基于優(yōu)化后灰色模型的庫瑪拉克河年徑流量預(yù)測分析

劉新華，劉 斌，張桂林

（1.新疆塔里木河流域阿克蘇管理局，新疆 阿克蘇 843300；2.新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木工程學(xué)院，烏魯木齊 830052）

水資源是人類生存和發(fā)展不可缺少的自然資源，是維系干旱內(nèi)陸河生態(tài)安全的關(guān)鍵要素。HADDELAND等[1]通過氣候變化情景分析預(yù)測水循環(huán)變化，進而發(fā)現(xiàn)水資源在時間和空間上分配十分不均，研究徑流量的變化特征與規(guī)律對流域水資源綜合管理至關(guān)重要。徑流量受自然因素和人為因素的影響，它的變化規(guī)律既有確定性，也有隨機性[2]。

河川徑流量的預(yù)測方法有很多，常用的有小波分析、遺傳算法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、GM(1,1)等。各種方法均有優(yōu)劣，要根據(jù)氣候、環(huán)境、樣本數(shù)據(jù)等情況選擇適當(dāng)?shù)念A(yù)測方法。本文采用優(yōu)化的灰色模型對阿克蘇河的主要支流庫瑪拉克河年徑流量進行預(yù)測。早在1982年，灰色系統(tǒng)理論由學(xué)者鄧聚龍在國際上第一次提出[3]。1992年，劉毅等[4]以灰色預(yù)測為基礎(chǔ)，提出灰色拓撲模型，并將其應(yīng)用在長江三峽水利工程科研工作中。歐建鋒[5]針對水利現(xiàn)代化影響因素的復(fù)雜、可用信息相對單一的特點，運用灰色模型對江蘇水利現(xiàn)代化進程進行預(yù)測，得到今后10年的江蘇水利現(xiàn)代化發(fā)展水平。2019年，李強等[6]利用灰色分析法對我國水資源發(fā)展現(xiàn)狀進行預(yù)測。傳統(tǒng)的GM(1,1)是一種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念A(yù)測模型，它忽略了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析，預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)一次增大或減小的現(xiàn)象?；疑負淠Ｐ徒鉀Q了傳統(tǒng)GM(1,1)缺乏波動性的缺點，但其本身缺乏波峰、波谷的趨勢性預(yù)測。

本文通過提出優(yōu)化的GM(1,1)，結(jié)合傳統(tǒng)GM(1,1)對徑流量波峰、波谷的趨勢預(yù)測和灰色拓撲模型對時間的周期性預(yù)測特點，對庫瑪拉克河2020-2029年徑流量進行預(yù)測。同時利用2017年、2018年、2019年的徑流量數(shù)據(jù)（53.6億m3、40.25億m3、40.88億m3）對優(yōu)化后的GM(1,1)進行校核，得到更加可靠的預(yù)測結(jié)果，為阿克蘇地區(qū)水資源的管理和調(diào)控提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

1 優(yōu)化的灰色預(yù)測模型

1.1 方法簡介

灰色模型是一種研究貧信息、小樣本和不確定性的方法[7]。但是，灰色預(yù)測模型是一種特定的指數(shù)曲線，它只能預(yù)測出徑流量的變化趨勢性，無法對徑流量的波動性進行預(yù)測。同時，原始數(shù)據(jù)的波動性對灰色模型的預(yù)測精度有一定影響[8]，在平均值上下浮動超過5%時，傳統(tǒng)的GM(1,1)得到的預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)一次增加或減少，對波動起伏大且不規(guī)則變化的樣本來說，預(yù)測結(jié)果誤差較大[9]。

灰色拓撲模型又稱波型預(yù)測，是對一個變化不規(guī)律的樣本數(shù)據(jù)進行預(yù)測，反映系統(tǒng)的起伏波動狀況[10]。灰色拓撲模型的預(yù)測結(jié)果具有隨機性，但它的預(yù)測結(jié)果缺乏趨勢性，并且當(dāng)選擇閾值對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)太少時，預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)缺漏，當(dāng)閾值對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)過多時，一年內(nèi)會出現(xiàn)多個徑流量預(yù)測結(jié)果。

優(yōu)化的GM(1,1)通過把傳統(tǒng)的GM(1,1)與灰色拓撲模型相結(jié)合，使其擁有趨勢性和波動性的預(yù)測特點，保證徑流量的預(yù)測結(jié)果更加接近實際變化情況。

1.2 GM(1,1)模型

灰色模型具有微分、差分、指數(shù)兼容的性質(zhì),即灰色模型通過建立差分方程，推導(dǎo)出微分方程，得到具有指數(shù)性質(zhì)的時間響應(yīng)函數(shù)對原始數(shù)據(jù)進行擬合和預(yù)測[11]。一階累加時，設(shè)變量為X(0)的原始數(shù)據(jù)序列為：

生成一階累加數(shù)列，即

其中，x(1)(n)滿足以下條件：

令矩陣Y和矩陣B滿足以下條件：

由式（4）和式（5）可得，a的最小二乘法估計a^為：

參數(shù)b滿足以下條件：

式（7）被稱為灰微分方程的白化方程，則白化微分方程的解（時間響應(yīng)函數(shù)）為：

累減還原預(yù)測公式為：

GM(1,1)的精度檢驗流程如下：求出GM(1,1)的原始序列方差、殘差序列方差后驗差比值C、小誤差概率P，根據(jù)表1確定模型精度級別。模型精度級別=Max{C所處級別，P所處級別}[12]。

表1 模型精度等級

1.3 灰色拓撲模型

第一步，X(0)(k)為徑流量原始序列，根據(jù)點(k,X(0)(k))在平面上描繪出一條曲線，X(0)(k)中最大值記為maxX(0)，最小值記為minX(0)，平面上給定一系列均勻的閾值λi，i=1,2,…,m，則有minX(0)≤λi≤maxX(0)。對于每一個閾值λi，有映射λi:{X(0)}→{t(0)i}，其中，t(0)i(k)是水平線λi與曲線X(0)相交第k個點的橫坐標(biāo)值；有映射Q:{t(0)i,λi}→{t(0)i(k)}，k=1,2,…,n，Q為橫坐標(biāo)的投影算子，即t(0)i(k)={t(0)i(1),t(0)i(2),…,t(0)i(ni)}。對每一個t(0)i建立優(yōu)化的GM(1,1)模型[13]。

第二步，求出后驗差比值C和小誤差概率C，通過表1查C和P的值確定預(yù)測模型的精度。

第三步，利用GM(1,1)對時間數(shù)據(jù)進行預(yù)測，把預(yù)測時間與對應(yīng)的閾值描繪在平面上，得到灰色拓撲模型曲線。

1.4 優(yōu)化的GM(1,1)

步驟一，確定一個隨時間變化的徑流量樣本數(shù)據(jù)。令X(0)滿足以下條件：

式中：x(0)(n)為第n年的徑流量。

步驟二，劃分范圍。若徑流量樣本中出現(xiàn)|X(0)-≥5%，則會導(dǎo)致灰色模型的預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)指數(shù)上升或指數(shù)下降，這樣得到的預(yù)測結(jié)果不具有參考意義，但是實際情況下，在幾十年的徑流量樣本中基本都會出現(xiàn)|X(0)-X—|/X—≥5%這種狀況。所以，要以樣本平均值的10%進行范圍劃分，其分別為A1、B1、…、Z1。令三者滿足以下條件：

步驟三，確定樣本。尋找步驟二中得到的多個徑流量樣本和與之對應(yīng)的時間樣本。

閥域A1的徑流量樣本與時間樣本分別為：

式中：La為徑流量樣本；Ta為時間樣本；l(0)(a1)為在閥域A1里面最小的實測徑流量數(shù)據(jù)，其他以此類推；t(0)(a1)為在閥域A1里面最小的實測徑流量對應(yīng)的年份，其他以此類推。

閥域B1的徑流量樣本與時間樣本分別為：

式中：Lb為徑流量樣本；Tb為時間樣本；l(0)(b1)為在閥域B1里面最小的實測徑流量數(shù)據(jù)，其他以此類推；t(0)(b1)為在閥域B1里面最小的實測徑流量對應(yīng)的年份，其他以此類推。

閥域Z1的徑流量樣本與時間樣本分別為：

式中：Lz為徑流量樣本；Tz為時間樣本；l(0)(z1)為在閥域Z1里面最小的實測徑流量數(shù)據(jù)，其他以此類推；t(0)(z1)為在閥域Z1里面最小的實測徑流量對應(yīng)的年份，其他以此類推。

步驟四，樣本疊加。對時間樣本中的原始數(shù)據(jù)進行疊加，從而削弱原始數(shù)據(jù)的隨機性，發(fā)現(xiàn)樣本的規(guī)律[14]。閥域Z1的疊加結(jié)果為：

步驟五，參數(shù)Z(1)(zk)滿足以下條件：

令矩陣Y和矩陣B滿足以下條件：

由式（26）和式（27）可得，a的最小二乘法估計為：

步驟六，把式（28）寫成離散形式：

式（29）被稱為GM(1,1)的時間函數(shù)模型，再經(jīng)過累減運算可得到原始數(shù)列t(0)的預(yù)測模型：

步驟七，精度檢驗。求后驗差比值C和小誤差概率P，根據(jù)表1得到模型精度。

步驟八，對徑流量樣本A1、B1、…、Z1建立GM(1,1)函數(shù)。重復(fù)第四步到第七步的過程，得到徑流量GM(1,1)函數(shù)。

步驟九，把不在樣本數(shù)據(jù)中的已知徑流量數(shù)據(jù)與通過模型得到的預(yù)測值做對比，分析模型精度。

步驟十，把時間模型和徑流量模型預(yù)測結(jié)果一一對應(yīng)，得到徑流量預(yù)測結(jié)果。

2 模型應(yīng)用

2.1 研究區(qū)概況

庫瑪拉克河位于新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)，處于亞歐大陸腹地，降雨量少、日照強、蒸發(fā)量大，屬于大陸性氣候。該河流發(fā)源于天山西段中部的汗騰格里峰西北坡，流域流經(jīng)吉爾吉斯斯坦和哈薩克斯坦進入我國境內(nèi)，主要水文斷面有協(xié)合拉渠首、土木秀克分水閘、多浪渠首。其中，協(xié)合拉引水樞紐位于庫瑪拉克河出山口，是庫瑪拉克河流入我國境內(nèi)的水文站。根據(jù)協(xié)合拉水文站1958-2019年的監(jiān)測數(shù)據(jù)，庫瑪拉克河的多年平均徑流為48.48億m3，其中1958-1977年屬于顯著的枯水階段，1978-1994年屬于平水階段，1995-2008年屬于顯著的豐水段，2009-2017年屬于平水階段?？菟掷m(xù)時間大于豐水持續(xù)時間。在年內(nèi)變化中，一般8月徑流量最大，平均達到500 m3/s，2月或3月徑流量最小，一般僅為27 m3/s，其余月份一般在100 m3/s以上。庫瑪拉克河流域分布如圖1所示。

圖1 庫瑪拉克河流域分布

2.2 模型建模

把庫瑪拉克河1993-2016年的徑流量數(shù)據(jù)作為樣本，對未來庫瑪拉克河2020-2029年的徑流量進行預(yù)測?？傮w樣本徑流量序列如式（1）所示。由原始徑流量樣本數(shù)據(jù)可得樣本均值x—=52.15。為了防止|X(0)-≥5%這種情況的出現(xiàn)，把區(qū)間大小定為5.00＜0.1=5.22。根據(jù)徑流量樣本數(shù)據(jù)的特征，把樣本數(shù)據(jù)分為5個區(qū)間，即A1=[36.98,45]、B1=[45,50]、C1=[50,55]、D1=[55,60]、E1=[60,69.55]。同時，把徑流量對應(yīng)的時間作為樣本，得到時間樣本A2、B2、C2、D2、E2。徑流量樣本和時間樣本如圖2所示。

圖2 實測數(shù)據(jù)區(qū)域劃分

根據(jù)5個時間樣本的周期性預(yù)測和徑流量樣本的趨勢性預(yù)測，可以得到10個GM(1,1)函數(shù)，并進行模型精度檢驗，模型精度級別=Max{C所處級別，P所處級別}[12]，檢驗結(jié)果如表2所示，10個GM(1,1)函數(shù)中，80%的預(yù)測模型精度達到優(yōu)秀。優(yōu)化后的GM(1,1)平均誤差為0.98億m3，相對誤差為2.1%，傳統(tǒng)GM(1,1)的平均誤差為4.65億m3，相對誤差為9.1%。根據(jù)《水文情報預(yù)報規(guī)范》（SL 250—2000），誤差在允許范圍內(nèi)[15]。

表2 預(yù)測模型及精度檢驗

3 結(jié)果與分析

3.1 預(yù)測結(jié)果

采用優(yōu)化的GM(1,1)對庫瑪拉克河2020-2029年徑流量進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果保留了原始數(shù)據(jù)的震蕩性和趨勢性。預(yù)測數(shù)據(jù)顯示，豐水年出現(xiàn)在2025年（60.87億m3），枯水年出現(xiàn)在2021年、2024年、2026、2029年（41.32億m3、41.88億m3、44.7億m3、42.44億m3）。庫瑪拉克河2020-2029年徑流量預(yù)測結(jié)果如表3所示。

表3 庫瑪拉克河預(yù)測結(jié)果

3.2 模型結(jié)果對比分析

把優(yōu)化GM(1,1)、傳統(tǒng)GM(1,1)、灰色拓撲模型的1993-2016年預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)對比，優(yōu)化后的GM(1,1)預(yù)測結(jié)果與實測徑流量的擬合度高于傳統(tǒng)GM(1,1)和灰色拓撲模型。傳統(tǒng)GM(1,1)在1994年以后呈現(xiàn)減函數(shù)的趨勢和灰色拓撲波形后移的現(xiàn)象。由此可得，優(yōu)化后的GM(1,1)與傳統(tǒng)的GM(1,1)和灰色拓撲模型相比更加適合徑流量的預(yù)測。優(yōu)化后的GM(1,1)、傳統(tǒng)GM(1,1)、灰色拓撲模型的1993-2016年預(yù)測數(shù)據(jù)與徑流量實測數(shù)據(jù)對比如圖3所示。

圖3 模型預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)對比

將2017年、2018年、2019年的優(yōu)化GM(1,1)、傳統(tǒng)GM(1,1)、灰色拓撲模型的預(yù)測結(jié)果與實測徑流量做對比，對比結(jié)果如表4所示。優(yōu)化后的GM(1,1)具有較好的模擬效果，相對誤差為5%，遠低于傳統(tǒng)的GM(1,1)（相對誤差10.3%）和灰色拓撲預(yù)測（相對誤差20.7%）。2017-2019年的實測與預(yù)測徑流量做對比，優(yōu)化后的GM(1,1)精度高于傳統(tǒng)的GM(1,1)和灰色拓撲預(yù)測。

表4 各模型預(yù)測結(jié)果對比

4 結(jié)論

本文以新疆庫瑪拉克河協(xié)合拉水文站1993-2016年實測徑流量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用優(yōu)化的GM(1,1)對該河流2020-2029年徑流量進行預(yù)測。結(jié)果表明，優(yōu)化的GM(1,1)預(yù)測結(jié)果平均誤差為0.98億m3，相對誤差為2.1%，符合水文預(yù)報規(guī)范要求，且優(yōu)于傳統(tǒng)的GM(1,1)預(yù)測結(jié)果（平均誤差4.65億m3，相對誤差9.1%）。同時，把2017年、2018年、2019年預(yù)測結(jié)果與實測結(jié)果做對比，優(yōu)化后的GM(1,1)精度高于傳統(tǒng)GM(1,1)和拓撲模型。庫瑪拉克河在未來10年中出現(xiàn)4個枯水年（2021年、2024年、2026年和2029年），豐水年出現(xiàn)在2025年，豐水年占比遠低于枯水年，因此地區(qū)要提前做好水資源規(guī)劃及相關(guān)政策應(yīng)對未來10年可能出現(xiàn)的水資源短缺現(xiàn)象。試驗證明，這種方法更適用于徑流量預(yù)測，但是本次研究只考慮了徑流量的多年變化規(guī)律，未在模型中考慮地形、環(huán)境、天氣等因素對徑流量的影響，要加強這方面的研究。