基于數(shù)學核心素養(yǎng)的“一元二次不等式的解法（1）”教學設(shè)計

☉上海大學附屬中學 顧晨曦

基于數(shù)學核心素養(yǎng)的“一元二次不等式的解法（1）”教學設(shè)計

☉上海大學附屬中學 顧晨曦

一、引言

高中數(shù)學新一輪課標的修訂接近尾聲，本次修訂的總目標是發(fā)展“四基、四能、形成六大數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象，邏輯推理，數(shù)學建模，數(shù)學運算，直觀想象，數(shù)據(jù)分析”.在新課改下數(shù)學課堂教學應(yīng)該呈現(xiàn)什么？應(yīng)該教什么？怎樣才能促進形成六大數(shù)學核心素養(yǎng)？

這些都是需要探討的問題.本文嘗試針對滬教版高一第一學期2.2一元二次不等式的解法（第一課時），基于數(shù)學核心素養(yǎng)進行教學設(shè)計，以期初探高中新課標下教學設(shè)計討論的大門，也為其他關(guān)于數(shù)學核心素養(yǎng)問題的討論起拋磚引玉的作用.

二、設(shè)計目標和思路

本課的設(shè)計力求通過實際問題的解決提升學生的操作數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的能力，在這個過程中，培養(yǎng)數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)；通過圖形計算器繪制函數(shù)圖像，編制不等式求解的數(shù)學活動，讓學生從探索問題中使用歸納推理，完成從具體問題到數(shù)學方法的歸納過程，貫穿一元二次不等式與二次函數(shù)，一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，進行合理的推斷和直觀想象；利用學生當堂生成的題目，進行數(shù)學運算的訓練，掌握一元二次不等式的解法.

三、教學過程

1.引入：利用數(shù)學實驗構(gòu)建數(shù)學模型，初探數(shù)據(jù)分析的魅力

問題：一家面粉生產(chǎn)廠引進一條生產(chǎn)線，由于受設(shè)備成本、人工、不同產(chǎn)量運輸方式的不同等因素影響，這條生產(chǎn)線產(chǎn)出的面粉x噸，與每噸面粉的收益y萬元之間有如下關(guān)系：

x（噸）829111 y（萬元）15324488

如果你是該廠廠長，請你決定面粉產(chǎn)量在什么范圍內(nèi)可盈利？

利用圖形計算器（TI-nspire CX-C CAS）輸入數(shù)據(jù)，得到散點圖，利用回歸分析，擬合得出圖像解析式，（見下圖）根據(jù)實際意義，得到不等式：x2-8x+15≥0.

設(shè)計說明：俗話說“好的開始是成功的一半”，新課程的引入往往是最值得推敲的部分.對于本節(jié)課的引入，是采取情境引入法？還是直接利用一元二次方程的定義，將“等號”改為“不等號”類比引入？教材的設(shè)計采用了前者，意圖以期學生能把實際問題抽象為數(shù)學問題，并建立一元二次不等式求解，體會一元二次不等式解法的必要性.

在尊重教材對于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，筆者在引入時思考，既然需要“建?！?，不如將“建模”進行到底.不等式關(guān)系如何得出的？在學生今后面臨的實際工作和生活中，沒有人會給你明確的函數(shù)關(guān)系式，你面對的是信息，是數(shù)據(jù).這時，數(shù)據(jù)分析能力，數(shù)學抽象能力就起了很大作用.所以，筆者在引入中，采取只給出情境和數(shù)據(jù)的方法，抓住這個難得的機會，利用TI-nspire手持機，讓學生體會了一把真正的建模，在眾多未知因素面前，體會到現(xiàn)代技術(shù)在數(shù)據(jù)分析功能上的強大作用.

雖然在技術(shù)層面上，受課堂時間和高一學生知識儲備所限，這個建模不太嚴格，有些理想化，然而“不入園林，怎知春色如許？”本節(jié)課對于數(shù)學建模走入常規(guī)課堂做了一個初探.學生對于這種引入，也感到新穎，并且理解得也較有深度.在課堂上，學生主動提出對于模型中x取值范圍為正數(shù)的修正，在學生的對話中確定了范圍.在課后的統(tǒng)計中，100%的學生認為此課的引入形式具有創(chuàng)新性，84.2%的學生認為這種引入相比傳統(tǒng)形式“培養(yǎng)了數(shù)學建模的能力”，15.8%的學生表示對這個問題“說不清”，沒有學生在這個問題上選“否”.

2.新授：沒有例題的“例題講解”，邏輯推理得出解法

本節(jié)課對于一元二次不等式解法的講解，大膽采用了沒有一道教師預(yù)設(shè)例題的方法，由學生根據(jù)使用計算器繪制的函數(shù)圖像編制不等式形成例題，結(jié)合TI-nspire圖像跟蹤功能的使用，直觀地呈現(xiàn)了符合要求的解的區(qū)間.以下呈現(xiàn)幾個典型圖形以及相關(guān)問題串.

針對每個圖形，教師與學生依如下問題串對話：

請你根據(jù)這個函數(shù)圖像，編制一個不等式.

x軸上方（或下方）的點有什么共同特征？

這些點的橫坐標代表什么意義？

它們在x軸上投影的范圍有什么特點？

你能由此得到相應(yīng)的不等式的解集嗎？

設(shè)計說明：在解法的教授中，側(cè)重圖像法，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，體現(xiàn)數(shù)學符號語言和圖形語言的翻譯.學生利用計算器輔助學習，自主編制題目并求解，這些新鮮出爐的、自己創(chuàng)造的題目，更能引起學生的學習欲望.令課堂教學變得靈活生動起來，讓學生親自體驗到自己是課堂的主體，將數(shù)學運算的核心素養(yǎng)滲透到課堂的活動當中.

利用問題串，將學生的思維過程層層解構(gòu)，再在解法的得出中進行重組，在從特殊到一般的方法總結(jié)過程中，培養(yǎng)邏輯思維和推理能力.

在課堂上，即使是學習能力偏弱的學生，在圖形和問題串的幫助下，可以自行得出不等式的解集.筆者還提了這樣一個問題，“請根據(jù)圖形構(gòu)建一個解集為一個區(qū)間的不等式”，這個問題在課堂上激起了小小的浪花，學生慣性思維于解決諸如y＞0的問題，對于逆向的構(gòu)造問題，勢必陌生.此問題正是一個良好的訓練機會，契合了依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的邏輯推理要求.

3.練習：再探數(shù)學實驗，技術(shù)支撐你我的夢想

在本節(jié)課的練習部分，解含參不等式x2-3ax+2a2＜0借助圖形計算器，通過游標功能改變參數(shù)a的取值，得到不等式的解集.（見下圖）

設(shè)計說明：含參數(shù)的不等式解法一直是學生學習中的難點，而數(shù)學實驗作為數(shù)學建模的重要組成部分，隨著計算機的發(fā)展，日益凸顯其作用.根據(jù)數(shù)學教育家弗賴登塔爾所提倡的教學理念：“學一個活動最好的方法就是做”當代數(shù)學教育不能僅教給學生現(xiàn)成、靜態(tài)的數(shù)學，如何讓學生通過再創(chuàng)造體會到作為活動的數(shù)學？體會到數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程？數(shù)學實驗是一個絕佳的實施平臺.

通過圖形計算器中的游標功能，做出相應(yīng)的函數(shù)圖像，學生在實驗中發(fā)現(xiàn)a的取值范圍直接影響了題目的答案，形成分類討論的數(shù)學思想.這個過程所留下的印象在學生腦海中是深刻的，雖然花費了一定的時間，然而濃厚的興趣常常是維系長久的有創(chuàng)造的研究和學習的主要動力，在課堂的主陣地上給予學生探索的時間和機會，這個時間應(yīng)該說花得值.

4.小結(jié)：智能計算思維立意下的方法總結(jié)，授之于“方法”之“漁”

本節(jié)課的小結(jié)突破傳統(tǒng)，使用如下求解一元二次不等式的程序框圖進行方法總結(jié)：

設(shè)計說明：

智能計算思維被界定為一種運用計算機科學基本概念解決問題、設(shè)計系統(tǒng)以及理解人類行為的方式方法.在現(xiàn)代社會中，它是一種每個人都應(yīng)該有的應(yīng)用態(tài)度和技能.建立在學生信息課所學的基礎(chǔ)上，利用流程圖總結(jié)一元二次不等式的解法，意在示范學生一種解決問題的思維過程，是一種可得到通法通則的方法.如果說題目的解決是“授之于魚”，方法的教授是“授之于漁”，那么思維的過程則是形成方法的過程，“授之于漁”的“漁”.在這個過程中，通過分類，解決疑難，排除故障.在討論中修正解法，理解內(nèi)部的關(guān)系，形成系統(tǒng)思維的習慣.

四、教后反思

教學中，學生對于計算器使用的掌握比預(yù)想中要好，沒有因為計算器操作出現(xiàn)不必要的時間浪費.圖形計算器在本節(jié)課中讓學生深刻體會到了數(shù)學建模的強大作用，體會到了數(shù)形結(jié)合解題的必要性和便捷性，課堂對話中發(fā)現(xiàn)學生對于圖形法解不等式也理解得比較到位.當堂檢測中，學生可以獨立完成基礎(chǔ)題目，并自己糾錯和訂正，說出錯誤原因和正確做法，基本達到了本堂課的教學目標.對于Δ=0，Δ＜0的題目，學生掌握的不是太好，出錯率較高，約50%，在教材的設(shè)計上，這原屬于第二課時的內(nèi)容，在重組教材時，筆者將其放在了第一課時.這提示我們在重組教材時，應(yīng)關(guān)注學生在思維層次上的不同，給予學生更充分的內(nèi)化時間.

本節(jié)課主要存在的問題是，引入部分還是略長，所占篇幅削弱了正題的講解，是否應(yīng)該考慮更加簡潔實用？另外，也有教師提出建議，使用圖形計算器，便捷了，但削弱了對學生畫圖能力的訓練，畢竟考試時無法使用，所以在此處使用是否是一個好的選擇？其實，這些聲音的根本，求問的是一個一直困擾一線教師的問題：應(yīng)試與能力，如何雙贏？路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.