計算小于任給整數(shù)的素數(shù)個數(shù)的一個近似

唐軍強(qiáng)

（焦作大學(xué)基礎(chǔ)部，河南 焦作 454000）

素數(shù)的分布是一個古老的問題。素數(shù)有無窮多個，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在公元前 300 年左右就給出了一種簡潔的證明。而歐拉使用“埃拉托色尼篩法”給出的一個式子——今天我們稱為歐拉乘積公式，揭示了黎曼函數(shù)與素數(shù)分布之間的一種天然的聯(lián)系[1]

等式左端為對所有的正整數(shù)求和，等式右端為對所有的素數(shù)求積。當(dāng)s=1時，左端級數(shù)發(fā)散，這提供了素數(shù)沒有窮盡的另一個證明。黎曼 1859 年的論文《論小于一個給定值的素數(shù)的個數(shù)》正是從(1)式出發(fā)，給出了一個準(zhǔn)確的關(guān)于的式子[2]，同時提出了舉世聞名的黎曼猜想，即黎曼函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是，至今未能獲得證明。依賴于素數(shù)特性的現(xiàn)代密碼編制術(shù)和破譯術(shù)，其根基就在這里。而二十世紀(jì)的一系列非凡進(jìn)展，顯示出甚至原子物理學(xué)都尚未被完全理解的方式與這個奇怪難題扯上了關(guān)系。但是，黎曼假設(shè)是比素數(shù)定理更強(qiáng)的條件，即使沒有黎曼假設(shè)的成立作保證，人們依然證明了素數(shù)的分布服從[3]

1.公式的推導(dǎo)

該公式的推導(dǎo)靈感來自于數(shù)論中歐拉公式的一種初等證明[4]，代表小于n且與之互素的自然數(shù)的個數(shù)，包括1在內(nèi)。它的計算公式是

(2)式中 為n的素因子。我們知道，如果一個整數(shù)n不能夠被小于等于的素數(shù)整除，那么它一定是一個素數(shù)。這一點(diǎn)對于小于n的整數(shù)自然也是成立的。換句話說,小于n的合數(shù)都能夠被小于等于的某個素數(shù)整除，如果我們從n個數(shù)字中去除掉這些合數(shù)，那么剩下的都是素數(shù)了。假設(shè)小于等于的素數(shù)表示為,第一步，我們先從n個數(shù)中減去n和的倍數(shù)，即

同樣地，如果一個小于等于n的整數(shù)是三個素因子的乘積，那么這些數(shù)字在第一步運(yùn)算中被減去了次,而在第二步運(yùn)算中被加了次，由于，從而應(yīng)當(dāng)再減去一次，則有第三步的運(yùn)算

這樣看起來似乎有些草率，但是，如果帶著取整的符號來要求精確性，則公式就不能夠得到簡化。去掉取整的符號后，容易看到，(3)式就是連乘積的展開式，即

其二，(3)式當(dāng)中可能會出現(xiàn)某些素因子的乘積大于n的情況，這些項(xiàng)其實(shí)是不存在的。但是，對于不同的n，我們又無法確定哪些素因子的乘積會大于n，這是(3)式無法彌補(bǔ)的缺憾。

例1 求小于100的素數(shù)個數(shù)。

2.數(shù)值比較

表1 近似公式和素數(shù)真值 的數(shù)據(jù)比較

表1 近似公式和素數(shù)真值 的數(shù)據(jù)比較

3.結(jié)語

本文所述的方法只能說是對于素數(shù)分布進(jìn)行的一種積極有益的探索。在大尺度上，(4)式有著無法彌補(bǔ)的缺憾。素數(shù)定理至今仍然是描述素數(shù)分布的最簡單和足夠精確的公式，這似乎意味著我們只能從統(tǒng)計的角度去對待素數(shù)。要獲得比素數(shù)定理更為精確的結(jié)果，就必然需要面臨更加復(fù)雜的公式，引入性態(tài)不太良好的函數(shù)和更加繁瑣的計算。