復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)相關(guān)運(yùn)算探討

陳 靜，張汝峰，郭寶軍，康憲芝，項(xiàng) 璟，金 鈺

（滄洲交通學(xué)院 電子與電氣工程學(xué)院，河北 黃驊061100）

0 引言

普通函數(shù)描述的是自變量與因變量之間的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果要考察某些物理量在空間或時(shí)間坐標(biāo)上集中于一點(diǎn)的物理現(xiàn)象，如質(zhì)量集中于一點(diǎn)的密度分布、作用時(shí)間趨于零的沖擊力、寬度趨于零的電脈沖等，普通函數(shù)的概念就不夠用了，作為信號(hào)與線性系統(tǒng)分析中描述這類物理現(xiàn)象和過程的重要數(shù)學(xué)模型［1］，單位沖激函數(shù)的引入使得函數(shù)間斷點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在成為可能，掌握它的應(yīng)用是現(xiàn)代科技工作者必備的基礎(chǔ).沖激函數(shù)的物理含義和性質(zhì)前人研究頗多，而復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)及其相關(guān)運(yùn)算在各種版本的教材和相關(guān)輔導(dǎo)資料中卻很少涉及和討論.

本文采用常規(guī)函數(shù)的計(jì)算方法，從廣義函數(shù)定義出發(fā)，對(duì)復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)及其微分、積分和卷積積分運(yùn)算進(jìn)行了分析和推導(dǎo)，最后通過驗(yàn)證得出一般性的結(jié)論.

1 沖激函數(shù)δ(t)的廣義函數(shù)定義

如果把普通函數(shù)y=f(t)看成是對(duì)定義域中的每個(gè)自變量t，按一定的運(yùn)算規(guī)則f指定一個(gè)數(shù)值y的過程，則可以把廣義函數(shù)g（t）理解為是對(duì)試驗(yàn)函數(shù)集｛φ（t）｝中的每個(gè)函數(shù)φ（t），按一定運(yùn)算規(guī)則Ng分配或指定一個(gè)數(shù)值N［gφ（t）］的過程.廣義函數(shù)g（t）的定義為

按廣義函數(shù)理論，沖激函數(shù)δ(t)可定義為，即沖激函數(shù)δ(t)作用于檢驗(yàn)函數(shù)?(t)的效果是給它賦值?（0）.若將一幅度為n2，寬度為2n的矩形脈沖看作廣義函數(shù)，則有，當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，在(-1n，+1n)區(qū)間上?(t)≈?（0），因此

2 復(fù)合函數(shù)δ[?(t)]及其相關(guān)運(yùn)算

2.1 ?(t)=at+b為一次函數(shù)

證明一：根據(jù)沖激函數(shù)δ(t)的尺度變換性質(zhì)，由換元的思想可知，δ(at+b)=δ[a(t+

圖1 信號(hào)變換圖

2.1.2 復(fù)合函數(shù)δ(at+b)的積分運(yùn)算

2.1.3 復(fù)合函數(shù)δ(at+b)的微分運(yùn)算

2.1.4 復(fù)合函數(shù)δ(at+b)與普通函數(shù)f(t)的卷積積分

由沖激函數(shù)卷積積分性質(zhì)［5］f(t)?δ(t-t0)=f(t-t0)，則

2.2 ?(t)為二次函數(shù)或高次函數(shù)

證明：設(shè)?(t)=0有n個(gè)互不相等的實(shí)根tk(k=1，2，…，n)，則在任一單根tk附近足夠小的鄰域內(nèi)，?(t)可展開為泰勒級(jí)數(shù)，考慮到?(tk)=0，并忽略高次項(xiàng)，有?(t)=?(tk)+?'(tk)(t-tk)+0.5?″(tk)(t-tk)2+…≈?'(tk)(t-tk)［6］.式中?'(tk)表示?(t)在t=tk處的導(dǎo)數(shù).由于t=tk是?(t)的單根，則?'(tk)≠0，所以在t=tk附近，根據(jù)沖激函數(shù)的尺度變換性質(zhì)，δ[?(t)]可寫為因此若?(t)=0的根均為單根，即t=tk處?'(tk)≠0，則若?(t)=0有重根，δ[?(t)]沒有意義.

2.2.2 復(fù)合函數(shù)δ[?(t)]的積分運(yùn)算

2.2.3 復(fù)合函數(shù)δ[?(t)]的微分運(yùn)算

由復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)［7］求解，則δ'[?(t)]=

2.2.4 復(fù)合函數(shù)δ[?(t)]與普通函數(shù)f(t)的卷積積分

證明一：由卷積積分的定義［8］可知?jiǎng)tdu=即上式卷積的結(jié)果可寫為設(shè)?(t)=0有n個(gè)互不相等的實(shí)根tk(k=1，2，…，n)，則當(dāng)τ=tk時(shí)u=0，由沖激函數(shù)取樣性［9］f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，則

3 驗(yàn)證與結(jié)論

根據(jù)上述分析，驗(yàn)證當(dāng)?(t)分別為一次函數(shù)和多次函數(shù)時(shí)，結(jié)論是否一致.

本文對(duì)復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)δ[?(t)]及其相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行了證明和計(jì)算，做出了一般性的分析與歸納，最終得到相應(yīng)的結(jié)論，為后續(xù)相關(guān)物理現(xiàn)象和過程的研究和分析奠定了基礎(chǔ).