基于合情推理模式的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)研究

常安成

基于合情推理模式的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)研究

常安成

（湖南信息學(xué)院，湖南 長沙 410151）

“幫助學(xué)生學(xué)會基本的數(shù)學(xué)思維方法”是新一輪數(shù)學(xué)課程改革設(shè)定的一個基本目標(biāo)。本文通過研究合情推理下的解題方法，提出了幾個有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基本方法。

合情推理；數(shù)學(xué)思維；一般化；特殊化；類比

日本數(shù)學(xué)家米山國藏曾經(jīng)提出：“學(xué)生在初中、高中、大學(xué)等接受數(shù)學(xué)知識，如果這些知識沒有經(jīng)歷應(yīng)用能力的培養(yǎng)、訓(xùn)練、熏陶等，通常會因畢業(yè)后幾乎沒有什么機會應(yīng)用這種作為知識的數(shù)學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生出校門后不到一兩年，就將其忘記了。然而，不管他們從事什么職業(yè)、崗位，唯有那些深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想、精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等（若培養(yǎng)了這方面的素質(zhì)的話），才能隨時隨地發(fā)生著作用，使他們終生受益。”

“幫助學(xué)生學(xué)會基本的數(shù)學(xué)思維方法”也是新一輪數(shù)學(xué)課程改革所設(shè)定的一個基本目標(biāo)。

從現(xiàn)代的觀點來看，學(xué)習(xí)過程不僅僅是對知識的理解、掌握和記憶，還是對事物的理解從特殊到一般加以認(rèn)識和思維的過程，最終得到從本質(zhì)上掌握分析、探索、解決問題的方法。從理解、掌握和記憶知識到從特殊到一般事物認(rèn)知，直至掌握解決問題的方法，這些都是整個復(fù)雜思維過程的材料構(gòu)件，因為整個復(fù)雜思維過程本身就是學(xué)生素質(zhì)養(yǎng)成的體現(xiàn)，也是學(xué)生的智能教育，思想教育及發(fā)展水平的具體呈現(xiàn)。

著名數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫指出：“在不適宜用標(biāo)準(zhǔn)解法的情況下，尋找一條解題途徑的能力，就是數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)之一?！?/p>

合情推理是波利亞的“啟發(fā)法”（heuristic，即“有助于發(fā)現(xiàn)的”）中的一種推理模式。下面我們嘗試通過合情推理能力的培養(yǎng)，提出數(shù)學(xué)思維的幾個基本模式，它是由一些幫助尋求解題途徑為目標(biāo)的建議組成。這些方法雖不能保證準(zhǔn)確無誤地解決問題，但能在不適宜用標(biāo)準(zhǔn)解法的情況下，幫助學(xué)習(xí)者尋找一條有效解題的途徑。

1 一般化（推廣）

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特曾經(jīng)指出：“在解決一個數(shù)學(xué)問題時，如果我們沒有獲得成功，原因常常在于我們受困于這個數(shù)學(xué)問題本身，沒有跳出來，認(rèn)識到更一般的觀點，也就是我們眼下要解決的問題只不過是一連串有關(guān)問題中的一個環(huán)節(jié)。如果我們采取了這樣的觀點，不僅會使得我們所研究的問題容易得到解決，同時還會獲得一種能應(yīng)用于有關(guān)問題的普遍方法。”

在數(shù)學(xué)中，將常量換成變量或者減少條件，可以使問題一般化。

這就是我們需要的輔助函數(shù)。

例2.計算范德蒙行列式

因此

2 特殊化

希爾伯特指出：“在討論數(shù)學(xué)問題時，我們相信特殊化會比一般化起著更為重要的作用。可能在大多數(shù)場合，我們尋找一個問題的答案而未能成功的原因，是在于這樣的事實，即有一些比手頭的問題更簡單，更容易的問題沒有完全解決或是完全沒有解決。這時，一切有賴于找出這些比較容易的問題并使用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們，這種方法是克服數(shù)學(xué)困難的最重要的杠桿之一，我認(rèn)為人們是經(jīng)常使用它的，雖然也許他們并不自覺?！?/p>

在數(shù)學(xué)中，將變量換成常量或者增加條件，可以使問題特殊化。

在解題時我們常常分兩步來進(jìn)行：第一步處理一個特殊情形，它不僅特別容易解決而且特別有用；第二步通過特殊情形的疊加，我們得到一般解的方法。

例3.(格林公式)設(shè)有界閉區(qū)域由分段光滑的曲線L所圍成，函數(shù)(,)及(,)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

其中是的取正向的邊界曲線。

略證：先考慮一個特殊情形，假設(shè)以上條件全部滿足，可以通過做一條平行坐標(biāo)軸的直線且穿過區(qū)域的內(nèi)部，直線與的邊界曲線L的交點恰好為兩點，則可以證明（1）式成立。

3 由簡單情形找規(guī)律

解：在這個問題中，“1976”這個數(shù)據(jù)太大，難以發(fā)現(xiàn)規(guī)律。將1976換成較小的數(shù)（比方5,6,7,…）試試。為尋找規(guī)律，我們將試驗的結(jié)果列成表之后，觀察上面這些試驗，我們發(fā)現(xiàn)，在取最大的乘積中：

由此我們可得解答：

4 類比

類比是某種類型的相似。在解一個復(fù)雜的問題時，可以考慮先解一個較容易的類比的題，再設(shè)法利用其方法或結(jié)果解復(fù)雜問題。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：研究問題的一般方法是，先足夠地退到外面，退到最容易看清楚問題的地方，把問題認(rèn)透了、鉆深了，然后，再上去。

先解類比的題，就是“退”的方法。

這個問題比較難，我們先退一步，考慮一個比較簡單的類比的問題：

如果這個問題還不能一下解決，我們再退一步，考慮一個更為簡單的類比的問題：

利用迭代可得

現(xiàn)在我們回到問題1，完全類似地，

解這個差分方程即得結(jié)果（略）。

綜上可見，這幾個思維模式體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思想方法。M.勞埃指出：“教育是所有學(xué)會的東西都忘卻了之后仍然留存下來的那些東西。”這些思維模式就是需要學(xué)生們“留存下來的那些東西”。這種合情推理的數(shù)學(xué)理念，思維模式，思想方法，均在初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)的各類教材里得到充分體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們應(yīng)作出切實的努力以很好地落實“幫助學(xué)生學(xué)會基本的數(shù)學(xué)思想方法”這一重要目標(biāo)。

[1]米山國藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].成都:四川教育出版社,1986.

[2]奧加涅相等.中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法[M].北京:測繪出版社, 1983.

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O13

A

1673-2219（2021）03-0083-03

2021-03-03

2021年度湖南省社會科學(xué)成果評審委員會課題（項目編號ASP21YBC368）。

常安成（1977－），男，山東定陶人，碩士，副教授，研究方向為數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

（責(zé)任編校：文春生）