諧振子勢(shì)阱中雙費(fèi)米原子光鐘的碰撞頻移*

陳澤銳 劉光存 俞振華

(中山大學(xué)物理與天文學(xué)院,廣東省量子精密測(cè)量與傳感重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,珠海 519082)

原子鐘提供了時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn),但原子間的相互作用往往限制原子鐘的精度.本文理論研究了諧振子勢(shì)阱中雙費(fèi)米原子光鐘由于原子間的短程相互作用而在拉比頻譜中引起的碰撞頻移.考慮到原子光鐘中短程相互作用一般較弱,并且晶格光的參數(shù)在Lamb-Dicke 區(qū)間中,本文近似費(fèi)米原子的外態(tài)不發(fā)生改變,進(jìn)而推導(dǎo)出原子內(nèi)態(tài)在拉比探測(cè)光驅(qū)動(dòng)下滿足的運(yùn)動(dòng)方程.微擾求解運(yùn)動(dòng)方程,得到一階解的解析表達(dá)式,從而得到了拉比頻譜的碰撞頻移依賴于拉比探測(cè)光參數(shù)與在原子特定外態(tài)中相互作用的表達(dá)式.最后,利用諧振子勢(shì)阱中格林函數(shù)的解析表達(dá)式,得到了有限溫下碰撞頻移與原子間相互作用的關(guān)系.研究結(jié)果表明,實(shí)驗(yàn)中可以通過精密測(cè)量原子光鐘的頻移獲得原子間相互作用的信息.

1 引 言

作為定義時(shí)間的科學(xué)標(biāo)準(zhǔn),原子鐘從上個(gè)世紀(jì)開始就是一個(gè)眾多學(xué)者致力研究的活躍領(lǐng)域[1,2].而近期迅速發(fā)展的光頻原子鐘預(yù)示著新一代的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn).原子鐘性能的每一步提升都難能可貴,人們通過大量的理論研究和實(shí)驗(yàn)探索,逐漸實(shí)現(xiàn)了將抑制原子鐘精度的各種效應(yīng)所引發(fā)的時(shí)鐘頻移限制在相對(duì)更低的量級(jí)下,諸如多普勒效應(yīng)、光晶格頻移、光子反沖等.長(zhǎng)期以來,原子間短程相互作用導(dǎo)致的碰撞頻移在各個(gè)階段往往是抑制原子鐘性能的重要因素.所以,對(duì)原子光鐘碰撞頻移的研究,不僅對(duì)于更高精度原子鐘的研制具有重要意義,而且能夠加深我們對(duì)原子相互作用的認(rèn)識(shí)[3?9].

從原子相干性對(duì)Ramsey 條紋的影響[10],到費(fèi)米原子氣體中冷碰撞頻移免疫論斷的推翻[11,12],及玻色原子氣體中碰撞頻移令人困惑的 2 ? 因子的問題[13?17],再到實(shí)驗(yàn)上測(cè)量Yb 晶格光鐘的冷碰撞頻移獲得p 波相互作用的貢獻(xiàn)[18,19],人們關(guān)于原子光鐘碰撞頻移的認(rèn)知越來越豐富.而最近實(shí)現(xiàn)的三維光晶格中的費(fèi)米原子氣體可以達(dá)到晶格格點(diǎn)上的單位填充[20,21],使得完全避免由原子間短程相互作用引起的碰撞頻移成為可能.

另一方面,對(duì)原子光鐘碰撞頻移的精密測(cè)量可以提供原子間相互作用的寶貴信息,本研究也明顯地展示了這一點(diǎn).本文理論研究了諧振子勢(shì)阱中雙費(fèi)米原子光鐘由于原子間的短程相互作用而在拉比頻譜中引起的碰撞頻移,從而得到了拉比頻譜的碰撞頻移依賴于拉比探測(cè)光參數(shù)與在原子特定外態(tài)中相互作用的表達(dá)式.并且,利用諧振子勢(shì)阱中格林函數(shù)的解析表達(dá)式,得到了有限溫下碰撞頻移與原子間相互作用的關(guān)系.這些結(jié)果都表明精密測(cè)量原子光鐘的頻移可以成為探測(cè)原子間相互作用勢(shì)能性質(zhì)的重要實(shí)驗(yàn)手段.

2 理論模型

本文研究的物理過程是諧振子勢(shì)阱中費(fèi)米原子光鐘在拉比脈沖作用下的光鐘躍遷.為揭示原子間短程相互作用對(duì)光鐘躍遷的影響,考慮在諧振子勢(shì)阱中的雙費(fèi)米原子系統(tǒng).對(duì)于該問題,系統(tǒng)的哈密頓量如下:

式中,下標(biāo)j代表第j個(gè)原子,m為原子質(zhì)量,|g〉和|e〉為原子內(nèi)態(tài)的兩個(gè)鐘態(tài),Eg和Ee表示對(duì)應(yīng)能級(jí).原子間的相互作用Hint被分解到兩個(gè)原子內(nèi)態(tài)的單重態(tài)和三重態(tài)子空間中:

假設(shè)各子空間中的勢(shì)場(chǎng)Uα(r)(α=d,z,u)為中心勢(shì)場(chǎng).本文考慮的諧振子勢(shì)阱為一般情況,即3 個(gè)方向的束縛頻率ωx,ωy,ωz各不相同.驅(qū)動(dòng)哈密頓量Hdrive來源于拉比探測(cè)光與原子電偶極矩的耦合.由于選擇激光頻率ωL接近原子的光鐘躍遷頻率ω0≡Ee ?Eg,即失諧量δ≡ωL?ω0的模量遠(yuǎn)小于ω0,我們已采用了旋轉(zhuǎn)波近似.原則上,拉比頻率Ω(r) 依賴于原子位置r.

3 運(yùn)動(dòng)方程

一般情況下,原子間的相互作用能比諧振子勢(shì)阱的束縛頻率小很多.假設(shè)先不考慮拉比探測(cè)光的驅(qū)動(dòng),那么對(duì)于兩個(gè)費(fèi)米原子而言,如果內(nèi)態(tài)處在三重態(tài),則外態(tài)波函數(shù)應(yīng)為相應(yīng)地,如果內(nèi)態(tài)處在單重態(tài),那么外態(tài)波函數(shù)應(yīng)為這里的?a(r) 是諧振子勢(shì)阱中單原子的本征波函數(shù),具有本征能量?a.而當(dāng)加上拉比探測(cè)光時(shí),為防止在拉比探測(cè)光作用下原子光鐘躍遷的同時(shí)發(fā)生反沖,諧振子勢(shì)阱的束縛頻率往往被調(diào)得很大,使系統(tǒng)處在Lamb-Dicke 區(qū)域,即原子的外態(tài)不會(huì)發(fā)生改變.

顯然,相互作用能的大小依賴于兩個(gè)原子空間波函數(shù)的交疊情況.由于原子間的相互作用能很小,連同初始值d(t=0)=1,z(t=0)=u(t=0)=0 解析求解(13)式到Uα,ab的一階(詳細(xì)結(jié)果見附錄A).

4 光鐘頻移

光鐘拉比頻譜的工作程序是將原子制備到|g〉初態(tài),然后拉比探測(cè)光施加一個(gè)時(shí)長(zhǎng)為tπ的π脈沖,即Ωtπ=π,接著再測(cè)量激發(fā)到|e〉態(tài)的原子概率Pe.對(duì)于本文研究的雙費(fèi)米原子的問題

拉比頻譜確定頻移的方法是找到兩個(gè)拉比探測(cè)光的失諧量δr(<0)和δb(>0) ,使得在 π 脈沖后

頻移δs就被定義為

要從(16)式和(19)式推導(dǎo)出δs的解析表達(dá)式,我們?cè)谒{(lán)失諧側(cè)選取一個(gè)較小的參考失諧量δR(>0) .根據(jù)(20)式的定義,有

仍然利用原子間的相互作用能比較小的特點(diǎn),這樣頻移δs也會(huì)比較小.泰勒展開(22)式左邊到δs的一階,得到

將(16)式和(19)式代入(23)式,計(jì)算得到

其中

(24)式反映了 π 脈沖激光參數(shù)ν=δR/Ω和原子間相互作用能Uα,ab(α=d,z,u)對(duì)頻移δs的貢獻(xiàn).δs只依賴于Uα,ab(α=d,z,u)的差值,因?yàn)槿绻鸘α,ab(α=d,z,u)都相同的話,(13)式中相互作用能只是把三重態(tài)的能量整體頻移了一下,不可能影響光鐘頻移.圖1 顯示在實(shí)驗(yàn)關(guān)心的區(qū)間δR/Ω～1/2,A和B的模量都是1的量級(jí).從另一個(gè)角度看,(24)式表明通過測(cè)量δs在兩個(gè)不同δR時(shí)的值,就可以反推出Uα,ab(α=d,z,u)之間的差值.如要獲得單獨(dú)Uα,ab(α=d,z,u)的值,實(shí)驗(yàn)則需選取特定的量子態(tài)使得至少一個(gè)Uα,ab(α=d,z,u)的值為 0 .

圖1 光鐘頻移系數(shù)(a) A(δR/Ω) 與(b)B(δR/Ω)Fig.1.Coefficient(a) A(δR/Ω) and(b) B(δR/Ω) for clock shift.

在此值得強(qiáng)調(diào)的是,以上求解鐘頻移的方法要求拉比譜的線形是光滑的.這一前提對(duì)于本文考慮的弱相互作用情形是滿足的,但當(dāng)相互作用足夠強(qiáng)時(shí),拉比譜會(huì)出現(xiàn)邊帶峰[18],這種情況下以上求解鐘頻移的方法就不再適用了.

5 有限溫平均

其中,歸一化系數(shù)Z為

6 結(jié) 論

圖2 系數(shù) C? 隨溫度的變化 (a) C1;(b) C2Fig.2.Coefficient C? versus temperature:(a) C1;(b) C2.

圖3 當(dāng)溫度較高時(shí),系數(shù) C? 隨溫度的變化,這里橫軸和縱軸都取對(duì)數(shù) (a)線性擬合表達(dá)式為 y =5.54203x-3.83918 ;(b)線性擬合表達(dá)式為y=6.5296x-0.119146Fig.3.Coefficient C? versus temperature for higher temperature.The horizontal coordinate and the vertical coordinate are logarithmic here:(a) Linear fitting function is y =5.54203x-3.83918 ;(b) linear fitting function is y =6.5296x-0.119146 .

本文研究了雙費(fèi)米原子拉比激發(fā)過程中短程相互作用引起的碰撞頻移.計(jì)算結(jié)果給出了碰撞頻移依賴于原子相互作用的關(guān)系.相較 以前碰撞頻移的理論研究只考慮了s 波及p 波,本文提供了各階貢獻(xiàn)的統(tǒng)一表達(dá)式.本文的結(jié)果意味著通過精密測(cè)量碰撞頻移可以獲得原子間相互作用的重要信息.如果要將本文雙費(fèi)米原子的結(jié)果拓展到多費(fèi)米原子的情況,可以預(yù)見的是,在弱相互作用極限下,多原子體系的相互作用效應(yīng)仍應(yīng)來源于原子兩兩之間的碰撞,即相互作用能是所有粒子對(duì)的總和,形式為這里fi為費(fèi)米原子在第i個(gè)諧振子本征態(tài)上的占據(jù)數(shù),gij是占據(jù)i和j本征態(tài)原子發(fā)生碰撞而導(dǎo)致的耦合系數(shù).對(duì)多費(fèi)米原子情況的研究將是我們下一步的課題.

附錄A 運(yùn)動(dòng)方程(13)的零階解和一階解

通過微擾的方法可解得運(yùn)動(dòng)方程(13)的零階解:

附錄B (29)式的推導(dǎo)

附錄C 高階分波對(duì)鐘頻移的貢獻(xiàn)

為了定量化高階分波對(duì)鐘頻移的貢獻(xiàn)隨溫度的變化,由(36)式計(jì)算截?cái)嗲蠛偷降?階的值,即(?) .為了完成定量計(jì)算,采用方勢(shì)阱模型勢(shì)Uα(r)=Uα,0θ(r-r0) .這里勢(shì)阱力程r0應(yīng)為范德瓦耳斯半徑的量級(jí),取成r0=1 nm.而勢(shì)阱深度的取值,參考實(shí)驗(yàn)論文[18],分別為Ud,0=0,Ut,0=-4.4π Hz 以及Uu,0=-0.44π Hz.當(dāng)δR/Ω=1/2 時(shí),如圖C1 所示,當(dāng)溫度很低時(shí),同時(shí)考慮s 波至d 波(s,p,d)時(shí)的鐘頻移(?=2) 同只考慮s 波至p 波時(shí)的鐘頻移(?=1)的差值極小,即d 波分量引起的鐘頻移接近零.當(dāng)溫度升高時(shí),以上兩者差值逐漸增大,表明d 波貢獻(xiàn)的鐘頻移量也在逐漸增大.由本文的解析表達(dá)式可推知,更高分波的貢獻(xiàn)也有相同的趨勢(shì).

圖C1 同時(shí)考慮s 波至d 波時(shí)的鐘頻移(?=2) 與只考慮s 波和p 波時(shí)的鐘頻移 (?=1)的相對(duì)誤差Fig.C1.Relative error of clock shifts between considering s,p,d partial waves((?=2)) and only considering s,p partial waves((?=1)).