《JJG168—2018立式金屬罐檢定規(guī)程》中幾何法罐底底量的計(jì)算方法

王松武

〔威海威洋石油公司 山東威海 264205〕

底量表作為儲(chǔ)罐容量表的主要組成部分，其準(zhǔn)確度能否達(dá)到罐容表不確定度要求，將影響整個(gè)罐容量表的準(zhǔn)確度?！禞JG168-2018立式金屬罐檢定規(guī)程》(以下簡稱《規(guī)程》)中底量的檢定介紹了容積比較法和幾何法兩種檢定方法。本文對(duì)幾何法底量計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)，對(duì)其存在的偏差問題進(jìn)行分析驗(yàn)證并給出解決方法。

1 罐底為規(guī)則幾何底的底量計(jì)算

《規(guī)程》中介紹的是不規(guī)則底的底量計(jì)算公式，在此先介紹一下規(guī)則圓錐罐底容積計(jì)算方法，并舉例計(jì)算罐底任意一點(diǎn)的底量。規(guī)則幾何底可看成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓錐體，其上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的底量可看成圓柱體減圓臺(tái)(圓錐)的體積，如圖1所示，其陰影部分體積計(jì)算公式為：

圖1 規(guī)則底量容積示意圖

(1)

式中：H為罐底最高點(diǎn)，m；R為罐基圓半徑，m；R2為圓臺(tái)上半徑，m；h為罐底任一點(diǎn)相對(duì)于下計(jì)量基準(zhǔn)點(diǎn)高度,m；h0為下計(jì)量基準(zhǔn)點(diǎn)相對(duì)于罐底低點(diǎn)高度。

例如：某罐基圓半徑R=4.514 m，罐底高點(diǎn)H=0.067 m，下計(jì)量基準(zhǔn)點(diǎn)h0=0.007 m，π≈3.14159。根據(jù)公式(1)求任一高度h的底量容積，計(jì)算結(jié)果如表1，對(duì)其數(shù)字修約形成底量表[1-2]。

表1 底量計(jì)算結(jié)果

2 罐底為不規(guī)則幾何底底量的計(jì)算

現(xiàn)實(shí)中罐底設(shè)計(jì)時(shí)一般按照坡度為15:1 000的錐形底設(shè)計(jì)。由于在施工和使用過程中基礎(chǔ)不均衡下沉而導(dǎo)致罐底凹凸不平，其結(jié)構(gòu)一般中間高四周低。以下主要進(jìn)行不規(guī)則罐底量算法公式的推導(dǎo)。

2.1 測(cè)量點(diǎn)的確定及標(biāo)高測(cè)量

測(cè)量點(diǎn)是在罐底確定等面積同心圓周長(I，II，III…，m)和相鄰?qiáng)A角相同的半徑(0-1，0-2，0-3，…，0-n)的交點(diǎn)[3](詳見JJG168-2018)。

設(shè)R為基圓半徑，罐底由內(nèi)向外的m個(gè)圓環(huán)的半徑分別為：

將水準(zhǔn)儀架設(shè)在罐底中心點(diǎn)附近，如圖2所示[4]，用標(biāo)高尺直立于各測(cè)量點(diǎn)、罐底中心點(diǎn)和下計(jì)量基準(zhǔn)點(diǎn)，由水準(zhǔn)儀讀出標(biāo)尺讀數(shù)，記錄各測(cè)量點(diǎn)標(biāo)高Bm,n，B0，B基。

圖2 測(cè)量點(diǎn)標(biāo)高示意圖

2.2 底量計(jì)算公式推導(dǎo)

為了公式推導(dǎo)易于理解和推算，先計(jì)算各同心圓圓周上的測(cè)量點(diǎn)標(biāo)高Bm，n的算術(shù)平均值Bm，然后再計(jì)算出Bm、B0、B基相對(duì)罐底最低點(diǎn)的實(shí)高h(yuǎn)m(m=1…m)，h0，h基，設(shè)R為罐基圓半徑，罐底凹和凸兩種情形下各圓環(huán)體積見圖3。

圖3 各圓環(huán)體積

根據(jù)圖3所示，各陰影部分體積(即各圓環(huán)對(duì)應(yīng)的容量)由內(nèi)向外分別為：

式中罐底如圖3(a)V11為0，如圖3(b)V12為0。

……

以上各項(xiàng)相加得罐底量容積[5]：

(2)

對(duì)于任一編表高度hd(相對(duì)于下計(jì)量基準(zhǔn)點(diǎn)高度)對(duì)應(yīng)罐底交點(diǎn)d，如圖4所示，d點(diǎn)相對(duì)于罐底最低點(diǎn)高度為hd+h基，其相對(duì)于同心圓測(cè)量點(diǎn)hm高度為:

圖4 任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)容積局部示意圖

h=hd+h基-hm

(3)

將h基-hm=Bm-B基代入(3)式 得h=hd+Bm-B基

從圖4可以看出：當(dāng)hd+Bm-B基>0時(shí)，Bm對(duì)應(yīng)的罐底點(diǎn)在d點(diǎn)之下，其對(duì)應(yīng)的圓環(huán)陰影部分體積是高度hd編表的一部分；當(dāng)hd+Bm-B基≤0時(shí)，Bm對(duì)應(yīng)的罐底點(diǎn)在d點(diǎn)之上，其對(duì)應(yīng)的圓環(huán)陰影部分體積不是hd高度編表的一部分剔除。設(shè)自定義函數(shù)：

把自定義函數(shù)和同心圓個(gè)測(cè)量點(diǎn)算術(shù)平均值公式代入(2)式可得規(guī)程中的公式：

(4)

其中：

ΔVB為罐底容量，高度hd的函數(shù)；

hd為編制底量表液位高度(區(qū)間為下計(jì)量基準(zhǔn)點(diǎn)至罐底最高點(diǎn))；

R為罐基圓半徑；

B0,iB1,i…Bm,i為各測(cè)量點(diǎn)標(biāo)高；

B基為下計(jì)量基準(zhǔn)點(diǎn)標(biāo)高；

F(hd,Bm,n,B基) 為自定義函數(shù)；

Fm(hd,Bm,i,B基)=

當(dāng)m=1時(shí)用下式計(jì)算：

(5)

3 算法分析及改進(jìn)

3.1 算法分析

根據(jù)自定義函數(shù)的定義，公式(5)的函數(shù)條件語句B0，i+hd≤B基則其第一項(xiàng)為0，公式(5)可簡化為：

利用公式(6)計(jì)算得底量數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 底量計(jì)算結(jié)果表

對(duì)照表1和表2數(shù)據(jù)可以看出，表2計(jì)算的數(shù)據(jù)在同心圓之間時(shí)數(shù)據(jù)存在較大的偏差。

3.2 算法的改進(jìn)

3.2.1 自定義函數(shù)中變量的修改

公式(4)的自定義函數(shù)測(cè)量點(diǎn)標(biāo)高Bm,i，m作為變量使用容易產(chǎn)生概念混淆，對(duì)于任一確定的被測(cè)量罐其對(duì)應(yīng)的等分圓個(gè)數(shù)為定值即m是常量。這里把測(cè)量點(diǎn)標(biāo)高定義為Bj,i(j=1…m,i=1…n)。

3.2.2 算法的改進(jìn)

通過上面分析驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，編表高度hd在同心圓周上時(shí)，這時(shí)公式(4)的計(jì)算結(jié)果正確，當(dāng)hd在j和j-1圓環(huán)之間時(shí)如圖5所示，其體積是使用πR2/m采用比例內(nèi)插求得(在圖5是Sa+Sb對(duì)應(yīng)的體積)而非線段a所對(duì)應(yīng)的圓環(huán)體積(Sa)。下面修改公式(4)的自定義函數(shù)來對(duì)這部分體積進(jìn)行修正。

圖5 局部容積放大示意圖

當(dāng)測(cè)量點(diǎn)圓環(huán)個(gè)數(shù)m>1且hd不在第一圓環(huán)上時(shí)，相鄰兩圓環(huán)周長可以認(rèn)為近似相等設(shè)為L，由圖5兩相似三角形可得：

a線段對(duì)應(yīng)的圓環(huán)面積為S=aL。

由公式(3)可知h=hd+Bj-B基hj-1-hj=Bj-Bj-1代入上式得：

重新定義自定義函數(shù)：

從函數(shù)的定義可看出ΔVB是從j+1圓周開始計(jì)算容積的設(shè)為VB，漏掉了一部分容積，設(shè)這部分容積為Vx，則罐底容量為：ΔVB=VB+Vx。其中Vx的取值如下：

當(dāng)m=1時(shí)加上求和公式可用下面公式計(jì)算：

利用上式計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 底量計(jì)算結(jié)果表

對(duì)比表1、表2和表3的計(jì)算數(shù)據(jù)可看出，經(jīng)過修正后的表3的計(jì)算數(shù)據(jù)更接近表1的計(jì)算數(shù)據(jù)(真值)，達(dá)到了修改的目的。上面對(duì)修改后公式的驗(yàn)證雖然是采用m=1特例來驗(yàn)證的，但修正公式是按照一般性通用公式來推導(dǎo)的，適用于任何錐形底(或類錐形底)罐底量的計(jì)算。

4 結(jié)束語

通過儲(chǔ)罐檢定幾何法計(jì)算公式的分析推演，找出計(jì)算結(jié)果存在偏差的原因，并對(duì)該算法計(jì)算結(jié)果局部存在偏差的問題給出修正方法。通過修正數(shù)據(jù)偏差提高了底量表的準(zhǔn)確度，使計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確與合理。雖然計(jì)算過程有點(diǎn)繁瑣，但利用計(jì)算機(jī)編程很容易實(shí)現(xiàn)。