以退為進(jìn) 把握本質(zhì)

【摘 要】 借助以退為進(jìn)的思想對(duì)試題的解法、思路進(jìn)行分析，把復(fù)雜問題退到簡單問題，退到學(xué)生最容易看清楚的地方，經(jīng)歷感受、體驗(yàn)的探究過程，讓學(xué)生看清問題的本質(zhì)，從而順利解決問題.

【關(guān)鍵詞】 以退為進(jìn);把握本質(zhì)

1 提出問題

設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-13n，問：在數(shù)列{an}中，是否存在三項(xiàng)，使得它們構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng);若不存在，請(qǐng)說明理由.

這是一道典型的數(shù)列“整數(shù)解”問題，作為本校模擬考試壓軸題的最后一問，得分率很低，全班只有兩位同學(xué)用特殊值驗(yàn)證出一組解.在試卷評(píng)講前，筆者進(jìn)行了廣泛調(diào)研，對(duì)于“數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)”，大部分學(xué)生都有基本思路，即設(shè)存在三項(xiàng)ap，aq，ar構(gòu)成等差數(shù)列.學(xué)生的困惑主要表現(xiàn)在：三項(xiàng)之間的大小關(guān)系如何確定？還是討論三種情況？即列出2ap=aq+ar或2aq=ap+ar或2ar=ap+aq后無法確定具體的研究目標(biāo)，有幾位學(xué)生為研究問題的方便，設(shè)p>q>r，但沒有意識(shí)去求數(shù)列的單調(diào)性，導(dǎo)致得不到ap，aq，ar的大小關(guān)系，也只能憑直覺列出等式2（2q-1）3q=2p-13p+2r-13r而束手無策.為什么學(xué)生想不到運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性處理所列出的等式呢？

2 教學(xué)分析

若讓學(xué)生求數(shù)列{an}的單調(diào)性，則大多數(shù)學(xué)生能完成，但在具體問題中，學(xué)生卻想不到運(yùn)用單調(diào)性.究其原因是未能深刻理解問題的本質(zhì).學(xué)生列出等式2ap=aq+ar后，不能認(rèn)識(shí)到這是不定方程的求解，整數(shù)p，q，r不能直接解出.其實(shí)，可借助數(shù)列的單調(diào)性“限值”將等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后“逼出”整數(shù)p，q，r的值.

怎樣讓學(xué)生接受這樣的處理方法呢？直接評(píng)講，學(xué)生雖然能聽懂，但再次遇到類似問題，也許仍然束手無策.只有讓學(xué)生多體驗(yàn)感受、多探究思考，學(xué)生才能吃透方法的本質(zhì)，方能靈活運(yùn)用.站在學(xué)生的角度看，這道壓軸題確實(shí)不簡單，可以采用“以退為進(jìn)”的教學(xué)手段，從簡單問題人手.學(xué)生愿意思考，愿意跟著教師逐步深入，從而自然而然地解決問題.在探究過程中，學(xué)生也能體驗(yàn)到思考的樂趣，更容易認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì).

3 教學(xué)過程

針對(duì)以上教學(xué)分析，筆者就這道數(shù)列題，立足學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從簡單問題入手，通過問題設(shè)計(jì)，將思維活動(dòng)引向縱深，找到問題的本質(zhì)，力圖達(dá)到精講一題，通曉一類的效果.

3.1 以退為進(jìn)

問題1：同學(xué)們，這次考試的數(shù)列壓軸題有一定難度，但它所涉及到的解題策略值得我們認(rèn)真研究.為此，先請(qǐng)大家思考一道同類的簡單題.題1 設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-13n，求滿足an=527的所有正整數(shù)n.

先設(shè)置一個(gè)簡單的方程，引導(dǎo)學(xué)生初步探究，然后逐步深入，讓學(xué)生有一個(gè)適應(yīng)的過程，這體現(xiàn)了循序漸進(jìn)的原則，學(xué)生對(duì)所用到的方法理解也更深刻.對(duì)于題1，學(xué)生易想到用特殊值法處理，由an=2n-13n，得a1=13，a2=39，a3=527，發(fā)現(xiàn)n=3是滿足條件的一個(gè)解.還有沒有其他解呢？學(xué)生自然會(huì)繼續(xù)往下求，能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)列的走勢(shì)，也能斷定沒有其他解.問題2：很多學(xué)生依次求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)an（n≥2）隨著n的增加而減小，基本確定n=3是唯一解，那么能從嚴(yán)密推理的角度證明嗎？

問題2不難，學(xué)生容易想到求數(shù)列的單調(diào)性.由an=2n-13n，得an+1-an=2n+13n+1-2n-13n=4（1-n）3n+1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=a2;當(dāng)n≥2時(shí)，an+13時(shí)，an<527，故方程只有唯一解n=3.

3.2 循序漸進(jìn)問題3：我們運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性解決了題1，接下來，我們?cè)傺芯恳坏琅c這次考題相近的題目，請(qǐng)大家思考題2，找一找解題思路.題2 設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-13n，試問：是否存在正整數(shù)p>q，使得a1，ap，aq成等差數(shù)列？如果存在，求出p，q的值;否則，請(qǐng)說明理由.

循序漸進(jìn)，讓學(xué)生先思考類似的簡單問題，學(xué)生由題1知道了數(shù)列單調(diào)性的重要性，他們也許自己能夠找到解題思路.首先，容易由a1，ap，aq成等差數(shù)列，得到2ap=a1+aq，即4p-23p=13+2q-13q.然后讓學(xué)生觀察該式，思考突破口，應(yīng)該有學(xué)生想到an=2n-13n（n≥2）單調(diào)遞減，當(dāng)an大于或等于某一個(gè)值時(shí)，n都只有有限個(gè)解.因?yàn)?q-13q>0，所以4p-23p>13，即2p-13p>16.當(dāng)p=4時(shí)，不等式不成立，由單調(diào)性可知p≥4時(shí)不等式無解;又p=1不符合題意，而當(dāng)p=2時(shí)，有2q-13q=13，得q=1或2，也不符合題意;當(dāng)p=3時(shí)，1027=13+2q-13q即127=2q-13q，解得q=5.綜上，存在p=3，q=5使得a1，ap，aq成等差數(shù)列.

3.3 自然求解問題4：方程4p-23p=13+2q-13q有兩個(gè)未知數(shù)，我們稱這樣的方程為不定方程，不定方程通常不能直接求解.對(duì)于這個(gè)不定方程，我們可以借助數(shù)列的單調(diào)性，將其轉(zhuǎn)化為不等式，從而逼出未知數(shù)的整數(shù)解.那么，我們能不能據(jù)此解決原考題呢？

問題4總結(jié)了題2的解法，指出不定方程的整數(shù)解的常規(guī)處理方法，繼而要求學(xué)生解決原考題，這不僅揭示了問題的本質(zhì)，還讓學(xué)生的思維不斷層，符合學(xué)生的認(rèn)知水平.

學(xué)生容易得到：假設(shè)存在三項(xiàng)ap，aq，ar滿足題意，不妨設(shè)p2q-13q>2r-13r，但難以繼續(xù)處理，需要教師引導(dǎo).

問題5：我們已經(jīng)得到數(shù)列an=2n-13n（n≥2）單調(diào)遞減，請(qǐng)同學(xué)們從直覺出發(fā)，探究這個(gè)數(shù)列為什么單調(diào)遞減，遞減的速度怎么樣？

一般來講，數(shù)學(xué)問題中少有類似問題5這樣的問題，這是一種非理性的直覺性問題，它要求學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)感知預(yù)測(cè)結(jié)論，雖然沒有邏輯推理的嚴(yán)密性，但若所預(yù)測(cè)的結(jié)論正確，則能為解決問題提供思考方向.這與新課程理念提出的6個(gè)核心素養(yǎng)之一的“直觀想象”一致.

教師需要引導(dǎo)學(xué)生理解“分子2n-1與分母3n都是遞增數(shù)列，但分母增長速度比分子快得多，隨著n的增大，an接近于0的速度很快”，然后要求學(xué)生繼續(xù)思考.如果學(xué)生基礎(chǔ)不好，可能還要教師引導(dǎo)，實(shí)際上，到了某一項(xiàng)后，由于an“下降”得很快，任意一項(xiàng)總比其后的一項(xiàng)的2倍大.于是，有如下處理：當(dāng)p≥3時(shí)，ap-2ap+1=2p-13p-4p+23p+1=2p-53p+1>0，又由于ar>0，所以p=1或2.到此，考題也就變成題2.

3.4 深化研究

問題6：我們通過數(shù)列的單調(diào)性，以及數(shù)列增減的“速度”解決了這次考試的壓軸題，現(xiàn)將考題適當(dāng)引申，請(qǐng)同學(xué)們思考下列題3，看看能不能找到解題思路？

題3 是否存在正整數(shù)k和p，使得ak=9ap？如果存在，求出k和p的值;否則，請(qǐng)說明理由.

由前面的探究，學(xué)生已經(jīng)積累了一些經(jīng)驗(yàn)，要關(guān)注數(shù)列的單調(diào)性，可以由等式轉(zhuǎn)化為不等式，進(jìn)而確定不等式解的個(gè)數(shù)有限.學(xué)生都能得到：由ak=9ap，得2k-13k=9×2p-13p，由于an（n≥2）是遞減數(shù)列且an>0，所以ak>ap，即k

數(shù)列增減“速度”的直觀思考，學(xué)生運(yùn)用的較少，要著重引導(dǎo)學(xué)生思考.數(shù)列an（n≥2）單調(diào)遞減，且減的“速度”較快，要力爭(zhēng)引導(dǎo)學(xué)生得到結(jié)論：對(duì)于任意正整數(shù)k，如果p比k大一定的“距離”，可能會(huì)得到ak>9ap總成立.由此，學(xué)生會(huì)試求ak-9ak+1，ak-9ak+2，ak-9ak+3，ak-9ak+4等值的正負(fù)，很快會(huì)發(fā)現(xiàn)ak-9ak+1<0，ak-9ak+2<0，ak-9ak+5>0.又當(dāng)p=k+3時(shí)，解得k=2，p=5;當(dāng)p=k+4時(shí)，解得k=1，p=5.

4 教學(xué)反思

對(duì)于這道壓軸題，筆者備課時(shí)進(jìn)行了調(diào)查了解、問題研究、教學(xué)設(shè)計(jì).課堂教學(xué)過程中，學(xué)生能積極思考，探究熱情較高，教學(xué)效果較好.下面，再與讀者交流幾點(diǎn)想法.

（1）講評(píng)質(zhì)效.一般情況下，題目有難度，常規(guī)評(píng)講教學(xué)效果并不理想，難題講不到位，對(duì)班級(jí)學(xué)生拔高不利.若教師能通過精巧的教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)、掌握思想方法，則可以提高學(xué)生解決問題的能力，達(dá)到講評(píng)的目的.

（2）以退為進(jìn).循序漸進(jìn)的教學(xué)原則，由于其起點(diǎn)低，能夠帶領(lǐng)大多數(shù)學(xué)生思考，讓學(xué)生都有所收獲;又由于其問題的連貫性，能夠激發(fā)學(xué)生的探究興趣，有利于把問題引向深入，是“拔尖”教學(xué)的好手段.若說“以退為進(jìn)”的教學(xué)手段能“補(bǔ)差，推中，拔尖”，有些夸大，但確實(shí)能兼顧每個(gè)學(xué)生.

（3）提高素養(yǎng).提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的前提是教師的素養(yǎng)要高.教師不僅要有先進(jìn)的教學(xué)理念，還要有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng).首先，教師要能認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，把問題想清講透，否則照搬答案，學(xué)生怎能接受？其次，教師要有較強(qiáng)的思想性，教師不會(huì)想問題，只是機(jī)械變式，只能提高學(xué)生的基本功，能力難以提高;只有教師會(huì)想，才能設(shè)計(jì)出合理有價(jià)值的教法，把學(xué)生的解題思維引向深入.

作者簡介 梁永年（1978—），男，江蘇濱海人，中學(xué)高級(jí)講師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教育與教學(xué).鹽城市高中數(shù)學(xué)教學(xué)能手，2020年10月獲鹽城市基礎(chǔ)教育成果一等獎(jiǎng)，2021年1月獲江蘇省教科研先進(jìn)個(gè)人.