多角度探究離心率問題

何艷麗

摘 要：離心率又叫偏心率，用來描述行星運(yùn)行軌道形狀，解釋為形狀從圓形偏離了多少，是天體計(jì)算中定義軌道形狀的重要參數(shù)。圓錐曲線中的離心率問題綜合性比較強(qiáng)，又靈活多變，能很好的考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義及相關(guān)知識(shí)熟練掌握的程度，以及計(jì)算的靈活運(yùn)用的能力，能夠很好的考查圓錐曲線的知識(shí)，下面就從多角度研究焦點(diǎn)三角形中的離心率問題。

關(guān)鍵詞：離心率;圓錐曲線定義;直角三角形

焦點(diǎn)三角形為直角三角形時(shí)，分為兩種類型，一種是一個(gè)焦點(diǎn)與另一焦點(diǎn)及橢圓上點(diǎn)的張角為90°。另一種是橢圓上點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的張角為90°;利用直角幾何關(guān)系體現(xiàn)邊角之間的關(guān)系，向雙曲線定義靠攏，得出基本量關(guān)系，利用離心率基本公式求得離心率。

例1：設(shè)橢圓（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為C上的點(diǎn)，PF1⊥F1F2，∠F1F2P=30°，則C的離心率為

A. B. C. D.

正確答案：D

方法一：在Rt△ABC中，|F1F2|=2c，∠F1F2P=30°，則|PF1|=，|PF2|=，

由橢圓定義，|PF1|+|PF2|==2a，所以

精簡(jiǎn)過程：設(shè)|PF1|=1，由已知|F1F2|=，|PF2|=2，則。

方法二：在Rt△ABC中，|PF1|=，

則b2=2ac，又b2=a2-c2，所以a2-c2=2ac，所以e2+2e-=0.

解得e=。

這種直角三角形的離心率問題比較簡(jiǎn)單，可直接找到三邊關(guān)系，利用橢圓、雙曲線基本定義，直接解決問題。

例2：已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2，則該橢圓離心率的取值范圍是

A.[，1） B.[，1）

C.（0，] D.（0，]

正確答案：B

方法一、圖形感知

先直觀感知，從橢圓的圓扁程度直接感知，什么樣的橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2，什么樣的橢圓不存在呢？應(yīng)該是越扁的橢圓，存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2的幾率越大一些，如下圖，

所以離心率e是趨近于1的，又張角∠F1PF2最大時(shí)，點(diǎn)P在橢圓上下頂點(diǎn)位置，如下圖此時(shí)離心率e為。

方法二、幾何法1設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，

則又，

所以4c2≥，即2c2≥a2，即e2≥，所以≤e<1。

方法三、利用焦點(diǎn)三角形面積

設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，△PF1F2的面積S=r1r2==b2，所以r1r2=2b2≤==2a2，即b2≤a2，所以a2-c2≤c2，a2≤2c2，e2≥，所以≤e<1。

方法四、坐標(biāo)法

理解條件PF1⊥PF2，動(dòng)點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，又點(diǎn)P在橢圓上，所以P為圓和橢圓的交點(diǎn)，通過坐標(biāo)法解決。

聯(lián)立消y得，

因?yàn)?≤x2≤a2，0≤≤a2，解得≤e<1。

方法五、幾何法2

由上面的方法二可知，P為圓和橢圓的交點(diǎn)，觀察下面的圖形。

發(fā)現(xiàn)如果保證圓與橢圓有焦點(diǎn)，b≤c，

兩邊平方，b2≤c2，即a2-c2≤c2，a2≤2c2，所以≤e<1。

方法六、用橢圓定義及正弦定理

設(shè)∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，由已知α+β=90°，α∈（0，）。

因?yàn)棣痢剩?，），所以α+∈（，），所以sin（α+）∈（1，]，e∈[，1）。

利用焦點(diǎn)三角形求解離心率問題中，三角形設(shè)置多為特殊的三角形，通過特殊角或者邊的關(guān)系，利用正余弦定理，得出基本量的關(guān)系，從而到達(dá)離心率的求解。對(duì)于垂直關(guān)系PF1⊥PF2的理解還可以有很多角度，比如：向量點(diǎn)積為零，斜率互為負(fù)倒數(shù)等，每種解法都進(jìn)行嘗試，拓展學(xué)生視野，在實(shí)踐中對(duì)解法進(jìn)行衡量對(duì)比，為以后的考試積累經(jīng)驗(yàn)，形成正確的數(shù)學(xué)感覺，理解解析幾何的本質(zhì)，形引路，數(shù)計(jì)算，數(shù)形深度融合。

參考文獻(xiàn)

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