追“根”溯源，與“系數(shù)”共舞

徐莉

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關(guān)系，是我們解決一元二次方程根的問(wèn)題的重要工具。

具體內(nèi)容如下：一元二次方程x2+px+q=0（p、q為常數(shù)，p2-4q≥0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q;對(duì)于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，那么x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系在應(yīng)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

1.使用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要先把方程化為一般式，并注意隱含條件a≠0;

2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用的前提是方程有實(shí)數(shù)根，因此在應(yīng)用時(shí)，一定要記住根的判別式b2-4ac≥0這一隱含條件;

3.只適合于一元二次方程，其他的方程不適用。

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系主要有如下幾方面的應(yīng)用：

1.不解方程，求與方程根有關(guān)的代數(shù)式的值;

2.已知方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及待定字母的值;

3.與根的判別式相結(jié)合，解決一些綜合問(wèn)題;

4.常見(jiàn)的涉及代數(shù)式的一些重要變形：

x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，

[1x1]+[1x2]=[x1+x2x1x2]，

（x1+a）（x2+a）=x1x2+（x1+x2）a+a2。

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第22頁(yè)有這樣一道題：

例題 小明在一本課外讀物中讀到如下一段文字：

一元二次方程x2-x=0的兩根是2+[3]和2-[3]，你能寫出這個(gè)方程中被墨跡污染的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)嗎？

【解析】設(shè)一次項(xiàng)系數(shù)為b，則（2+[3]）+（2-[3]）=-b，可得一次項(xiàng)系數(shù)b為-4;設(shè)常數(shù)項(xiàng)為c，則（2+[3]）×（2-[3]）=c，可得常數(shù)項(xiàng)c為1。

【小結(jié)】本題是有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題。當(dāng)根是無(wú)理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分煩瑣，這時(shí)，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用。

變式1 （2021·湖南永州）已知關(guān)于x的一元二次方程px2+2x+q=0的兩根分別為m、n。

（1）若m=2、n=-4，求p、q的值;

（2）若p=3、q=-1，求m+mn+n的值。

【解析】（1）方法一：把m=2、n=-4代入方程，得[4p+4+q=0，16p-8+q=0，]

解得p=1，q=-8。

方法二：利用根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n=[-2p]，mn=[qp]。將m=2、n=-4代入，得[-2p]=-2，[qp]=-8，

解得p=1，q=-8。

（2）將p=3、q=-1代入方程px2+2x+q=0得3x2+2x-1=0。

方法一：利用因式分解變形得到方程（x+1）（3x-1）=0，

解方程，得m=-1，n=[13]，

所以m+mn+n=-1-[13]+[13]=-1。

方法二：利用根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n=[-2p]=[-23]，mn=[qp]=[-13]，

整體代入，得m+mn+n=（m+n）+mn=[-23][-13]=-1。

【小結(jié)】本題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查變式的能力。利用根與系數(shù)的關(guān)系可以減少運(yùn)算量，降低出錯(cuò)率。

變式2 （2020·湖北仙桃、潛江、天門、江漢油田）關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2-m=0有兩個(gè)實(shí)根α、β，且α2+β2=12，那么m的值為（）。

A.-1 B.-4

C.-4或1D.-1或4

【解析】因?yàn)棣?、β是關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2-m=0的兩個(gè)實(shí)根，

所以α+β=-2（m-1）=-2m+2，αβ=m2-m。

因?yàn)棣?+β2=（α+β）2-2αβ=12，

所以（-2m+2）2-2（m2-m）=12，

整理得m2-3m-4=0，利用因式分解變形得（m-4）（m+1）=0，

解得m=4或m=-1。

又因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2+2·（m-1）x+m2-m=0有兩個(gè)實(shí)根，

所以b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m2-m）≥0，

解得m≤1，

所以m=-1。

故選A。

【小結(jié)】本題有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β滿足α2+β2=12，可聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，利用變形α2+β2=（α+β）2-2αβ得到關(guān)于參數(shù)m的方程。但是同學(xué)們要注意，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提是一元二次方程有解，即滿足根的判別式b2-4ac≥0，這往往是容易忽略的隱含條件，解題時(shí)要特別留意。

變式3 （2021·北京）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0。

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

（2）若m>0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值。

【解析】（1）證明：根據(jù)題意，得a=1，b=-4m，c=3m2，

所以Δ=b2-4ac=（-4m）2-4×1×3m2=4m2。

又因?yàn)闊o(wú)論m取何值時(shí)，4m2≥0，即Δ≥0，

所以原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

（2）因?yàn)閤2-4mx+3m2=0，即（x-m）·（x-3m）=0，所以x1=m，x2=3m。

又因?yàn)閙>0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，所以3m-m=2，

解得m=1。

【小結(jié)】本題綜合考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系。一般地，如果題目中的兩根滿足等式（或不等式），可以將此關(guān)系式進(jìn)行恒等變形，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，建立含參的方程（或不等式），從而求出參數(shù)的值（或不等式的范圍）。

變式4 （2019·內(nèi)蒙古包頭）已知等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、4，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，則m的值是（）。

A.34B.30

C.30或34 D.30或36

【解析】分三種情況：（1）當(dāng)a=4時(shí)，b<8。由a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，可得4+b=12，則b=8，不符合題意。

（2）當(dāng)b=4時(shí)，a<8。由a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，可得4+a=12，則a=8，不符合題意。

（3）當(dāng)a=b時(shí)，由a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，可得a+b=12，ab=m+2，則a=b=6，m+2=36，所以m=34。

故選A。

【小結(jié)】本題首先要對(duì)a、b分類討論，其次求出的a、b的值還要滿足三角形的三邊關(guān)系。根據(jù)題意，可分以下三種情況：（1）當(dāng)a=4時(shí)，b<8;（2）當(dāng)b=4時(shí)，a<8;（3）當(dāng)a=b時(shí)，a>2。同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)一定要注意取舍。

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是解決有關(guān)一元二次方程根的問(wèn)題的重要工具。相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考查創(chuàng)新能力試題的載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)的頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容。通過(guò)以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能大致了解考查根與系數(shù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的題目類型了吧？希望同學(xué)們既要熟悉問(wèn)題的常規(guī)解法，也要靈活使用特殊的簡(jiǎn)捷解法，提高自身的解題能力。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)新城中學(xué)）