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    單向板在任意曲線荷載作用下的彎矩分布計(jì)算與配筋設(shè)計(jì)

    2021-10-22 01:24:58李遇春
    結(jié)構(gòu)工程師 2021年4期
    關(guān)鍵詞:板結(jié)構(gòu)單向剖面

    劉 偉 于 越 李遇春

    (同濟(jì)大學(xué)水利工程系,上海200092)

    0 引 言

    板是土木工程中常用的一種結(jié)構(gòu)形式。在實(shí)際工程中,在板結(jié)構(gòu)上常常作用有線荷載,板的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要分析線荷載作用下薄板上彎矩分布。謝 子 洋[1]、曾 大 明[2]基 于 Navier 解 法[3],結(jié) 合MATLAB[4]和 ANSYS[5]有限元軟件分析單向板主次方向彎矩分布關(guān)系。臧正義[6]采用基于最小勢(shì)能原理的 Rayleigh-Ritz 法[7]分析對(duì)邊簡(jiǎn)支板在線荷載作用下的彎矩。但該文分析的均為直線荷載作用下的單向板,而在實(shí)際工程中線荷載的形式復(fù)雜,甚至存在曲線形荷載。

    當(dāng)板結(jié)構(gòu)上的線荷載為曲線荷載時(shí),例如:鐵路涵洞頂板上的鐵路線為弧線時(shí),樓板上砌筑曲線形的墻體時(shí),板上的荷載均可以看成曲線荷載,在一般的結(jié)構(gòu)計(jì)算手冊(cè)以及常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)分析文獻(xiàn)上難以查到曲線荷載作用下的板內(nèi)彎矩計(jì)算公式,結(jié)構(gòu)工程師需要采用通用商業(yè)軟件來(lái)進(jìn)行板的抗彎計(jì)算,然而在結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算中,曲線荷載的輸入是一件相當(dāng)麻煩的事情,需要耗費(fèi)大量時(shí)間與精力。鑒于此,本文給出單向板在一般曲線荷載作用下的彎矩計(jì)算公式,編制簡(jiǎn)單易行的Matlab 程序,從而可迅速得到板結(jié)構(gòu)內(nèi)的彎矩分布,為結(jié)構(gòu)工程師設(shè)計(jì)此類板結(jié)構(gòu)提供參考。

    1 任意曲線線荷載作用下單向板的彎矩計(jì)算公式

    如圖1所示的四邊簡(jiǎn)支矩形板,當(dāng)長(zhǎng)邊b比短邊a大三倍時(shí),可認(rèn)為矩形板為單向板。板上受到任意的曲線線荷載q(q=常數(shù))如圖1所示,曲線形狀由函數(shù)y=f(x)確定。坐標(biāo)系建立如圖1所示。

    圖1 四邊簡(jiǎn)支矩形板承受任意線荷載作用Fig.1 Four-side simply-supported slab under arbitrary line load

    根據(jù)薄板理論[3,7],當(dāng)簡(jiǎn)支矩形薄板上任意位置(x0,y0)作用有集中荷載P時(shí),板內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)的彎矩為

    對(duì)于任意曲線線荷載q而言,作用在曲線任意位置[ξ,f(ξ)]上微段 ds的集中荷載為 dP=dξ(見(jiàn)圖1),根據(jù)式(1),該集中荷載產(chǎn)生的彎矩如式(2)所示。

    于是整條線荷載q在任意一點(diǎn)(x,y)所產(chǎn)生的彎矩,通過(guò)積分式(2)可得式(3)。

    式中:ξ為選取的微元荷載在x方向上的坐標(biāo);ν為單向板材料的泊松比,對(duì)于混凝土材料而言,ν=1/6;f′(x)為線荷載函數(shù)曲線y=f(x)的導(dǎo)數(shù)。

    對(duì)于一般的曲線函數(shù)而言,式(3)的積分式難以得到解析解答,可通過(guò)數(shù)值積分得到解答。本文編制了數(shù)值計(jì)算MATLAB程序列于附錄。

    2 算例分析

    2.1 曲線線荷載作用下單向板的彎矩計(jì)算

    單向板彎矩算例:某混凝土單向板,矩形板長(zhǎng)邊b=12 m,短邊a=3.6 m,厚度t=0.2 m,密度ρ=2 400 kg/m3,泊松比ν=1/6。板上作用有曲線荷載q=80 kN/m,曲線荷載函數(shù)為

    板內(nèi)彎矩可以分別采用MATLAB 程序及ANSYS軟件計(jì)算。

    將以上數(shù)據(jù)及曲線函數(shù)代入式(3)積分,根據(jù)附錄MATLAB 程序,計(jì)算得到板內(nèi)的彎矩分布如圖2 所示。曲線線荷載所產(chǎn)生的彎矩最大值均出現(xiàn)在線荷載作用的中心位置。主方向彎矩最大值(Mx,max)=38.40 kN·m,次方向彎矩最大值(My,max)=26.70 kN·m。

    圖2 弧線荷載作用下主次方向彎矩分布(MATLAB)Fig.2 Moment distributions in primary and secondary directions under arc load(MATLAB)

    在ANSYS 軟件中,根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立相同的計(jì)算模型,彎矩計(jì)算結(jié)果如圖3 所示,主次方向彎矩最大值分別為38.70 kN·m,25.83 kN·m。根據(jù)圖2、圖3 結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)本文MATLAB 程序計(jì)算結(jié)果與ANSYS 結(jié)果很吻合,表明本文MATLAB 計(jì)算方法和程序可靠,對(duì)于曲線線荷載作用下的彎矩計(jì)算結(jié)果足夠精確。

    2.2 單向板次方向配筋分析

    在單向板設(shè)計(jì)中,結(jié)構(gòu)工程師一般主要關(guān)注短跨(主方向)上的配筋計(jì)算,通常按計(jì)算最大彎矩(Mx,max)進(jìn)行配筋計(jì)算,然后根據(jù)計(jì)算的配筋在全跨布置受力鋼筋。本文對(duì)于主跨方向的配筋設(shè)計(jì)不再贅述。

    實(shí)際工程中,結(jié)構(gòu)工程師容易忽視長(zhǎng)跨(次方向)的彎矩分布與配筋計(jì)算,長(zhǎng)跨方向常常可能采用構(gòu)造配筋。由圖2、圖3 可以看出,主次方向最大彎矩位置接近,大小也接近,所以根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范[8],在次方向按構(gòu)造布置的分布鋼筋一般難以滿足最大彎矩的承載力要求,會(huì)導(dǎo)致荷載裂縫,危及結(jié)構(gòu)安全。因此考慮在單向板次方向最大彎矩處布置一定長(zhǎng)度的附加短鋼筋,保證次方向滿足板的抗彎承載力要求。為了更直觀地觀察到次方向附加鋼筋的配筋要求,截取曲線荷載作用下單向板最大彎矩附近的幾個(gè)剖面進(jìn)行彎矩分布計(jì)算,由此進(jìn)行配筋分析,剖面位置分別為:x=1.2 m(1-1 剖面)、x=1.4 m(2-2 剖面)、x=1.6 m(3-3 剖面)、x=1.8 m(4-4 剖面)、x=2.0 m(5-5 剖面),如圖4所示。

    圖3 弧線荷載作用下主次方向彎矩分布圖(ANSYS)Fig.3 Moment distributions in primary and secondary directions under arc load(ANSYS)

    圖4 剖面位置Fig.4 Section position

    各個(gè)剖面上的彎矩分布如圖5 所示,對(duì)于短跨的抗彎鋼筋,可以根據(jù)主方向最大彎矩Mx,max的配筋進(jìn)行通長(zhǎng)配置。對(duì)于次方向的彎矩,由圖5可以看出,在主方向最大彎矩處,次方向的彎矩遠(yuǎn)超出了分布鋼筋的抗彎能力(實(shí)際工程中分布鋼筋的配筋量一般要求取主方向鋼筋15%左右[8]),需要額外配置附加鋼筋,附加鋼筋配置如圖6所示。

    由于構(gòu)造鋼筋的配筋量一般取主方向鋼筋的15%左右,所以為了不造成浪費(fèi),附加鋼筋只需要配置在次方向彎矩大于15%Mx,max的部分就足以滿足承載力要求了,如圖6 所示,其中20d為鋼筋在影響范圍以外增加的錨固長(zhǎng)度[8]。

    圖6 單向板附加鋼筋配筋簡(jiǎn)圖Fig.6 Reinforcement diagram of one-way plate with additional reinforcement

    本文僅給出了板內(nèi)主次彎矩的計(jì)算大小和分布情況,具體配筋量計(jì)算可參照《混凝土設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010—2010)[8]執(zhí)行,相應(yīng)的構(gòu)造要求可參照規(guī)范及以上本文的要求辦理。

    3 結(jié) 語(yǔ)

    本文給出的任意曲線荷載下板內(nèi)彎矩計(jì)算公式具有很好的計(jì)算精度,給出的Mablab 計(jì)算程序可為結(jié)構(gòu)工程師處理此類復(fù)雜曲線荷載問(wèn)題的配筋計(jì)算提供參考。附錄中的MATLAB 程序在針對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí),只需要修改單向板尺寸(a,b),曲線荷載線荷載大小以及函數(shù)形式(q,load),就可以得到需要的彎矩分布。

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