分析實(shí)驗(yàn)中有效數(shù)字的運(yùn)算法則

趙新穎 危 晴 曹奇光 袁 騉

(北京電子科技職業(yè)學(xué)院，北京 100176)

確定了數(shù)值的有效數(shù)字位數(shù)，并按照修約原則修約后，還要對(duì)有效數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算。運(yùn)算法則主要有加減法、乘除法和連續(xù)運(yùn)算法則。

1 運(yùn)算法則

1.1 加減法

以小數(shù)點(diǎn)后有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)值為依據(jù)，對(duì)其他數(shù)值的有效數(shù)字進(jìn)行修約后，再進(jìn)行運(yùn)算。如：0.0243、7.1058、70.06、164.2和1000的連續(xù)加和運(yùn)算，需要以小數(shù)點(diǎn)后有效位數(shù)最少的164.2為依據(jù)，對(duì)其他數(shù)據(jù)進(jìn)行保留1位小數(shù)的修約，再進(jìn)行加和運(yùn)算，結(jié)果為1241.4。也可以164.2為依據(jù)，對(duì)其他數(shù)據(jù)進(jìn)行保留兩位小數(shù)的修約，加和運(yùn)算后結(jié)果為1241.39；再以164.2為依據(jù)進(jìn)行修約得到1241.4。二者結(jié)果完全一致。值得注意的是0.0243，如果保留1位小數(shù)修約結(jié)果為0.0，則記為0.0，說明該數(shù)值對(duì)運(yùn)算誤差沒有影響(表1)。減法、加減混合運(yùn)算也遵循該法則。

表1 有效數(shù)字加減法運(yùn)算分析

1.2 乘除法

以所有參與運(yùn)算的數(shù)值中相對(duì)誤差最大的數(shù)值為依據(jù)，確定有效數(shù)字的位數(shù)，然后對(duì)其他數(shù)值進(jìn)行有效數(shù)字修約，再進(jìn)行運(yùn)算。如：0.0243、7.1058、70.06、164.2和1000的乘除法運(yùn)算(0.0243×7.1058×70.06×1000÷164.2)。

首先，分別計(jì)算所有數(shù)值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。如：7.1058的有效數(shù)字為5位，可能產(chǎn)生的絕對(duì)誤差為小數(shù)點(diǎn)之后第四位，即±0.0001，則相對(duì)誤差為：[(±0.0001)÷7.1058×100%=(±0.001)%]。

然后，將所有數(shù)值按照相對(duì)誤差由大到小排列：0.0243、1000、164.2、70.06、7.1058。

第三，選擇相對(duì)誤差最大數(shù)值確定有效數(shù)字保留位數(shù)，并以此為依據(jù)對(duì)其他數(shù)值進(jìn)行有效數(shù)字修約。如：0.0243的相對(duì)誤差為(± 0.41)，在上述5個(gè)數(shù)值中最大，以它為依據(jù)確定有效數(shù)字保留3位，其他數(shù)值修約后為1000、164、70.1、7.11；或者多保留一位有效數(shù)字，即4位有效數(shù)字，其他數(shù)值修約后為1000、164.2、70.06、7.106。

最后，進(jìn)行計(jì)算。保留3位有效數(shù)字修約后運(yùn)算為(0.0243×7.11×70.1×1000÷164=73.8)結(jié)果為73.8；保留4位有效數(shù)字修約后運(yùn)算為(0.0243×7.106×70.06×1000÷164.2=73.68)，然后再以0.0243為依據(jù)，進(jìn)行有效數(shù)字修約，結(jié)果為73.7，兩種修約方式結(jié)果相差0.1(表2)。

表2 有效數(shù)字乘除法運(yùn)算誤差分析表

1.3 四則運(yùn)算

在實(shí)際操作中，數(shù)據(jù)量往往很大，需要計(jì)算器(機(jī))進(jìn)行連續(xù)的“四則運(yùn)算”。有效數(shù)字應(yīng)該按照連續(xù)運(yùn)算法則進(jìn)行，即在過程中不考慮有效數(shù)字位數(shù)問題，直接將數(shù)值輸入，得到結(jié)果時(shí)再考慮有效數(shù)字問題。例如：[0.0243 × 7.1058 × 70.06 × 1000 ÷ 164.2 -(0.0243 + 70.06-7.1058)]，利用四則運(yùn)算中乘除法后和加減法運(yùn)算法則，分別按照習(xí)慣多保留一位有效數(shù)字修約，按照四則運(yùn)算得到(73.68-62.978 = 10.702)；此時(shí)，應(yīng)以加減法運(yùn)算法則為準(zhǔn)，保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字得到結(jié)果為10.70。如果將所有數(shù)值直接輸入計(jì)算器(機(jī))，則得到10.69583651887942，此時(shí)有效數(shù)則的修約原則依舊要參考上述計(jì)算步驟，結(jié)果仍為10.70。兩種運(yùn)算方法的結(jié)果一致。

1.4 特別提醒

在進(jìn)行加減法運(yùn)算時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)首位數(shù)數(shù)位增加或者減少的情況，造成有效數(shù)字的位數(shù)不好判定，如(50.11 + 49.93 = 100.04)或(50.11 - 49.93 = 0.18)。此時(shí)，有效數(shù)字位數(shù)即為結(jié)算結(jié)果所示。但是，乘除法運(yùn)算則不會(huì)存在上述現(xiàn)象，計(jì)算結(jié)果有效數(shù)字位數(shù)清晰，如(50.11×49.93 = 2.502 × 10-3)或(50.11÷49.93 = 1.004)。

2 極限數(shù)值的修約

按照進(jìn)舍原則對(duì)實(shí)際值進(jìn)行第1次修約，獲得報(bào)出值。和修約值相比，報(bào)出值需多保留一位有效數(shù)字。需要注意的是：第一，按照修約規(guī)則報(bào)出值和修約值為0時(shí)，均需要以<0.1表示，即二者均不能為0；第二，1000等無法記錄有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，報(bào)出值和修約值均不變；第三，當(dāng)出現(xiàn)當(dāng)報(bào)出值最右的非零數(shù)字為5時(shí)，應(yīng)在數(shù)值后面加(+)或(-)或不加符號(hào)，以分別表明實(shí)際值是否進(jìn)行過進(jìn)舍。如：報(bào)出值為16.5(+)，表示實(shí)際值大于16.5；報(bào)出值為16.5(-)，表示實(shí)際值小于16.5；報(bào)出值為16.5，表示實(shí)際值等于16.5。當(dāng)報(bào)出值到修約值時(shí)，報(bào)出值中擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字為5且后面無數(shù)字或皆為零時(shí)，數(shù)值后面有(+)號(hào)者則進(jìn)一，數(shù)值后面有(-)號(hào)者舍去(表3)。

表3 極限數(shù)值的修約(到個(gè)數(shù)位)