值曲線，兩者波動(dòng)方向基本一致，說明轉(zhuǎn)債漲幅主要依賴于對(duì)應(yīng)正股的驅(qū)動(dòng)力，見圖4。

在我國轉(zhuǎn)債市場(chǎng)內(nèi)，由于幾乎無法低成本對(duì)沖，可轉(zhuǎn)債的價(jià)值根本在于正股，轉(zhuǎn)債大多以轉(zhuǎn)股的方式退出轉(zhuǎn)債市場(chǎng)。此外，雖然債底價(jià)值占據(jù)大部分的比例，但帶來的波動(dòng)卻是股遠(yuǎn)大于債。因此，正股類驅(qū)動(dòng)力實(shí)證部分重點(diǎn)關(guān)注轉(zhuǎn)債對(duì)應(yīng)正股的營收能力、盈利能力、現(xiàn)金流情況及資產(chǎn)負(fù)債結(jié)構(gòu)，同時(shí)也應(yīng)綜合考慮對(duì)應(yīng)正股的規(guī)模、估值及所處的行業(yè)等因素。

債底價(jià)值在可轉(zhuǎn)債價(jià)值中占比較大，但純債價(jià)值的波動(dòng)對(duì)于可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響較小。一是國內(nèi)可轉(zhuǎn)債的面值接近純債價(jià)值;二是若債底價(jià)值因出現(xiàn)了利好而明顯上升，機(jī)會(huì)成本增加，投資者不會(huì)因此去投資可轉(zhuǎn)債。

本文從債底價(jià)值計(jì)算公式出發(fā)，考慮票面利率、債券面值、貼現(xiàn)率、補(bǔ)償利率及現(xiàn)金流貼現(xiàn)率，應(yīng)用可轉(zhuǎn)債評(píng)級(jí)對(duì)應(yīng)同時(shí)期中債企業(yè)債收益率作為分母的現(xiàn)金流貼現(xiàn)率。

轉(zhuǎn)債價(jià)格相對(duì)于其債底價(jià)值和轉(zhuǎn)股價(jià)值的溢價(jià)被投資者稱為可轉(zhuǎn)債的估值，實(shí)際投資中常用純債溢價(jià)率和轉(zhuǎn)股溢價(jià)率來衡量。估值指標(biāo)大小也決定了可轉(zhuǎn)債是偏股性還是偏債性。本文采取轉(zhuǎn)股溢價(jià)率及純債溢價(jià)率兩類指標(biāo)分別衡量轉(zhuǎn)債的股性和債性。

自身屬性和附加條款類因子，主要考慮可轉(zhuǎn)債是否進(jìn)入了贖回、回售期，這點(diǎn)可從公司發(fā)布的強(qiáng)制贖回或強(qiáng)制回售公告中獲取，是否進(jìn)入了下修期能從可轉(zhuǎn)債規(guī)定的轉(zhuǎn)股價(jià)格來反映。自身屬性主要從債性評(píng)級(jí)、中簽率、所處生命周期等因子來考慮。

本文從可轉(zhuǎn)債的正股影響因素、債底計(jì)算公式、估值因子及附加條款歸納總結(jié)了對(duì)轉(zhuǎn)債價(jià)格有解釋力的31個(gè)因子，如表1所示。經(jīng)過因子數(shù)據(jù)的去極值及標(biāo)準(zhǔn)化處理后，對(duì)因子進(jìn)行分層回測(cè)檢驗(yàn)。各部分因子在后續(xù)實(shí)證過程中都統(tǒng)一為日頻，未更新的日期采用最新的數(shù)據(jù)填充。數(shù)據(jù)均可從Wind獲得，缺失率不高，因子覆蓋度較好。

（二）因子分層回測(cè)及檢驗(yàn)

分層檢驗(yàn)常用于股票多因子策略中因子有效性的檢驗(yàn)部分，目的是通過在每一個(gè)橫截面將不同因子的截面數(shù)據(jù)進(jìn)行分層。如果不同層因子的表現(xiàn)有顯著區(qū)別，則證明該因子對(duì)轉(zhuǎn)債的收益率具有解釋力度。具體操作步驟如下：

1.選取2019年1月-2020年11月期間有交易數(shù)據(jù)的可轉(zhuǎn)債標(biāo)的，一共85只可轉(zhuǎn)債標(biāo)的和433個(gè)交易日數(shù)據(jù);

2.因子每一周按數(shù)值從小到大排列分成五層，在這一周內(nèi)分別持有排列在每一層的轉(zhuǎn)債，設(shè)置交易費(fèi)用萬分之三，下一周按此規(guī)則換倉;

3.在區(qū)間內(nèi)每周換手一次，最后得到每層的一個(gè)收益率序列，并畫出每層轉(zhuǎn)債的累積收益率曲線。

需要說明的是，因子的表現(xiàn)可能在某些時(shí)段分層效果較好，有些時(shí)段分層不顯著。該現(xiàn)象可能由可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)風(fēng)格變動(dòng)等原因?qū)е?，我們認(rèn)為這類因子對(duì)價(jià)格仍具有一定解釋力度。另外，由于截面數(shù)據(jù)量較少，容易出現(xiàn)單層數(shù)據(jù)少，可能給分層結(jié)果帶來偏差。

如圖5所示，轉(zhuǎn)股溢價(jià)率因子在測(cè)試區(qū)間段內(nèi)分層效果較明顯，反映出轉(zhuǎn)股溢價(jià)率是一個(gè)不錯(cuò)的估值因子，回測(cè)區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)較好的單調(diào)性。低轉(zhuǎn)股溢價(jià)率的轉(zhuǎn)債累積收益率越高，一定程度上印證了可轉(zhuǎn)債的低價(jià)格低溢價(jià)率策略，即“雙低”策略在我國轉(zhuǎn)債市場(chǎng)投資中表現(xiàn)較好。

圖6中，隱含波動(dòng)率因子分層效果較為理想，意味著通過隱含波動(dòng)率來挑選可轉(zhuǎn)債，長(zhǎng)期看來具有一定的穩(wěn)定性和正向收益。隱含波動(dòng)率的單調(diào)性表現(xiàn)較好。

圖7中，可轉(zhuǎn)債的債項(xiàng)評(píng)級(jí)效果也較好，高評(píng)級(jí)債券累計(jì)收益率波動(dòng)更小，收益也相對(duì)較低。相對(duì)來說，低評(píng)級(jí)債券展現(xiàn)出更大的波動(dòng)，也有更高的收益。這是因?yàn)榈驮u(píng)級(jí)債券的正股雖然市值小，但彈性更大，且低評(píng)級(jí)的轉(zhuǎn)債規(guī)模也相對(duì)更小，更容易出現(xiàn)彈性更大的情況，所以在2019年和2020年大盤環(huán)境好的時(shí)候，容易出現(xiàn)價(jià)格迅速上升的現(xiàn)象。

圖8中，可轉(zhuǎn)債的對(duì)應(yīng)正股股價(jià)日波動(dòng)率分層明顯且單調(diào)性較好，表明正股波動(dòng)率越大，可轉(zhuǎn)債累積收益越高，這在2020年表現(xiàn)尤為明顯。這也印證了波動(dòng)率越高、可轉(zhuǎn)債的內(nèi)含期權(quán)價(jià)值就越大、可轉(zhuǎn)債價(jià)值越高的這一規(guī)律

四、機(jī)器學(xué)習(xí)介紹及支持向量機(jī)理論

（一）機(jī)器學(xué)習(xí)模型定價(jià)優(yōu)勢(shì)

從可獲取的可轉(zhuǎn)債歷史數(shù)據(jù)的寬度及深度、定價(jià)模型的優(yōu)劣及模型的假設(shè)條件來看，應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)模型的優(yōu)勢(shì)在于：

1. 我國的可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)在存量和增量上，目前均有足夠歷史數(shù)據(jù)支持機(jī)器學(xué)習(xí)模型的訓(xùn)練和驗(yàn)證。同時(shí)，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)理論的不斷深化應(yīng)用，國內(nèi)外開始出現(xiàn)基于復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型給轉(zhuǎn)債定價(jià)的實(shí)證分析。未來我國可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)有效性有望增強(qiáng)，一些轉(zhuǎn)債交易亂象產(chǎn)生的數(shù)據(jù)噪聲也將逐漸變少。

2. 現(xiàn)有的可轉(zhuǎn)債定價(jià)理論大多基于Black-Scholes框架，考慮的因素多為Black-Scholes公式中的影響因素，比如股價(jià)、波動(dòng)率、利率及執(zhí)行價(jià)格（轉(zhuǎn)股價(jià)格），未考慮估值因子（轉(zhuǎn)股溢價(jià)率等）和正股的基本面表現(xiàn)。

3. 我國金融市場(chǎng)不滿足Black-Scholes理論中股價(jià)符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)以及期權(quán)可對(duì)沖復(fù)制的兩點(diǎn)假設(shè)，且市場(chǎng)賣空機(jī)制還有待完善，造成Black-Scholes定價(jià)結(jié)果的偏差。相比之下，支持向量機(jī)回歸模型不需要局限于這些假設(shè)，更多的是通過對(duì)輸入的解釋變量和被解釋變量關(guān)系的訓(xùn)練，找出之間的函數(shù)關(guān)系。不可忽略的是，通過支持向量機(jī)回歸（SVR）模型難以計(jì)算出衡量可轉(zhuǎn)債內(nèi)含期權(quán)的敏感性的字母，而這正是Black-Scholes模型的理論優(yōu)勢(shì)所在。

（二）支持向量機(jī)理論

支持向量機(jī)SVM（Support Vector Machine）是一個(gè)數(shù)學(xué)理論嚴(yán)格完備的模型，可以用來解決分類問題（Support Vector Classify）和回歸問題（Support Vector Regression）。支持向量機(jī)有較高的擬合準(zhǔn)確率，在非線性、小樣本及高維模式方面都具有比較明顯的優(yōu)勢(shì)，常用來解決非線性分類問題及回歸問題，通過改變核函數(shù)及其參數(shù)可以調(diào)試不同的預(yù)測(cè)效果，是目前應(yīng)用最廣泛的機(jī)器學(xué)習(xí)方法之一。本文主要介紹實(shí)證過程中涉及的支持向量機(jī)回歸的思想及解法。

機(jī)器學(xué)習(xí)模型與普通最小二乘線性回歸方法最大的區(qū)別就是損失函數(shù)。只有在輸出結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)之間的差距超過一定值ε時(shí)，機(jī)器學(xué)習(xí)模型才會(huì)計(jì)算損失，并給予對(duì)應(yīng)的懲罰系數(shù)。

如圖9所示，如果訓(xùn)練樣本的輸出結(jié)果滿足時(shí)，是實(shí)際結(jié)果，則認(rèn)為輸出結(jié)果沒有損失;如果訓(xùn)練樣本的輸出結(jié)果滿時(shí)，則需要計(jì)算模型的損失并給予懲罰。進(jìn)而，支持向量機(jī)回歸問題可表示為如下優(yōu)化問題：

其中，損失函數(shù)前的系數(shù)C被稱為正則化常數(shù)，當(dāng)模型訓(xùn)練時(shí)結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)差距較大，則需要通過懲罰機(jī)制使模型訓(xùn)練結(jié)果趨于起初設(shè)定的目標(biāo)。C也為懲罰系數(shù)，是不敏感損失函數(shù)，表達(dá)式如下：

損失函數(shù)的理解亦可直觀表示為圖10。

在損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，引入松弛變量和，且將落在左右兩側(cè)的松弛程度設(shè)置不一樣，支持向量回歸問題可表示為：

然后，引入拉格朗日乘子，得到上式的拉格朗日函數(shù)：

令對(duì)偏導(dǎo)數(shù)為零，并結(jié)合，可得：

此問題下KKT條件如下：

由上式得，當(dāng)且僅當(dāng)為0，可不為0。已知約束條件與不能同時(shí)為0，所以，至少有一個(gè)為0。

將偏導(dǎo)數(shù)為零的條件之一，代入可得SVR解形式如下：

使的樣本即為支持向量回歸的支持向量，該樣本必落在ε間隔帶外即，由KKT條件可求出，則由下式可求b，一般都會(huì)取多個(gè)滿足的樣本，得到b的平均值。

另外，可以將上述解寫成特征映射形式，即可將SVR的解析解如下式，為核函數(shù)。

五、可轉(zhuǎn)債定價(jià)實(shí)證

（一） 數(shù)據(jù)獲取處理

數(shù)據(jù)來源：本文實(shí)證所需的所有數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)債價(jià)格序列及轉(zhuǎn)債因子數(shù)據(jù)都來自Wind金融終端及Tushare Pro平臺(tái)。

數(shù)據(jù)時(shí)間段選?。罕疚倪x取2015年1月1日至2020年12月31日間所有交易數(shù)據(jù)不為空的轉(zhuǎn)債標(biāo)的，一共383只轉(zhuǎn)債，包括中途退市轉(zhuǎn)債。價(jià)格序列是該時(shí)間段的日頻交易數(shù)據(jù)，每個(gè)轉(zhuǎn)債從其上市日期起至2020年12月31日。因子數(shù)據(jù)從價(jià)格序列的時(shí)間點(diǎn)獲取，一共1531個(gè)截面數(shù)據(jù)，根據(jù)前文分析，總共提取四大類因子，31個(gè)基礎(chǔ)因子。

數(shù)據(jù)條拼接及數(shù)據(jù)集劃分：因子數(shù)據(jù)與當(dāng)日的價(jià)格序列對(duì)齊。非日頻的因子及非時(shí)間序列的因子遵循最近原則。日期未公布的數(shù)據(jù)采用日期最近的數(shù)據(jù)填充。在拼接的所有價(jià)格因子數(shù)據(jù)條中，每月隨機(jī)選取一個(gè)交易日的數(shù)據(jù)作為模型的測(cè)試集，并在剩下的數(shù)據(jù)中每周隨機(jī)選取一個(gè)交易日作為模型的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，訓(xùn)練集數(shù)據(jù)與測(cè)試集數(shù)據(jù)不存在相同的數(shù)據(jù)條。

數(shù)據(jù)預(yù)處理：國內(nèi)轉(zhuǎn)債市場(chǎng)頻繁出現(xiàn)暴漲暴跌的現(xiàn)象，以及因子缺失的數(shù)據(jù)條的處理對(duì)實(shí)證結(jié)果都有很大影響。主要步驟如下：

1.轉(zhuǎn)債價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：去除成交量為0的數(shù)據(jù)，成交量為0大多數(shù)是轉(zhuǎn)債遭遇停牌，本文認(rèn)為當(dāng)天價(jià)格并未反映最新的信息，予以剔除。

2.國內(nèi)可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)存在少數(shù)規(guī)模較小的債券，T+0的交易規(guī)則下容易被少數(shù)持有者操縱交易，存在日內(nèi)漲跌幅巨大的標(biāo)的，嚴(yán)重偏離可轉(zhuǎn)債的理論價(jià)值。因此，剔除單日漲跌幅絕對(duì)值超過20%的數(shù)據(jù)條。

3.對(duì)轉(zhuǎn)債因子數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：因子數(shù)據(jù)數(shù)量級(jí)不一致時(shí)，直接輸入模型會(huì)造成模型結(jié)果失效。因此進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即減去均值再除以標(biāo)準(zhǔn)差，方便后續(xù)同一量綱分析。

4.拼接數(shù)據(jù)，處理好價(jià)格數(shù)據(jù)及因子數(shù)據(jù)后，每月隨機(jī)選取一個(gè)交易日的數(shù)據(jù)作為模型的測(cè)試集，并在剩下的數(shù)據(jù)中每周隨機(jī)選取一個(gè)交易日作為模型的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，最終得到訓(xùn)練集數(shù)據(jù)21000條，測(cè)試集數(shù)據(jù)5800條。

（二）Black-Scholes模型實(shí)證結(jié)果

Black-Scholes模型廣泛用于可轉(zhuǎn)債定價(jià)領(lǐng)域，鄭振龍和林海[7]將可轉(zhuǎn)債的贖回條款作為微分方程的上邊界，下修條款作為下邊界，使用蒙特卡洛模擬和顯性有限差分方法進(jìn)行求解，結(jié)果顯示當(dāng)時(shí)我國的可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)價(jià)格都存在低估，并將此歸因于當(dāng)前的市場(chǎng)無效。但Black-Scholes方法并非完全適用于國內(nèi)市場(chǎng)，蔣殿春、張新[13]很早之前指出Black-Scholes公式定價(jià)可轉(zhuǎn)債內(nèi)含期權(quán)是不準(zhǔn)確的，并另外提出二項(xiàng)分布模型對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)，以正股股價(jià)為主要驅(qū)動(dòng)因素，并兼顧各項(xiàng)附加條款對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響，提高了模型定價(jià)的精度。

Black-Scholes模型中分別計(jì)算可轉(zhuǎn)債的純債價(jià)值和轉(zhuǎn)股期權(quán)價(jià)值。純債價(jià)值為可轉(zhuǎn)債的各期現(xiàn)金流貼現(xiàn)值，貼現(xiàn)率使用對(duì)應(yīng)期限對(duì)應(yīng)評(píng)級(jí)中債企業(yè)債到期收益率;轉(zhuǎn)股權(quán)價(jià)值等于內(nèi)含轉(zhuǎn)股期權(quán)的價(jià)值，等于轉(zhuǎn)換為股票的份數(shù)乘以單個(gè)期權(quán)的價(jià)值，單個(gè)期權(quán)是以正股為標(biāo)的資產(chǎn)，轉(zhuǎn)股價(jià)為執(zhí)行價(jià)格的看漲期權(quán)。具體計(jì)算步驟如下：

其中，為可轉(zhuǎn)債現(xiàn)金流，取當(dāng)日日期未來的現(xiàn)金流，即現(xiàn)金流發(fā)生日大于當(dāng)日日期;為純債貼現(xiàn)率，應(yīng)用對(duì)應(yīng)企業(yè)債收益率，這里選用中債指數(shù)收益率;為（現(xiàn)金流發(fā)生日-當(dāng)日日期）/365;

為正股股價(jià)，為轉(zhuǎn)股價(jià)格，為可轉(zhuǎn)債剩余期限，σ為波動(dòng)率，即正股過去一年的歷史波動(dòng)率，無風(fēng)險(xiǎn)利率為，這里采用一年期國債收益率。

Black-Scholes公式是目前運(yùn)行穩(wěn)定性最高的方法，理論意義強(qiáng)，能清晰刻畫出轉(zhuǎn)債價(jià)值的框架，且可以用來計(jì)算轉(zhuǎn)債的瞬時(shí)敏感系數(shù)，但Black-Scholes公式存在將債券與期權(quán)相割裂的缺陷，也無法刻畫回售贖回等諸多復(fù)雜條款。

此部分基于Black-Scholes模型的步驟，應(yīng)用python進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，定義計(jì)算期權(quán)價(jià)值函數(shù)C（S，X，R，T，σ ）和債底價(jià)值函數(shù)C（Ci，R，T），對(duì)經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后的5800條測(cè)試集數(shù)據(jù)的價(jià)格進(jìn)行測(cè)算，并通過計(jì)算以下指標(biāo)觀察Black-Scholes定價(jià)的效果：

1.平均絕對(duì)誤差MAD，模型理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格的誤差的絕對(duì)值的平均數(shù);

2.平均絕對(duì)誤差偏離度，絕對(duì)誤差占市場(chǎng)價(jià)格的比例的平均值;

3.誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，觀察兩序列之間的誤差是否穩(wěn)定，衡量模型是否穩(wěn)定;

4.誤差大于0的比例，衡量Black-Scholes方法是否存在一直高估或者一直低估的狀態(tài)。

Black-Scholes模型定價(jià)結(jié)果如表3所示，定價(jià)結(jié)果與市場(chǎng)價(jià)格誤差的絕對(duì)值平均值為10.26，平均百分比誤差為8.14%，精確度有所欠缺，但模型價(jià)格走勢(shì)方向與市場(chǎng)價(jià)格基本一致。進(jìn)一步來看，百分比誤差的標(biāo)準(zhǔn)差較小，模型誤差較穩(wěn)定，不存在一直明顯高估或者低估的情況。Black-Scholes模型可轉(zhuǎn)債定價(jià)的精度有待提高，穩(wěn)定性表現(xiàn)尚可。

（三）支持向量回歸可轉(zhuǎn)債定價(jià)

SVR可轉(zhuǎn)債定價(jià)部分：輸入變量為t日的31個(gè)因子數(shù)據(jù)，輸出變量為t日的可轉(zhuǎn)債理論價(jià)格，計(jì)算與t日的實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格誤差及誤差的表現(xiàn)，并與前文Black-Scholes定價(jià)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，觀察定價(jià)的準(zhǔn)確度及穩(wěn)定性。

SVR價(jià)格預(yù)測(cè)部分：輸入變量為t日因子的前五日滾動(dòng)均值，輸出變量為t日的預(yù)測(cè)價(jià)格，計(jì)算模型在測(cè)試集上的誤差。

在構(gòu)建實(shí)證模型前，對(duì)核函數(shù)的選擇及核函數(shù)參數(shù)的選擇及遍歷空間有以下說明：

第一，支持向量回歸核函數(shù)選擇。學(xué)者魏瑾瑞[14]指出，支持向量機(jī)中的核函數(shù)是為了簡(jiǎn)化計(jì)算，不同的核函數(shù)具有比例很高的共同支持向量、存在相似性。因此在某種程度上，核函數(shù)參數(shù)的選擇比核函數(shù)的選擇更加重要，選定核參數(shù)最少的高斯核僅涉及gamma參數(shù)及模型自身的懲罰系數(shù)C。本文實(shí)證數(shù)據(jù)解釋變量、訓(xùn)練數(shù)據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)條都較多，選取適用性最廣的非線性核函數(shù)——高斯核函數(shù)，也稱rbf核。高斯核相比于線性核，可以選擇參數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化，對(duì)于大樣本和小樣本均有比較好的性能，且對(duì)數(shù)據(jù)中存在的噪聲具有較好的抗干擾能力。另外，高斯核相比于多項(xiàng)式核的參數(shù)較少。

第二，核函數(shù)參數(shù)設(shè)置。得出最優(yōu)參數(shù)組的兩種常見方法為窮舉法和固定乘積法，其中為給定的常數(shù)。窮舉法需要消耗更多時(shí)間及計(jì)算機(jī)算力，后者則能確定一個(gè)最優(yōu)參數(shù)區(qū)，較為高效。本文結(jié)合及固定參數(shù)倍數(shù)的方法，確定不同的實(shí)證參數(shù)組合。參數(shù)γ意味著原始數(shù)據(jù)映射到高維數(shù)據(jù)后的分布，γ值的大小決定了分隔邊界的彎曲程度。γ值過小，模型擬合度可能較低;γ值過大，對(duì)極端值也形成擬合，存在過度擬合。懲罰系數(shù)C一般為模型的敏感參數(shù)，衡量的是模型對(duì)損失樣本的容忍度。

第三，輸入數(shù)據(jù)。選取2015年1月1日至2020年12月31日間有交易數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)債標(biāo)的，一共383只轉(zhuǎn)債，其中包括中途退市轉(zhuǎn)債。價(jià)格序列是該時(shí)間段的日頻交易數(shù)據(jù)。因子數(shù)據(jù)從價(jià)格序列的時(shí)間點(diǎn)獲取，一共1531個(gè)截面數(shù)據(jù)。根據(jù)前文分析，總共提取31個(gè)因子。數(shù)據(jù)處理后最終得到訓(xùn)練集數(shù)據(jù)21000條，測(cè)試集數(shù)據(jù)5800條。

第四，參數(shù)敏感性分析。選用高斯核（RBF核）作為支持向量回歸的核函數(shù)，有兩個(gè)敏感性參數(shù)：C和γ。C為懲罰系數(shù)，默認(rèn)設(shè)置為1，如果樣本噪音較多，可將懲罰系數(shù)的初始值設(shè)置較小。γ為核函數(shù)參數(shù)，決定了樣本映射后的分布。

第五，確定對(duì)參數(shù)的遍歷空間。懲罰系數(shù)取C∈{0.05，0.1，0.5，1，5，10}，核函數(shù)參數(shù)取γ∈{0.0005，0.001，0.005，0.01，0.05，0.1}，兩種參數(shù)組合一共有36種組合，在觀察不同參數(shù)組合的絕對(duì)誤差百分比、標(biāo)準(zhǔn)差及均值的表現(xiàn)情況，反映模型準(zhǔn)確率的同時(shí)，也可以反映模型對(duì)參數(shù)的敏感性情況。這里將分別記錄不同參數(shù)組合下，訓(xùn)練集及測(cè)試集上模型的表現(xiàn)，觀察模型的穩(wěn)定性。

依照上述步驟將訓(xùn)練集輸入模型進(jìn)行訓(xùn)練，得到模型后再輸入測(cè)試集的31個(gè)轉(zhuǎn)債因子，計(jì)算輸出價(jià)格與測(cè)試集真實(shí)市場(chǎng)價(jià)格的差距，計(jì)算各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)。支持向量回歸SVR可轉(zhuǎn)債定價(jià)結(jié)果如表4至表6所示：

從SVR模型的效果來看，綜合表4、表5、表6三個(gè)指標(biāo)的表現(xiàn)，表現(xiàn)最好的參數(shù)組合為C=10， γ=0.001。該參數(shù)組合下測(cè)試集的絕對(duì)誤差百分比為1.98%，標(biāo)準(zhǔn)差為2.01%，絕對(duì)誤差均值為2.49，意味著在經(jīng)過21000條訓(xùn)練集數(shù)據(jù)訓(xùn)練后，在5800條測(cè)試集上的測(cè)算精度達(dá)到98.2%。預(yù)測(cè)精度較高，誤差表現(xiàn)穩(wěn)定，說明模型在經(jīng)過充分訓(xùn)練后預(yù)測(cè)結(jié)果較為精確，可信度較大，定價(jià)結(jié)果較為精確。

另外，從參數(shù)敏感性來看，懲罰系數(shù)C相對(duì)核函數(shù)參數(shù)γ更加敏感，懲罰系數(shù)C默認(rèn)參數(shù)為1。當(dāng)懲罰系數(shù)C小于1時(shí)，懲罰系數(shù)越小，無論是在訓(xùn)練集還是測(cè)試集上，模型誤差變大且波動(dòng)也大，模型的精度及穩(wěn)定性表現(xiàn)都不理想，這說明模型存在欠擬合;當(dāng)懲罰系數(shù)大于1時(shí)，模型的總精度表現(xiàn)總體較優(yōu)，但此時(shí)若γ值稍大，則模型在訓(xùn)練集上表現(xiàn)較好、測(cè)試集上表現(xiàn)不好，說明模型的核函數(shù)參數(shù)在0.01以上時(shí)，高斯核的特征邊界彎曲度較大，模型存在明顯的過擬合。核函數(shù)參數(shù)在0.01以下，γ敏感性明顯降低，此時(shí)不會(huì)隨著參數(shù)的改變模型的結(jié)果發(fā)生較大變化。

表7總結(jié)對(duì)比SVR和Black-Scholes定價(jià)實(shí)證分析，雖然支持向量回歸模型對(duì)數(shù)據(jù)的深度廣度要求更高、求解過程更耗時(shí)，但綜合考慮模型的精確度及穩(wěn)定性，支持向量回歸模型給可轉(zhuǎn)債定價(jià)的效果更加準(zhǔn)確，模型穩(wěn)定性更好。隨著未來國內(nèi)可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)逐漸規(guī)范化，機(jī)器學(xué)習(xí)模型有望在可轉(zhuǎn)債定價(jià)理論實(shí)際投資領(lǐng)域得到進(jìn)一步發(fā)展。

從圖11、12中可看出，SVR方法得到的百分比誤差更小、表現(xiàn)更穩(wěn)定。綜合表格中評(píng)價(jià)指標(biāo)的表現(xiàn)及誤差的波動(dòng)情況，SVR誤差99.10%都集中在10%以內(nèi)，模型更精確。支持向量回歸能大概率將定價(jià)誤差控制在10%以內(nèi)，相比Black-Scholes模型能提取出對(duì)價(jià)格具有解釋力度的因素。

六、結(jié)論與建議

本文嘗試應(yīng)用支持向量回歸定價(jià)國內(nèi)可轉(zhuǎn)債。從可轉(zhuǎn)債價(jià)值的四大驅(qū)動(dòng)力出發(fā)總結(jié)了31個(gè)因子，并同時(shí)給予邏輯解釋和分層回測(cè)檢驗(yàn)，分析其影響作用。為了形成對(duì)照，本文先基于Black-Scholes公式對(duì)可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換期權(quán)和債底價(jià)值定價(jià)得到可轉(zhuǎn)債價(jià)值，并進(jìn)一步運(yùn)用支持向量機(jī)回歸方法擬合可轉(zhuǎn)債價(jià)格，觀察與Black-Scholes定價(jià)效果之間的差異。

本文應(yīng)用支持向量回歸做了兩步實(shí)證：第一步是在所有的訓(xùn)練集和測(cè)試集上實(shí)證，確定懲罰系數(shù)為10，核函數(shù)參數(shù)0.001，輸入變量為31個(gè)因子，輸出結(jié)果為可轉(zhuǎn)債的理論價(jià)格。結(jié)果顯示SVR模型誤差的各項(xiàng)指標(biāo)均大幅優(yōu)于Black-Scholes定價(jià)方法。第二步是基于大量的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，選取的10只可轉(zhuǎn)債的歷史時(shí)間序列價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)支持向量回歸SVR依然能很好預(yù)測(cè)單個(gè)轉(zhuǎn)債的下一日價(jià)格，模型預(yù)測(cè)價(jià)格能為可轉(zhuǎn)債的市場(chǎng)價(jià)格提供參考。

綜上，以上述31個(gè)因子作為輸入數(shù)據(jù)，通過支持向量回歸方法能很好地?cái)M合出可轉(zhuǎn)債價(jià)格，得到一個(gè)較為滿意的可轉(zhuǎn)債二級(jí)市場(chǎng)定價(jià)模型。在實(shí)際投資過程中，可以先結(jié)合因子選出具有投資價(jià)值的可轉(zhuǎn)債標(biāo)的，并支持向量回歸的理論價(jià)格給出買入時(shí)點(diǎn)建議，形成自上而下先擇券再擇時(shí)的投資策略。

參考文獻(xiàn)：

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Research and Empirical Analysis of Convertible Bond Pricing Based on Machine Learning

Niu Xiaojian，Ba Xiong

（Fudan University，Shanghai 200433，China）

Abstract：As a financial product featuring both bonds and stocks，convertible bonds have become an important financing tool in the capital market and an asset allocation tool favored by the majority of investors. However，due to the complexity of the additional terms and options of domestic convertible bonds，the strict assumptions of Black-Scholes formula often lead to a large deviation in the pricing results. The empirical results show that the 31 convertible bond factors summarized in this paper are taken as explanatory variables and the price of convertible bond can be well fitted through support vector regression.

Key words：convertible bond pricing;Black-Scholes model;machine learning;support vector regression