基于EKF的PMSM滑模控制策略研究*

苗敬利，于俊林，馬晨浩，孫立城，張書華

(河北工程大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，河北 邯鄲 056038)

0 引言

得益于稀土永磁材料及電力電子技術(shù)的發(fā)展，永磁同步電機(jī)(PMSM)以其質(zhì)量輕、效率高、體積小等優(yōu)勢(shì)在各領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]，然而在應(yīng)用中存在位置傳感器維護(hù)成本昂貴、安裝空間受限等問題。因此，在PMSM控制領(lǐng)域中關(guān)于無傳感器的研究一直受到國內(nèi)外專家學(xué)者的重視。

現(xiàn)階段，研究人員針對(duì)無傳感器控制問題提出多種有效算法，以進(jìn)行PMSM轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的估計(jì)，如SMO(滑模觀測(cè)器)，其優(yōu)點(diǎn)在于具有良好的魯棒性，便于實(shí)現(xiàn)，缺點(diǎn)是對(duì)電機(jī)相關(guān)參數(shù)估計(jì)不穩(wěn)定[2]。MRAS(模型參考自適應(yīng)系統(tǒng))由自適應(yīng)率、參考模型、可調(diào)模型組成控制策略，但難以適應(yīng)參數(shù)，魯棒性較差[3]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法有效地提高了電機(jī)控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性，但其計(jì)算量大，實(shí)際應(yīng)用尚不成熟[4]。EKF(擴(kuò)展卡爾曼濾波)可實(shí)時(shí)跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行有效輸出，同時(shí)可減少干擾、抑制噪聲，即使當(dāng)噪聲估算不準(zhǔn)確時(shí)，依舊能夠讓觀測(cè)器收斂[5]。

滑?？刂谱鳛檫m用廣泛的自動(dòng)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，它的主要功能是對(duì)趨近律進(jìn)行設(shè)計(jì)以及滑模面的選取，并且與控制對(duì)象的參數(shù)、外界擾動(dòng)無關(guān)[6]。二階超螺旋滑?？刂?STSM)算法只需要滑模變量，并且具有很強(qiáng)的魯棒性，已成功應(yīng)用于電機(jī)的驅(qū)動(dòng)控制[7]。

本文以擴(kuò)展卡爾曼濾波算法為基礎(chǔ)，建立基于EKF算法的估算轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)高階滑?？刂评碚摚O(shè)計(jì)二階超螺旋滑?？刂破魅〈鶳I控制器作為電流環(huán)調(diào)節(jié)器，并給出了收斂和穩(wěn)定條件。

1 PMSM的數(shù)學(xué)建模

EKF算法可用于PMSM作為一種狀態(tài)觀測(cè)器，本文基于其電機(jī)模型選用靜止坐標(biāo)系搭建數(shù)學(xué)模型以降低其計(jì)算時(shí)間和非線性程度，提高估算精度。

表貼式三相PMSM在靜止坐標(biāo)系下的電壓方程為[8]：

(1)

其中：uα、uβ為定子電壓在α、β軸上的分量；iα、iβ為定子電流在α、β軸上的分量；R為定子電阻；Ls為定子電感；ωe為轉(zhuǎn)子角速度；φf為永磁轉(zhuǎn)子磁通；θe為轉(zhuǎn)子位置。

將式(1)變換為電流方程，可得:

(2)

考慮到式(3)所示的關(guān)系式：

(3)

可以獲得如下的狀態(tài)方程：

(4)

y=Cx.

(5)

其中：

(6)

(7)

(8)

式(4)和式(5)是非線性的，此非線性使得式(4)和式(5)必須采用EKF算法將其離散化，搭建整體的數(shù)學(xué)模型為：

x(k+1)=f[x(k)]+B(k)u(k)+V(k).

(9)

y(k)=C(k)x(k)+W(k).

(10)

其中：C(k)為觀測(cè)矩陣；V(k)為系統(tǒng)噪聲；W(k)為測(cè)量噪聲。

假設(shè)V(k)和W(k)均為白噪聲，即有:

E{V(k)}=0,E{W(k)}=0.

(11)

其中：E{ }表示數(shù)學(xué)期望值。

在EKF算法的遞推計(jì)算中，并不直接利用噪聲矢量V和W，而是需要利用V的協(xié)方差矩陣Q以及W的協(xié)方差矩陣R。協(xié)方差矩陣Q和R被定義為:

(12)

假設(shè)V(k)和W(k)兩者互不相關(guān)，初始時(shí)刻下的計(jì)算狀態(tài)x(0)是隨機(jī)矢量，與V(k)和W(k)也互不相關(guān)。

2 擴(kuò)展卡爾曼濾波器的狀態(tài)估計(jì)

EKF的狀態(tài)估計(jì)大致分為預(yù)測(cè)階段和校正階段，具體步驟如下：

(13)

(14)

(3)計(jì)算誤差協(xié)方差矩陣，即：

(15)

其中：

(16)

結(jié)果為:

(17)

(4)計(jì)算EKF的增益矩陣K(k+1)，即有：

(18)

(19)

這一步驟稱為校正的狀態(tài)估計(jì)，即為“濾波”。

(6)為了下一次的估計(jì)，要預(yù)先計(jì)算出誤差協(xié)方差矩陣，即有：

(20)

3 Super-twisting滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

超螺旋(Super-twisting)滑模算法又稱為二階滑?？刂扑惴ǎ渥陨韺?duì)滑模抖振具有較強(qiáng)的抑制能力以及魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)。

對(duì)于一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)[9]：

我們國家近十幾年來中小學(xué)校不斷推廣尤其在發(fā)達(dá)的沿海形成北京、上海、深圳、杭州、武漢等地創(chuàng)辦不同的社會(huì)實(shí)踐基地，深圳市寶安區(qū)有社會(huì)實(shí)踐基地但主要任務(wù)是接受來自深圳各個(gè)中學(xué)生來體驗(yàn)陶瓷拉坯、陶瓷盤泥、陶瓷繪制、陶瓷燒成、陶瓷樣品觀賞推動(dòng)這一片區(qū)對(duì)陶瓷發(fā)展拓寬將起到一定的作用。

(21)

其中：x為狀態(tài)變量；u為控制輸入量；y為輸出量；a、b、c均為未知函數(shù)。

u=-kP|s|rsgn(s)+u1.

(22)

且

(23)

其中：kP、kI、r為待設(shè)計(jì)參數(shù)，kP>0，kI>0。

Super-twisting滑?？刂破鞑恍枰Ｗ兞康膶?dǎo)數(shù)，在滑模面上收斂和穩(wěn)定的充分必要條件[10]為：

(24)

其中：AM、BM、Bm為正整數(shù)，且滿足不等式AM≥|A|、BM≥B≥Bm，A、B為輸出量y的二階導(dǎo)數(shù)的上限和下限。

因此，Super-twisting電流滑模控制器設(shè)計(jì)如下：

(25)

圖1 Super-twisting滑?？刂破骺驁D

圖2 基于EKF的PMSM矢量框圖

4 仿真分析與驗(yàn)證

4.1 仿真模型搭建及參數(shù)設(shè)定

利用MATLAB軟件在Simulink環(huán)境下搭建兩電平空間矢量調(diào)制(SVPWM)的PMSM仿真模型。EKF算法采用s函數(shù)編寫設(shè)計(jì)。電機(jī)部分參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM部分參數(shù)

永磁同步電機(jī)輸入量為靜止坐標(biāo)下的定子電壓與定子電流，輸出量為電機(jī)轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)子位置以及定子電流估計(jì)值。Simulink仿真采用定步長，采樣時(shí)間為10-6s。選用的協(xié)方差矩陣Q、R及誤差協(xié)方差陣初始值p0如下：

Super-twisting控制器分別設(shè)定參數(shù)kP=58和kI=3。

4.2 仿真結(jié)果分析

仿真時(shí)間為0.4 s，初始時(shí)刻的負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL=0 N·m，PMSM給定零速以空載啟動(dòng)上升到給定參考轉(zhuǎn)速1 000 r/min，到達(dá)0.2 s時(shí)突然負(fù)載轉(zhuǎn)矩變?yōu)門L=3 N·m，電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)值與實(shí)際值、電磁轉(zhuǎn)矩、三相電流和轉(zhuǎn)子位置的仿真結(jié)果如圖3所示。圖3(a)顯示從初始零速到達(dá)參考轉(zhuǎn)速，超調(diào)量很小，僅用0.015 s便達(dá)到穩(wěn)態(tài)，在0.2 s時(shí)遇到負(fù)載轉(zhuǎn)矩突然的增大，轉(zhuǎn)速也能很快恢復(fù)。圖3(b)、圖3(c)分別顯示電磁轉(zhuǎn)矩和三相電流的變化情況，圖3(d)為轉(zhuǎn)子位置估計(jì)值與實(shí)際值的變化曲線，估算曲線與實(shí)際曲線偏差較小，擬合情況良好，波形往返有規(guī)律性。

圖3 仿真結(jié)果

當(dāng)初始條件不變，0.2 s時(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)矩改為TL=0，轉(zhuǎn)速突然降為800 r/min，仿真結(jié)果如圖4所示。圖4中顯示轉(zhuǎn)速能在突然降速時(shí)很快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，平穩(wěn)狀態(tài)波動(dòng)范圍小，無超調(diào)，轉(zhuǎn)速跟蹤性能好，能夠滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求。

圖4 電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)值與實(shí)際值變化曲線

5 結(jié)論

在靜止坐標(biāo)系下搭建了基于PMSM的EKF算法和超螺旋算法的數(shù)學(xué)模型，在MATLAB環(huán)境中構(gòu)建仿真平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了EKF算法用于轉(zhuǎn)速與位置估計(jì)的無傳感器控制；并利用超螺旋算法設(shè)計(jì)的滑?？刂破魅〈鶳I控制器，進(jìn)一步削弱了系統(tǒng)的抖振和超調(diào)，縮短了動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間、提高了抗擾動(dòng)能力。經(jīng)過仿真，結(jié)果驗(yàn)證了該策略具有一定的實(shí)用性意義，能夠滿足實(shí)際電機(jī)的控制需求。然而該方法在估計(jì)精度和理論分析水平方面仍需進(jìn)一步提高，以實(shí)現(xiàn)更高的控制精度。