同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3}的有限群

錢 焱，陳貴云

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

有限群的結(jié)構(gòu)一直是群論研究中一個(gè)最基本的課題，而群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)都能從它的固有數(shù)量反映出來，例如：奇數(shù)階群可解； 若G的Sylow子群的個(gè)數(shù)之集為{1}，則G為冪零群.

因此，通過子群的數(shù)量特征來研究群G的結(jié)構(gòu)是極其有意義的．比如，許多群論學(xué)者研究了子群共軛類的類數(shù)、 非正規(guī)子群的個(gè)數(shù)及階、 極大交換子群的階之集，以及當(dāng)同階子群個(gè)數(shù)之集為簡單集合時(shí)對群結(jié)構(gòu)的影響，有關(guān)這方面的成果可參見文獻(xiàn)[1-12].

本文關(guān)注同階交換子群個(gè)數(shù)與群結(jié)構(gòu)的關(guān)系，并討論了當(dāng)群G的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3}時(shí)群G的結(jié)構(gòu)．當(dāng)然這類群是存在的，如S3就滿足此條件．另外，本文也證明了同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，2}的有限群是不存在的．因此，研究滿足同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3}的群G的結(jié)構(gòu)是有意義的.

本文將證明如下定理：

定理1設(shè)G是有限群，則下列結(jié)論成立：

(a) 不存在有限群G，使得其同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，2}.

(b)G的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3}的充要條件是G同構(gòu)于下列群之一：

(b1)G=〈u〉×(〈b〉×|〈a〉)，其中uk=1，a2m=1，b3=1，a-1ba=b-1，2?k，3?k；

(b2)G=〈v〉×Q8，其中2?o(v)，Q8為四元數(shù)群；

(b3)G=〈w〉×G2，其中2?o(w)，G2為(2n-1，2)-型交換群；

(b4)G=〈d〉×G2，其中2?o(d)，G2為半廣義四元數(shù)群，且G2=〈e，f〉，e2n-1=1，f2=1，f-1ef=e1+2n-2，n≥4.

由文獻(xiàn)[11]的定理4.3得：若G的同階子群個(gè)數(shù)之集為{1，3}，則G只可能同構(gòu)于以上(b1)-(b4)群之一．因此得到下面的推論：

推論1設(shè)G為有限群，則下列結(jié)論等價(jià)：

為了證明定理1，先引入以下引理：

引理1[12]設(shè)P是一個(gè)包含唯一p階子群的p-群，那么或者P是循環(huán)群，或者p=2且P是廣義四元數(shù)群.

引理2[13]設(shè)|P|=pn，1

引理3設(shè)p∈(G)，P∈Sylp(G)，且G的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3}，則

證若P有唯一p階子群，則由引理1即可得到成立.

引理5[14]二面體群D8有5個(gè)2階子群，3個(gè)4階子群.

引理6[11]設(shè)G為廣義四元數(shù)群，sk(G)表示G的2k階子群的個(gè)數(shù)，則

引理7若|G|=8，且G的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3}，則G只可能是(4，2)-型交換群或四元數(shù)群Q8.

證由文獻(xiàn)[15]的3.4.3知，8階群在同構(gòu)意義下共有5類，分別是C8，C2×C2×C2，C4×C2，Q8，D8．下面將分別計(jì)算每個(gè)類的同階交換子群個(gè)數(shù)之集.

因?yàn)镃8為循環(huán)群，所以它的各階子群個(gè)數(shù)都為1，且均為交換群，從而C8的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1}.

因?yàn)镃2×C2×C2的各階子群均為交換群，且其2階子群的個(gè)數(shù)為(23-1)/(2-1)=7，4階子群的個(gè)數(shù)為[(23-1)(22-1)]/[(22-1)(2-1)]=7，所以C2×C2×C2的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，7}.

不妨設(shè)

C4×C2=〈a，b：a4=1，b2=1，[a，b]=1〉

易知C4×C2的各階子群都為交換群，且2階子群有3個(gè)，分別為〈a2〉，〈b〉，〈a2b〉； 4階子群也有3個(gè)，分別為〈a2〉×〈b〉，〈a〉，〈ab〉．所以C4×C2的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3}.

因?yàn)镼8=〈a，b：a4=1，a2=b2，b-1ab=a-1〉，且其真子群均為交換群．由引理6可計(jì)算得：其2階子群有1個(gè)，即〈a2〉； 4階子群有3個(gè)，分別為〈a〉，〈b〉，〈ab〉．因此，Q8的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3}.

由引理5知8階二面體群D8的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3，5}.

引理8[16]設(shè)P為16階非交換2-群，且P的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，3}，則P只能為半廣義四元數(shù)群，定義關(guān)系為P=〈a，b：a8=b2=1，b-1ab=a5〉.

引理9[13]設(shè)P為一個(gè)具有循環(huán)極大子群的2-群，則P只有以下6種互不同構(gòu)類型的群：

引理10[15]設(shè)G為非交換群，且它的所有Sylow子群循環(huán)，則G為亞循環(huán)群，G=〈a，b〉，am=bn=1，b-1ab=ar，((r-1)n，m)=1，rn≡1(modm)，|G|=nm.

引理11[11]設(shè)G是(pn，pm)-型交換p-群，其中m≤n．則群G的pk階子群的個(gè)數(shù)為

定理1的證明

證(a) 設(shè)p∈π(G)，P∈Sylp(G).

若P有唯一p階子群，則或者P為循環(huán)群，或者p=2且P為廣義四元數(shù)群．當(dāng)P為廣義四元數(shù)群時(shí)，由引理6計(jì)算得其4階子群個(gè)數(shù)至少為3，矛盾．當(dāng)P為循環(huán)群時(shí)，因?yàn)镚的Sylowp-子群個(gè)數(shù)為n=1+kp，所以n=1，或者n≥3．又因?yàn)镚的同階交換子群個(gè)數(shù)之集為{1，2}，所以n=1．進(jìn)而得到G的所有Sylow子群正規(guī)且循環(huán)，故G為循環(huán)群，從而G的各階子群個(gè)數(shù)都為1，不滿足題設(shè)條件．若P有兩個(gè)及以上的p階子群，則同引理3所證可得p+1=2，這與p≥2矛盾．綜上所述，結(jié)論(a)得證.

(b) 由引理3和引理4知G=H×|G2，其中H循環(huán)且2?|H|．下面分兩種情況進(jìn)行討論：

情形1 若G2有唯一2階子群，則G2或?yàn)檠h(huán)群或?yàn)閺V義四元數(shù)群.

先證n=1．因?yàn)閨Syl2(G)|=3，所以|G3∶NG3(G2)|=3，則|NG3(G2)|=3n-1．于是設(shè)NG3(G2)=〈b3〉．又因?yàn)镹G3(G2)=CG3(G2)，故[b3，a]=1．因?yàn)閍-1ba=br，于是b3=a-1b3a=b3r，從而b3(r-1)=1，因此3n-1|(r-1)．若n≥2，則有3|(r-1)．又因?yàn)镚3×|G2為亞循環(huán)群，所以((r-1)2m，3n)=1，這與3|(r-1)矛盾．因此n=1.

再證r=-1．因?yàn)閞?1(mod 3)，所以r≡0(mod 3)或r≡-1(mod 3)．由假設(shè)條件a-1ba=br知(r，3)=1，從而得r?0(mod 3)，于是r≡-1(mod 3)．因此r=-1.

可令

T=G3×|G2=〈a，b：a2m=1，b3=1，a-1ba=b-1〉

由定義關(guān)系知T的Sylow 2-子群為極大子群且恰有3個(gè)，即〈a〉，〈ab〉，〈ab-1〉．對L≤T，若L是2-群，則L含于T的Sylow 2-子群中．因?yàn)門的Sylow 2-子群只有3個(gè)且循環(huán)，因此與L同階的子群最多有3個(gè)．又由Sylow子群共軛及循環(huán)知，與L同階的子群共軛，故與L同階的子群個(gè)數(shù)為1或3．如果L不是2-群，則L的階為2i·3，此時(shí)考慮T的階為2m-1·3的極大子群，可知此極大子群必為〈a2〉〈b〉，〈(ab)2〉〈b〉，〈(ab-1)2〉〈b〉．又由定義關(guān)系可知CG2(G3)=〈a2〉，即[a2，b]=1，從而〈b〉×|〈a2〉=〈a2〉×〈b〉為循環(huán)群，則

〈a2〉〈b〉=〈(ab)2〉〈b〉=〈(ab-1)2〉〈b〉=〈a2〉×〈b〉

故T的階為2m-1·3的極大子群只有1個(gè)，即為〈a2〉×〈b〉．綜上所述，T的極大子群均循環(huán)，且同階極大子群的個(gè)數(shù)之集為{1，3}，進(jìn)而T的2i·3階的同階交換子群個(gè)數(shù)也為1，符合定理1的條件．綜上所述，此時(shí)G對應(yīng)定理1(b)中的(b1)類型群.

情形2 若G2的2階子群個(gè)數(shù)為3，對G2是否交換進(jìn)行討論.

假設(shè)G2為非交換群，則|G2|≥8，故可分為以下幾種情形討論：

證明當(dāng)n=5時(shí)，G2只能是半廣義四元數(shù)群.

考慮G2的極大子群M．當(dāng)M交換時(shí)，M為循環(huán)群或(2r，2s)-型交換群，其中r+s=4．又由引理11知(22，22)-型交換群含有7個(gè)4階子群，這與定理1的條件矛盾，因此M為循環(huán)群或(23，2)-型交換群．當(dāng)M非交換時(shí)，若M只有1個(gè)2階元，則M是廣義四元數(shù)群，然而由引理6知，16階廣義四元數(shù)群不滿足定理1的條件．若M有3個(gè)2階元，則由上面知M為半廣義四元數(shù)群．綜上所述，M為循環(huán)群、 (23，2)-型交換群或16階半廣義四元數(shù)群.

當(dāng)M為循環(huán)群時(shí)，則G2為引理9中的群，經(jīng)過計(jì)算群的同階交換子群個(gè)數(shù)得，G2為半廣義四元數(shù)群．因?yàn)?23，2)-型交換群和16階半廣義四元數(shù)群的8階子群都是交換群且個(gè)數(shù)為3，又因?yàn)镚2的同階交換子群個(gè)數(shù)之集必為{1，3}，則：若M為這兩個(gè)群之一，則G的8階子群只能在M的這3個(gè)極大子群中，從而G2的每個(gè)極大子群的極大子群都含在M內(nèi)，進(jìn)而G2中除循環(huán)極大子群之外的極大子群都等于M．但G2至少有3個(gè)極大子群，因此G2一定至少含有2個(gè)循環(huán)極大子群，因此G2為引理9中的群，且G2有3個(gè)2階子群，通過計(jì)算群的同階交換子群個(gè)數(shù)知，G2為32階半廣義四元數(shù)群.

假設(shè)當(dāng)n=k-1時(shí)，G2是一個(gè)半廣義四元數(shù)群，去證明當(dāng)n=k時(shí)，G2是一個(gè)半廣義四元數(shù)群.

仍然考慮G2的極大子群M．當(dāng)M為交換群時(shí)，M為循環(huán)群或(2r，2s)-型交換群，其中r+s=k-1．又由引理9知，當(dāng)M為非循環(huán)交換群時(shí)，M只能為(2k-2，2)-型交換群．當(dāng)M為非交換群時(shí)，如果M只有1個(gè)2階元，那么M只能是廣義四元數(shù)群，但是由引理6計(jì)算M的4階子群個(gè)數(shù)知，廣義四元數(shù)群不滿足定理1的條件．如果M有3個(gè)2階元，則M的同階交換子群個(gè)數(shù)集為{1，3}，由歸納假設(shè)，M為半廣義四元數(shù)群．因此，仍然可以得到M為循環(huán)群、 (2k-2，2)-型交換群或2k-1階半廣義四元數(shù)群．然后同n=5時(shí)的證明可得G2為半廣義四元數(shù)群．綜上所述，當(dāng)和成立時(shí)，G都對應(yīng)定理1(b)的(b4)類型群.

由于定理1中的4種群對應(yīng)的Sylow 2-子群互不同構(gòu)，因此定理1(b)的(b1)-(b4)類群互不同構(gòu)，故定理1結(jié)論(b)得證.