基于觀測(cè)器Lipschitz非線性系統(tǒng)魯棒控制方法

孫 延 修

(沈陽工學(xué)院 基礎(chǔ)課部, 遼寧 撫順 113122)

隨著科技發(fā)展,控制系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用越來越廣泛.在工業(yè)方面,被廣泛應(yīng)用到冶金、化工、機(jī)械制造等領(lǐng)域;在軍事方面,被廣泛應(yīng)用到航天、航空和航海等領(lǐng)域.伴隨控制理論和控制技術(shù)的發(fā)展,自動(dòng)控制系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域還在不斷擴(kuò)大,幾乎涉及生物、醫(yī)學(xué)、生態(tài)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等所有領(lǐng)域.狀態(tài)反饋控制是以系統(tǒng)狀態(tài)變量作為反饋量的反饋控制,能夠更加有效地針對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制,被廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)中.

在實(shí)際應(yīng)用中,存在系統(tǒng)狀態(tài)變量不易直接測(cè)量或只能測(cè)量一部分等問題,這給系統(tǒng)狀態(tài)反饋技術(shù)的實(shí)現(xiàn)帶來了一定的困難,因此基于狀態(tài)觀測(cè)器重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制的研究具有重要的意義.近年來針對(duì)觀測(cè)器的研究取得了許多成果[1-5],文獻(xiàn)[6]針對(duì)廣義互聯(lián)大系統(tǒng)進(jìn)行了研究,給出了系統(tǒng)區(qū)間觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)[7]針對(duì)不確定系統(tǒng)研究了基于觀測(cè)器的非脆弱反饋控制問題;文獻(xiàn)[8]研究了基于非脆弱觀測(cè)器的滑膜控制問題.文獻(xiàn)[9]針對(duì)不確定系統(tǒng),基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式工具,提出基于觀測(cè)器的非脆弱魯棒控制器方法.

本文針對(duì)一類Lipschitz非線性系統(tǒng)的魯棒控制方法進(jìn)行研究,利用線性矩陣不等式工具,將觀測(cè)器存在性問題及控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)換為線性矩陣不等式求解問題,給出了狀態(tài)觀測(cè)器與閉環(huán)控制系統(tǒng)同時(shí)漸近穩(wěn)定的充分條件,最后通過算例仿真對(duì)所提魯棒控制方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 問題描述

考慮如下非線性系統(tǒng):

(1)

式中:x(t)∈n為狀態(tài)向量;u(t)∈m;y(t)∈p分別是系統(tǒng)的輸入和輸出;Φ(x,t)為滿足Lipschitz條件的非線性項(xiàng);A,B,C均為已知適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.

假設(shè)1 非線性項(xiàng)Φ(x,t)滿足Lipschitz條件,且

‖Φ(x1,t)-Φ(x2,t)‖≤α‖x1-x2‖,

常數(shù)α為Lipschitz常數(shù).

假設(shè)2 非線性系統(tǒng)(1)可控且可觀測(cè).

引理1[10]若x,y∈n,A,B∈n×n,則對(duì)應(yīng)任意給定的λ>0,如下不等式成立:

2xTABy≤λxTAATx+λ-1yTBTBy.

等價(jià)于

或

非線性系統(tǒng)(1)的觀測(cè)器可以設(shè)計(jì)為:

(2)

(3)

(4)

根據(jù)式(3)和式(4)可以構(gòu)造如下增廣系統(tǒng):

(5)

若增廣系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定,則可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)基于狀態(tài)觀測(cè)器的魯棒控制.

2 主要結(jié)果

定理1 當(dāng)系統(tǒng)(1)中非線性項(xiàng)Φ(x,t)=0時(shí),若存在對(duì)稱正定矩陣P∈n×n,Q∈n×n,增益矩陣K∈m×n,L∈n×p,滿足如下不等式:

(6)

則系統(tǒng)(1)基于狀態(tài)觀測(cè)器(2),可實(shí)現(xiàn)魯棒控制,其中觀測(cè)器增益矩陣與控制器增益矩陣分別為

L=Q-1CT;K=BTP.

證明 設(shè)V=xTPx+eTQe,則有

式中,

令L=Q-1CT,K=BTP則有,

根據(jù)引理2知,M<0等價(jià)于不等式(6),這時(shí)M<0閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,證明完畢.

定理2 若系統(tǒng)(1)中的非線性項(xiàng)Φ(x,t)≠0時(shí),存在對(duì)稱正定矩陣P∈n×n,Q∈n×n,增益矩陣K∈m×n,L∈n×p,滿足如下矩陣不等式:

(7)

則基于狀態(tài)觀測(cè)(2)可采用狀態(tài)反饋控制器,從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)的魯棒控制,其中觀測(cè)器增益矩陣與控制器增益矩陣分別為:

L=Q-1CT,K=BTP.

根據(jù)假設(shè)1和引理1知,

所以,

令L=Q-1CT,K=BTP,則有,

注 定理以線性矩陣不等式(LMI)的形式給出了增廣系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,既保證了系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的存在性,也使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,達(dá)到了基于觀測(cè)器的魯棒控制目的,同時(shí)給出了增益矩陣的具體形式,避免了觀測(cè)器及控制器增益矩陣求解的盲目性.

3 數(shù)值仿真

考慮非線性系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下:

通過MATLAB里的LMI工具箱,可以計(jì)算出基于觀測(cè)器的非線性系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益矩陣和觀測(cè)器的增益矩陣.

1) 當(dāng)非線性項(xiàng)Φ(x,t)=0時(shí),

其狀態(tài)反饋響應(yīng)曲線如圖1所示,狀態(tài)觀測(cè)誤差曲線如圖2所示.

圖1 狀態(tài)反饋響應(yīng)曲線Fig.1 The response curve of state feedback

圖2 狀態(tài)觀測(cè)誤差曲線Fig.2 The error curve of state observation

2) 當(dāng)非線性項(xiàng)Φ(x,t)≠0時(shí),取α=0.2,則可以計(jì)算出如下增益矩陣

其狀態(tài)反饋響應(yīng)曲線如圖3所示,狀態(tài)觀測(cè)誤差曲線如圖4所示.

圖3 狀態(tài)反饋響應(yīng)曲線Fig.3 The response curve of state feedback

圖4 狀態(tài)觀測(cè)誤差曲線Fig.4 The error curve of state observation

由圖1～圖4可以看出,設(shè)計(jì)的基于觀測(cè)器的魯棒控制器可以使系統(tǒng)在一定的時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定,表明了文中所提方法的有效性.

4 結(jié) 語

考慮到部分系統(tǒng)狀態(tài)不易測(cè)量等特點(diǎn),設(shè)計(jì)了基于狀態(tài)觀測(cè)器的魯棒控制器.以線性矩陣不等式形式給出了系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器和基于觀測(cè)器的魯棒控制器存在的充分條件,并給出了觀測(cè)器及控制器增益矩陣的具體形式便于求解,最后通過仿真算例證明了基于狀態(tài)觀測(cè)器魯棒控制方法的有效性.