內(nèi)肋骨長艙段塑性總體穩(wěn)定性計(jì)算方法研究

邱昌賢，黃進(jìn)浩，秦 天，王 琨

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

0 引 言

由各國潛艇結(jié)構(gòu)的現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢可見，基于大分艙思想的單殼體長艙段結(jié)構(gòu)形式是一種成功的設(shè)計(jì)方案，可顯著減少輕外殼、舷間結(jié)構(gòu)及內(nèi)部艙壁的重量和裝配、焊接施工量，并為大型設(shè)備、模塊化平臺(tái)的縱向進(jìn)艙提供了極大便利，艙壁的減少也有利于線纜、管路的總體布置。單殼體圓柱殼艙段通常采用內(nèi)肋骨形式，與外肋骨相比，避免了肋骨受海水雙面腐蝕的不利狀況，其翼緣應(yīng)力有所增大，但結(jié)構(gòu)總體穩(wěn)定性理論上會(huì)比外肋更好，長艙段的長徑比（耐壓殼長度/直徑）往往比小分艙艙段大一倍以上，為保證總體穩(wěn)定性，常設(shè)置一根或多根特大肋骨（heavy frame）進(jìn)行加強(qiáng)，因此耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要解決普通肋骨內(nèi)置且?guī)卮罄吖堑膯螝んw長艙段結(jié)構(gòu)的總體穩(wěn)定性計(jì)算問題。

20世紀(jì)中葉起，英國的Kendrick博士[1]曾基于薄殼穩(wěn)定性理論研究了帶中部強(qiáng)肋骨的環(huán)肋圓柱殼外壓屈曲問題。美國Taylor水池進(jìn)行過大分艙環(huán)肋圓柱殼的精車模型試驗(yàn)研究[2]，采用14道工序?qū)⒅胁刻卮罄吖乔邢鳛椴煌慕孛嫘螤?，分別進(jìn)行無破壞試驗(yàn)（避免材料進(jìn)入塑性），以檢驗(yàn)具有不同扭轉(zhuǎn)、彎曲剛度的強(qiáng)肋骨的加強(qiáng)效果，試驗(yàn)中基于彈性應(yīng)變測量數(shù)據(jù)用Southwell法推算臨界壓力，該值與實(shí)際破壞壓力的誤差在4%以內(nèi)[3]，驗(yàn)證了強(qiáng)肋骨能代替重量大得多的內(nèi)部艙壁對長艙段起到支撐作用。Baruch和Singer[4-5]研究了肋骨偏心對端部簡支圓柱殼彈性失穩(wěn)壓力的影響，認(rèn)為與外肋相比，內(nèi)肋能將臨界壓力提高10%～15%。以上研究工作均局限于彈性穩(wěn)定性范疇，雖然取得了很有價(jià)值的學(xué)術(shù)成果但工程實(shí)用性不強(qiáng)。

近年來，國內(nèi)一些研究者基于規(guī)范方法和有限元分析，也得到了一些有意義的結(jié)論。丁海旭[6]對若干精車模型進(jìn)行了彈性穩(wěn)定性計(jì)算，給出了大肋骨與普通肋骨慣性矩之比與艙段總體穩(wěn)定性的關(guān)系；何福志[7]對Taylor水池的長艙段模型進(jìn)行了有限元分析，根據(jù)總體失穩(wěn)壓力—框架肋骨慣性矩關(guān)系曲線搜索大肋骨最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)；宋世偉[8]采用Abaqus分析了環(huán)肋圓柱殼長艙段的穩(wěn)定性規(guī)律，研究了現(xiàn)行規(guī)范在不同參數(shù)范圍內(nèi)的求解適用性；邱昌賢[9]基于矩形截面壓桿的雙模量理論和高強(qiáng)度鋼的材料彈塑性本構(gòu)關(guān)系，建立了環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)總體穩(wěn)定性塑性修正曲線及修正方法。

參照國內(nèi)外文獻(xiàn)及研究經(jīng)驗(yàn)，針對現(xiàn)有方法的局限性，作者在結(jié)構(gòu)上考慮肋骨偏心的影響，在材料上考慮高強(qiáng)度鋼的彈塑性本構(gòu)關(guān)系，利用Ritz法對環(huán)肋內(nèi)置且含特大肋骨的單殼體長艙段結(jié)構(gòu)在靜水外壓下的彈塑性穩(wěn)定性計(jì)算方法進(jìn)行理論研究，分別基于J2流動(dòng)理論和形變理論建立了結(jié)構(gòu)小撓度彈塑性失穩(wěn)壓力的迭代計(jì)算方法，編制了運(yùn)算程序，針對長徑比為1.5～3.1的高強(qiáng)度鋼模型進(jìn)行了理論計(jì)算和有限元數(shù)值仿真分析工作，獲得了塑性階段的模型總體失穩(wěn)破壞壓力。本文方法給出的結(jié)構(gòu)總體穩(wěn)定性計(jì)算值與有限元結(jié)果符合較好，可使耐壓結(jié)構(gòu)的尺寸和重量設(shè)計(jì)更為優(yōu)化。本文的計(jì)算方法經(jīng)初步驗(yàn)證是合理和可行的，所得研究成果和相關(guān)結(jié)論可為單殼體長艙段結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性機(jī)理剖析提供技術(shù)支撐和參考建議，也為現(xiàn)行規(guī)范方法的修改完善及在設(shè)計(jì)中確定合理的尺寸參數(shù)和安全儲(chǔ)備打下了基礎(chǔ)。

1 圓柱殼長艙段結(jié)構(gòu)彈塑性穩(wěn)定性計(jì)算方法

1.1 彈塑性失穩(wěn)系數(shù)

經(jīng)典的材料塑性理論將單向拉伸曲線推廣到復(fù)雜的三維應(yīng)力狀態(tài)，目前對塑性屈曲問題采用的本構(gòu)關(guān)系主要有2種：塑性等向強(qiáng)化的J2流動(dòng)理論（塑性增量理論）和J2形變理論（塑性全量理論）。增量理論建立應(yīng)力增量和應(yīng)變增量之間的關(guān)系，全量理論認(rèn)為應(yīng)力和應(yīng)變存在一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，二者均可通過引入彈塑性失穩(wěn)系數(shù)[aij]來建立統(tǒng)一的廣義應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系[10-11]：

材料應(yīng)變由彈性和塑性部分組成，其中彈性應(yīng)變可由廣義Hooke定律得到：

獲得彈性應(yīng)變增量的表達(dá)式后，再根據(jù)J2流動(dòng)理論推導(dǎo)材料進(jìn)入塑性后的應(yīng)力應(yīng)變增量關(guān)系，即可得到彈塑性應(yīng)力—應(yīng)變增量之間的關(guān)系式[10]：

式中，h(J2)可由順x軸的單向拉伸試驗(yàn)確定，σij在除x軸以外的方向?yàn)?，σ0=σx/3。

將εij（i，j=1，2，3）分別按式（4）展開可得6個(gè)方程，再代入式（3）～（4）等表達(dá)式進(jìn)行變量代換，整理后可得對稱的彈塑性失穩(wěn)系數(shù)矩陣[aij]（i，j=1，2，3，4，5，6）。

根據(jù)J2形變理論，材料應(yīng)力、應(yīng)變之間的彈塑性關(guān)系為

同理，將εij（i，j=1，2，3）展開后可得對稱的系數(shù)矩陣[aij]（i，j=1，2，3，4，5，6）。

全量、增量理論的彈塑性失穩(wěn)系數(shù)矩陣[aij]形式相似，對潛艇耐壓圓柱殼結(jié)構(gòu)，可忽略法向應(yīng)力σz，則廣義三維應(yīng)力狀態(tài)退化為平面應(yīng)力狀態(tài)，再根據(jù)Kirchoff直法線假設(shè)，剪應(yīng)力τzy、τzx為0，從而使[aij]的形式大為簡化。

為方便計(jì)算，假定失穩(wěn)前耐壓圓柱殼處于無矩狀態(tài)，橫向剪應(yīng)力τxy為0，計(jì)算周向應(yīng)力時(shí)將肋骨截面積平均分配到殼板上，經(jīng)推導(dǎo)可得具體形式進(jìn)一步簡化的失穩(wěn)系數(shù)[aij]，再用[bij]將應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系改寫為

1.2 考慮肋骨偏心的塑性穩(wěn)定性計(jì)算方法

塑性穩(wěn)定性計(jì)算時(shí)取坐標(biāo)原點(diǎn)在圓柱殼端部中曲面上，設(shè)x、y、z分別為縱向、周向和徑向坐標(biāo)，u、v、w分別為縱向、周向和徑向位移，徑向坐標(biāo)和徑向撓度均以指向圓心為正，圓柱殼失穩(wěn)時(shí)滿足簡支邊界條件的形函數(shù)[10-14]取為

利用1.1節(jié)推得的彈塑性系數(shù)[bij]，結(jié)構(gòu)按平面應(yīng)力狀態(tài)并僅考慮小撓度，分別計(jì)算耐壓殼板的彎曲及中面應(yīng)變能V1、V2的應(yīng)變能：

普通肋骨及特大肋骨均可簡化為單向應(yīng)力狀態(tài)，其位移函數(shù)與圓柱殼體相同。為考慮截面偏心影響，肋骨橫截面上任一點(diǎn)的周向應(yīng)變值根據(jù)該點(diǎn)的徑向坐標(biāo)來確定：

經(jīng)推導(dǎo)，對距離坐標(biāo)原點(diǎn)x=il處的第i根肋骨，其結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為

式中，yci為第i根環(huán)肋計(jì)及帶板寬度為l（特大肋骨取為與規(guī)范相同的2l）的組合截面形心的徑向坐標(biāo)，Rfi為截面形心半徑，Ii為截面慣性矩，I0i為第i根環(huán)肋自身慣性矩，F(xiàn)i為肋骨橫剖面面積，y0i為肋骨中和軸到殼板表面的距離，y0i+0.5t=efi，t為板厚。式中引入系數(shù)k2=1或0以分析肋骨壓縮應(yīng)變能的影響。根據(jù)相關(guān)理論研究，肋骨截面的扭轉(zhuǎn)、翹曲和面外彎曲的應(yīng)變能對環(huán)肋圓柱殼彈性失穩(wěn)壓力的影響很小[2]，計(jì)算中予以忽略。

求得結(jié)構(gòu)各部分能量后再計(jì)算水壓做功，從而可建立能量平衡方程。根據(jù)能量原理，結(jié)構(gòu)總能量П取極小值的條件是П對A、B、C的偏微分為0，由此得到如下齊次線性方程組：

此方程組存在非零解的充要條件是系數(shù)行列式為0，這個(gè)矩陣是對稱的，cij=cji。

利用能量法計(jì)算單殼體長艙段結(jié)構(gòu)的彈塑性失穩(wěn)壓力時(shí)，首先將割線模量Es和切線模量Et取為彈性值，則[bij]退化為彈性失穩(wěn)系數(shù)，求得與彈性臨界壓力對應(yīng)的等效應(yīng)力強(qiáng)度，若高于材料比例極限，則在附近選定一個(gè)應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算相應(yīng)的Es和Et（Es和Et可根據(jù)高強(qiáng)度材料單向拉伸試驗(yàn)的彈塑性本構(gòu)關(guān)系確定），再通過迭代求解塑性失穩(wěn)壓力。

帶特大肋骨的單殼體長艙段結(jié)構(gòu)的彈塑性總體失穩(wěn)形式既可能表現(xiàn)為含大肋骨的艙段失穩(wěn)（一般周向整波數(shù)n=2），也會(huì)發(fā)生在大肋骨之間的艙段上（一般周向整波數(shù)n=3）。本文的計(jì)算方法對以上二者均可適用，并可方便地推廣至含多根大肋骨艙段的穩(wěn)定性計(jì)算，或退化為無大肋骨艙段的狀態(tài)。

2 模型計(jì)算結(jié)果對比分析

為了驗(yàn)證理論方法，對內(nèi)肋骨長艙段模型進(jìn)行了有限元建模和數(shù)值計(jì)算，其結(jié)構(gòu)形式為T型內(nèi)環(huán)肋圓柱殼，舯部采用內(nèi)置T型特大肋骨加強(qiáng)，大肋骨根部耐壓殼板進(jìn)行了局部加厚，材料為高強(qiáng)度鋼。所計(jì)算模型的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：艙段長徑比L/D=3.14，特大肋骨與普通肋骨慣性矩比Ihf/If=41.42，圓柱殼半徑與厚度之比R/t=106.75。

本文利用所建立的方法和程序?qū)A柱殼長艙段模型的結(jié)構(gòu)塑性總體穩(wěn)定性進(jìn)行了計(jì)算，迭代算法收斂速度很快且結(jié)果精度較高，如圖1所示。

圖1 長艙段結(jié)構(gòu)塑性穩(wěn)定性迭代計(jì)算中各子步誤差Fig.1 Error value in every substep of the buckling calculation

為評(píng)估理論計(jì)算方法的合理性，本文還采用了形式較為簡潔的規(guī)范公式、修正曲線和ANSYS有限元程序進(jìn)行計(jì)算，并展開結(jié)果對比，如圖2和表1所示。

圖2 單殼體長艙段結(jié)構(gòu)有限元模型及塑性總體失穩(wěn)數(shù)值計(jì)算結(jié)果Fig.2 FE shell model and numerically-analyzed results for general instability

表1 模型塑性總體失穩(wěn)壓力計(jì)算結(jié)果（MPa）Tab.1 Models’calculated critical pressure of plastic general stability(MPa)

對于大肋骨之間的艙段塑性總體穩(wěn)定性，與有限元結(jié)果相比，規(guī)范計(jì)算值偏保守一些，本文理論方法的計(jì)算值接近且略高于有限元分析結(jié)果，初步驗(yàn)證了方法是合理、可用的，4個(gè)算例的結(jié)果表明，流動(dòng)理論與形變理論的計(jì)算結(jié)果有所不同，但差別不大。

對于包含舯部特大肋骨在內(nèi)的模型結(jié)構(gòu)塑性總體穩(wěn)定性，與有限元解相比，失穩(wěn)臨界壓力的規(guī)范解（8.37 MPa）略偏保守，導(dǎo)致為了滿足總體失穩(wěn)壓力的控制標(biāo)準(zhǔn)，需額外提高特大肋骨的剛度，由此產(chǎn)生的冗余重量和尺寸將不利于結(jié)構(gòu)優(yōu)化和設(shè)備布置。本文理論方法的計(jì)算值相對合理，若能保證其可靠性，則可使耐壓結(jié)構(gòu)的尺寸和重量設(shè)計(jì)更為優(yōu)化，但該方法尚需得到更多試驗(yàn)結(jié)果的驗(yàn)證和支撐。

3 結(jié) 語

本文參照國內(nèi)外研究經(jīng)驗(yàn)，針對現(xiàn)有方法的局限性，在結(jié)構(gòu)上考慮肋骨偏心的影響，在材料上考慮高強(qiáng)度鋼的彈塑性本構(gòu)關(guān)系，利用Ritz法對環(huán)肋內(nèi)置且含特大肋骨的圓柱殼長艙段結(jié)構(gòu)在靜水外壓下的彈塑性穩(wěn)定性計(jì)算方法進(jìn)行了理論研究；基于流動(dòng)理論和形變理論建立了結(jié)構(gòu)小撓度彈塑性失穩(wěn)壓力的迭代計(jì)算方法，計(jì)算結(jié)果精度較好，工程實(shí)用性較強(qiáng)；同時(shí)針對長徑比為1.5～3.1的高強(qiáng)度鋼模型進(jìn)行了有限元數(shù)值仿真分析，計(jì)算和對比了塑性階段的模型總體失穩(wěn)破壞壓力，本文方法給出的結(jié)構(gòu)總體穩(wěn)定性計(jì)算值與有限元結(jié)果符合較好。

本文理論計(jì)算方法經(jīng)初步驗(yàn)證是合理和可行的，給出的總體失穩(wěn)壓力計(jì)算值比規(guī)范方法更符合高強(qiáng)度鋼模型有限元計(jì)算結(jié)果。方法的通用性較好，既可方便地推廣至含多根大肋骨艙段的穩(wěn)定性計(jì)算，也能退化為無大肋骨艙段的狀態(tài)。圓柱殼長艙段結(jié)構(gòu)的總體失穩(wěn)形式無論是包含大肋骨的艙段失穩(wěn)，還是在大肋骨之間的艙段失穩(wěn)，規(guī)范方法給出的計(jì)算結(jié)果都比較保守，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)增加冗余重量和尺寸。本方法可使耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)更為優(yōu)化，但方法的可靠性尚需得到更多試驗(yàn)結(jié)果的驗(yàn)證和支撐。

按單向應(yīng)力狀態(tài)計(jì)算肋骨應(yīng)變能的方法在肋骨腹板增高后或存在適應(yīng)性問題，特大肋骨自身的側(cè)向穩(wěn)定性機(jī)理尚待研究，內(nèi)、外肋骨圓柱殼總體穩(wěn)定性的差異需要模型試驗(yàn)的充分驗(yàn)證。關(guān)于幾何非線性對結(jié)構(gòu)彈塑性穩(wěn)定性的影響，本文沿用了規(guī)范的修正方法，建議在此領(lǐng)域開展深入探討。結(jié)構(gòu)大撓度的影響也需進(jìn)一步研究。