基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近的磁浮列車(chē)動(dòng)態(tài)懸浮控制

王 強(qiáng)

(中國(guó)鐵建電氣化局集團(tuán)第四工程有限公司, 長(zhǎng)沙 410007)

為了能滿足人們?cè)谟邢拶Y源下對(duì)于高速且大容量交通工具的需求，磁浮列車(chē)這一種依靠懸浮特性實(shí)現(xiàn)無(wú)接觸運(yùn)行的交通工具作為一項(xiàng)重點(diǎn)研究計(jì)劃具有一定的前瞻性。而如何實(shí)現(xiàn)列車(chē)的穩(wěn)定懸浮并且能夠在外部擾動(dòng)作用下具有較好的控制精度和抗干擾性是保證穩(wěn)定運(yùn)行的核心之一[1-3]。因此在這一大背景下，很多專家和學(xué)者針對(duì)懸浮控制算法以及車(chē)軌耦合振動(dòng)機(jī)理進(jìn)行了大量研究，并且取得了很多有價(jià)值的研究成果。

隨著研究的逐步深入，列車(chē)的靜態(tài)懸浮狀態(tài)已經(jīng)達(dá)到了一個(gè)較為成熟的地步，懸浮狀態(tài)下磁軌之間的耦合振動(dòng)問(wèn)題已經(jīng)得到了逐步解決。但如何能保證磁浮列車(chē)在動(dòng)態(tài)激勵(lì)下依舊能夠在最大程度上保持懸浮穩(wěn)定性是限制磁浮列車(chē)工程化應(yīng)用的核心問(wèn)題之一。張鋆豪等[4]研究了懸浮系統(tǒng)的線性自抗擾控制問(wèn)題，并且證明了線性自抗擾控制在響應(yīng)快速性以及抑制外部擾動(dòng)等方面均優(yōu)于比例-積分-微分(proportion-integral-derivative, PID)控制器。董達(dá)善等[5]建立了懸浮系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。設(shè)計(jì)了相關(guān)的模糊控制算法初步克服外界干擾。佟來(lái)生等[6]提出了一種基于二類(lèi)李雅普諾夫函數(shù)的滑?？刂撇呗允蛊淠軌驀?yán)格保證系統(tǒng)維持在目標(biāo)懸浮間隙附近。通過(guò)對(duì)比仿真驗(yàn)證所提出控制律的有效性和魯棒性。王軍曉等[7]提出了一種基于等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器的模型預(yù)測(cè)控制方法。結(jié)果表明，所提方法提高了磁懸浮球系統(tǒng)的跟蹤性能，并且初步抑制了系統(tǒng)不確定性和外部干擾。王樹(shù)宏等[8]針對(duì)磁浮列車(chē)懸浮間隙變化速度無(wú)法測(cè)量的問(wèn)題提出一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer, ESO)的反演控制方法，并基于對(duì)稱Barrier Lyapunov函數(shù)證明了該方法的穩(wěn)定性。分析可知，一些實(shí)際問(wèn)題如軌道柔性變形導(dǎo)致的不平順擾動(dòng)以及負(fù)載變化引起的懸浮力突變等并未進(jìn)行有效分析。而在實(shí)際運(yùn)行中，由于乘客流動(dòng)、軌道剛度不足、高架支撐梁沉降等現(xiàn)象的存在，外部擾動(dòng)是不可避免的，這可能會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生耦合振動(dòng)，甚至引發(fā)“打軌”等不穩(wěn)定現(xiàn)象。其中，軌道不平順則是當(dāng)前影響懸浮性能的最主要因素之一。因此，設(shè)計(jì)合適的控制方法來(lái)克服不平順擾動(dòng)具有一定的實(shí)際意義。Tran等[9]提出了一種任意有限時(shí)間跟蹤控制方法。通過(guò)引入一種新的增廣滑模流形函數(shù)，消除了傳統(tǒng)終端滑模控制中的奇異性問(wèn)題和到達(dá)相位問(wèn)題。通過(guò)對(duì)實(shí)際磁懸浮系統(tǒng)的仿真和實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了所提方法的有效性。張文躍等[10]考慮了懸浮系統(tǒng)的本征非線性特征，利用反步法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分離，并分別提出Lyapunov候選函數(shù)，并證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李琴等[11]采用徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制結(jié)合的方法來(lái)對(duì)四旋翼飛行器的姿態(tài)跟蹤進(jìn)行控制，結(jié)果顯示，所提出算法比普通PID控制的跟蹤能力更好。

在對(duì)當(dāng)前磁浮列車(chē)和控制算法的研究前沿進(jìn)行充分分析和總結(jié)的基礎(chǔ)上，以單點(diǎn)懸浮模型為基礎(chǔ)結(jié)合RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Lyapunov穩(wěn)定性分析設(shè)計(jì)了相關(guān)的自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法，相比一般的梯度下降法調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值更能保證閉環(huán)穩(wěn)定而不陷入局部最優(yōu)，并且通過(guò)數(shù)值仿真基于不同工況驗(yàn)證了所提出算法的有效性，并在最后基于半實(shí)物仿真平臺(tái)進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)模型

1.1 模型描述

圖1給出了所采用的單點(diǎn)懸浮控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，該系統(tǒng)主要由軌道、電磁鐵、負(fù)載、傳感器、懸浮控制單元構(gòu)成。

x0為平衡點(diǎn)位置懸浮間隙；x為懸浮間隙； A為電磁鐵磁極面積；FL為電磁力； R和L分別為電磁鐵繞組自身電阻和電感； N為線圈匝數(shù)；m為質(zhì)量負(fù)載； PWM(pulse width modulation)為脈沖寬度調(diào)制圖1 單點(diǎn)懸浮控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of single point levitation control system

結(jié)合以往研究可以給出電磁鐵及負(fù)載在豎直方向上的力學(xué)方程和電壓方程為

(1)

式(1)中：μ0為真空磁導(dǎo)率；x為懸浮間隙；u為控制電壓；i為線圈電流；g為重力加速度；A為電磁鐵磁極面積；t為時(shí)間。

(2)

對(duì)其進(jìn)行線性化可以得到以懸浮間隙為輸出、控制電壓為輸入的傳遞函數(shù)模型為[12]

(3)

式(3)中：Δx為懸浮間隙誤差；Δu為調(diào)整電壓誤差；s為拉氏空間的變量符號(hào)，無(wú)特殊含義。

進(jìn)一步提取系統(tǒng)特征方程為

(4)

根據(jù)勞斯判據(jù)，式(3)所示線性模型三階不穩(wěn)定，因此可知，圖1所示單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)同樣三階不穩(wěn)定，必須設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)姆答伩刂坡刹拍軐?shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮。

2 控制算法設(shè)計(jì)

2.1 控制器設(shè)計(jì)

定義穩(wěn)定懸浮后的參考懸浮間隙為x0，通過(guò)圖1可得實(shí)際懸浮間隙為x，則動(dòng)態(tài)誤差e及誤差矩陣E可分別表示為

(5)

采用圖2所示的2-5-1網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)構(gòu)造控制模型。

圖2 2-5-1徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.2 2-5-1 radial basis function network structure

其中輸入為誤差矩陣，網(wǎng)絡(luò)的隱含層輸出矩陣為h=[h1h2h3h4h5]T，第j(j=1,2，…,5)個(gè)神經(jīng)元的輸出和對(duì)應(yīng)的高斯基函數(shù)中心點(diǎn)的坐標(biāo)向量為

(6)

式(6)中:bj表示第j個(gè)神經(jīng)元高斯基函數(shù)的向量寬度；i=1,2；hj為第j個(gè)神經(jīng)元的輸出，j=1,2,…,5；c為對(duì)應(yīng)的高斯基函數(shù)中心點(diǎn)的坐標(biāo)向量；cij為第i個(gè)輸入到第j個(gè)神經(jīng)元高斯基函數(shù)中心點(diǎn)的坐標(biāo)向量。

x(t)=wTh=w1h1+w2h2+…+w5h5

(7)

對(duì)式(2)中的方程(3)進(jìn)行分析可表示為

(8)

從式(8)可以看出，f(z1,z2,z3) 中各個(gè)狀態(tài)變量存在互相耦合，不滿足線性關(guān)系，因此同樣可以采用徑向基網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近，可表示為

(9)

閉環(huán)控制框圖如圖3所示。

圖3 閉環(huán)徑向基網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)Fig.3 Closed loop radial basis function network control system

采用式(9)所示逼近輸入代替式(2)和式(8)中所示f(z1,z2,z3)，可以得到相關(guān)的控制律為

(10)

(11)

2.2 穩(wěn)定性分析

(12)

(13)

從而得到最優(yōu)權(quán)值為

(14)

式(14)中：sup為函數(shù)上界。

(15)

結(jié)合式(14)對(duì)式(13)進(jìn)行進(jìn)一步推導(dǎo)得

(16)

定義Lyapunov函數(shù)為

(17)

式(17)中：γ為正常數(shù)，可在仿真調(diào)試中采用試湊法獲得，且P必定滿足式(18)。

HTP+PH-Q=0

(18)

式(18)中：Q為由P矩陣唯一確定的正定對(duì)稱矩陣。

對(duì)V1進(jìn)行求導(dǎo)得

(19)

(20)

對(duì)V2進(jìn)行求導(dǎo)得

(21)

因此可得

(22)

代入式(11)所示自適應(yīng)律，可得

(23)

3 數(shù)值仿真

3.1 仿真框架及參數(shù)定義

為進(jìn)一步說(shuō)明算法的有效性，基于MATLAB/Simulink仿真平臺(tái)對(duì)算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，構(gòu)造單點(diǎn)懸浮仿真框架如圖4所示。

圖4 單點(diǎn)懸浮控制仿真框架Fig.4 Simulation framework of single point suspension control

采用單點(diǎn)懸浮控制系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。為了驗(yàn)證本文所提出算法的有效性和先進(jìn)性，從初始懸浮響應(yīng)速度、穩(wěn)態(tài)誤差以及抗干擾性三個(gè)方面與現(xiàn)有PID控制進(jìn)行綜合對(duì)比。由于缺乏試驗(yàn)數(shù)據(jù)，無(wú)法基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證算法的跟蹤性能，因此首先基于正弦函數(shù)驗(yàn)證算法的跟蹤性能。其次，對(duì)模型分別施加圖5、圖6所示負(fù)載擾動(dòng)力和不平順激勵(lì)對(duì)算法的抗干擾性進(jìn)行分析。

表1 單點(diǎn)懸浮控制系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of single point suspension control system

圖5 負(fù)載擾動(dòng)力Fig.5 Load disturbance

圖6 不平順擾動(dòng)激勵(lì)Fig.6 Disturbance excitation of irregularity

3.2 仿真結(jié)果分析

3.2.1 正弦信號(hào)跟蹤

在分析過(guò)程中，首先采用幅值為±0.005 m的正弦信號(hào)作為期望跟蹤信號(hào)進(jìn)行跟蹤性能仿真，從圖7可以看出，傳統(tǒng)PID控制算法的控制性能較弱，并且存在一定誤差，最大偏差達(dá)到1 mm，不利于信號(hào)跟蹤。相比之下，徑向基網(wǎng)絡(luò)控制下系統(tǒng)輸出能夠更好地逼近期望信號(hào)，畢竟誤差小，最大誤差僅為0.47 mm。

圖7 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)跟蹤性能對(duì)比驗(yàn)證Fig.7 Comparison and verification of system dynamic tracking performance

3.2.2 負(fù)載力擾動(dòng)

根據(jù)圖8可以看出，在起始懸浮階段，徑向基網(wǎng)絡(luò)能夠使系統(tǒng)具有更快的響應(yīng)速度而不產(chǎn)生超調(diào)量，通過(guò)不斷調(diào)試可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在PID控制的作用下進(jìn)一步提高響應(yīng)速度則會(huì)產(chǎn)生較大超調(diào)量，不利于系統(tǒng)穩(wěn)定性。此外，在大負(fù)載擾動(dòng)的作用下，雖然徑向基網(wǎng)絡(luò)和PID控制均能具有較好的穩(wěn)定輸出，但是從圖8中仍舊可以看出徑向基網(wǎng)絡(luò)控制下的系統(tǒng)輸出偏差更小。

圖8 負(fù)載擾動(dòng)下輸出懸浮間隙Fig.8 Output suspension gap under load disturbance

3.2.3 不平順激勵(lì)擾動(dòng)

從圖9可以看出，在系統(tǒng)穩(wěn)定之后，在5 s施加圖6所示不平順激勵(lì)，系統(tǒng)在PID控制下輸出突變較大，達(dá)到0.8 mm；此后，由于不平順激勵(lì)的持續(xù)作用，系統(tǒng)雖然并未發(fā)散，但始終處于微小振顫狀態(tài)，不利于懸浮穩(wěn)定性。而在徑向基網(wǎng)絡(luò)的作用下，5 s時(shí)的突變幅值明顯減小，僅為0.2 mm，并且振顫情況得以明顯改善。說(shuō)明了該算法能夠使系統(tǒng)在具有較快響應(yīng)速度的同時(shí)具備更好的抗干擾性。

圖9 不平順激勵(lì)下輸出懸浮間隙Fig.9 Output suspension gap under irregularity excitation

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過(guò)單點(diǎn)懸浮試驗(yàn)臺(tái)對(duì)所提出RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法進(jìn)行初步驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖10所示。

圖10 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.10 Experimental platform

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中定義期望懸浮間隙為8 mm，穩(wěn)定懸浮電流為26.5A。算法基于Dspace半實(shí)物仿真平臺(tái)編譯。系統(tǒng)所輸出懸浮間隙和控制電流分別如圖11、圖12所示?？梢钥闯觯琑BF網(wǎng)絡(luò)控制下的懸浮間隙具有更小的超調(diào)量，并且穩(wěn)態(tài)誤差趨近于0，而在PID控制下，系統(tǒng)輸出在起浮階段具有明顯的波動(dòng)過(guò)程，調(diào)節(jié)時(shí)間慢且超調(diào)量大。在穩(wěn)定懸浮之后，系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)態(tài)誤差，進(jìn)一步證明了本文所提出算法的有效性。

圖11 懸浮間隙Fig.11 Suspension gap

圖12 控制電流Fig.12 Control Current

5 結(jié)論

磁浮列車(chē)在運(yùn)行過(guò)程中，由于軌道梁撓度變形和負(fù)載激勵(lì)都會(huì)導(dǎo)致懸浮力的變化，因此外界動(dòng)態(tài)擾動(dòng)極大地考驗(yàn)了懸浮控制系統(tǒng)的抗干擾性和動(dòng)態(tài)性能，由于運(yùn)行過(guò)程中的穩(wěn)定懸浮間隙僅為10 mm，任何一種擾動(dòng)導(dǎo)致間隙變化都極易影響列車(chē)的懸浮狀態(tài)，因此如何在有界小約束可調(diào)區(qū)間內(nèi)對(duì)懸浮間隙進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整對(duì)于保證穩(wěn)定性而言至關(guān)重要。基于單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)進(jìn)行了相應(yīng)的系統(tǒng)建模和控制算法設(shè)計(jì)，得到如下結(jié)論。

(1)首先以電壓控制思路構(gòu)造了單點(diǎn)懸浮控制系統(tǒng)的相關(guān)數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)特征方程和勞斯判據(jù)說(shuō)明了懸浮系統(tǒng)具有本征非線性的特性并且開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定。

(2)確定了單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)控制算法所需要的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)，基于懸浮間隙誤差設(shè)計(jì)控制律和自適應(yīng)律并采用Lyapunov函數(shù)確定了其閉環(huán)穩(wěn)定性。

(3)以幅值為±0.005 m的正弦函數(shù)為例，對(duì)本文所設(shè)計(jì)徑向基網(wǎng)絡(luò)算法的跟蹤性能進(jìn)行了相應(yīng)驗(yàn)證，并且與當(dāng)前應(yīng)用較為廣泛的PID控制算法進(jìn)行對(duì)比，可以看出所提出控制算法具有更好的跟蹤性能。

(4)通過(guò)數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)分別說(shuō)明了在負(fù)載擾動(dòng)下和不平順激勵(lì)擾動(dòng)下的輸出情況。根據(jù)響應(yīng)速度、穩(wěn)態(tài)誤差以及抗干擾三個(gè)方面的綜合對(duì)比可以看出，本文算法能夠更好的應(yīng)對(duì)列車(chē)運(yùn)行過(guò)程中的動(dòng)態(tài)擾動(dòng)，從而提高系統(tǒng)穩(wěn)定性來(lái)實(shí)際解決列車(chē)運(yùn)行過(guò)程中的共振以及掉點(diǎn)現(xiàn)象。