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    復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)相關(guān)運(yùn)算探討

    2021-09-29 12:41:42張汝峰郭寶軍康憲芝
    關(guān)鍵詞:單根物理現(xiàn)象廣義

    陳 靜,張汝峰,郭寶軍,康憲芝,項(xiàng) 璟,金 鈺

    (滄洲交通學(xué)院 電子與電氣工程學(xué)院,河北 黃驊061100)

    0 引言

    普通函數(shù)描述的是自變量與因變量之間的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系,如果要考察某些物理量在空間或時(shí)間坐標(biāo)上集中于一點(diǎn)的物理現(xiàn)象,如質(zhì)量集中于一點(diǎn)的密度分布、作用時(shí)間趨于零的沖擊力、寬度趨于零的電脈沖等,普通函數(shù)的概念就不夠用了,作為信號(hào)與線性系統(tǒng)分析中描述這類物理現(xiàn)象和過程的重要數(shù)學(xué)模型[1],單位沖激函數(shù)的引入使得函數(shù)間斷點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在成為可能,掌握它的應(yīng)用是現(xiàn)代科技工作者必備的基礎(chǔ).沖激函數(shù)的物理含義和性質(zhì)前人研究頗多,而復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)及其相關(guān)運(yùn)算在各種版本的教材和相關(guān)輔導(dǎo)資料中卻很少涉及和討論.

    本文采用常規(guī)函數(shù)的計(jì)算方法,從廣義函數(shù)定義出發(fā),對(duì)復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)及其微分、積分和卷積積分運(yùn)算進(jìn)行了分析和推導(dǎo),最后通過驗(yàn)證得出一般性的結(jié)論.

    1 沖激函數(shù)δ(t)的廣義函數(shù)定義

    如果把普通函數(shù)y=f(t)看成是對(duì)定義域中的每個(gè)自變量t,按一定的運(yùn)算規(guī)則f指定一個(gè)數(shù)值y的過程,則可以把廣義函數(shù)g(t)理解為是對(duì)試驗(yàn)函數(shù)集{φ(t)}中的每個(gè)函數(shù)φ(t),按一定運(yùn)算規(guī)則Ng分配或指定一個(gè)數(shù)值N[gφ(t)]的過程.廣義函數(shù)g(t)的定義為

    按廣義函數(shù)理論,沖激函數(shù)δ(t)可定義為,即沖激函數(shù)δ(t)作用于檢驗(yàn)函數(shù)?(t)的效果是給它賦值?(0).若將一幅度為n2,寬度為2n的矩形脈沖看作廣義函數(shù),則有,當(dāng)n趨向于無窮大時(shí),在(-1n,+1n)區(qū)間上?(t)≈?(0),因此

    2 復(fù)合函數(shù)δ[?(t)]及其相關(guān)運(yùn)算

    2.1 ?(t)=at+b為一次函數(shù)

    證明一:根據(jù)沖激函數(shù)δ(t)的尺度變換性質(zhì),由換元的思想可知,δ(at+b)=δ[a(t+

    圖1 信號(hào)變換圖

    2.1.2 復(fù)合函數(shù)δ(at+b)的積分運(yùn)算

    2.1.3 復(fù)合函數(shù)δ(at+b)的微分運(yùn)算

    2.1.4 復(fù)合函數(shù)δ(at+b)與普通函數(shù)f(t)的卷積積分

    由沖激函數(shù)卷積積分性質(zhì)[5]f(t)?δ(t-t0)=f(t-t0),則

    2.2 ?(t)為二次函數(shù)或高次函數(shù)

    證明:設(shè)?(t)=0有n個(gè)互不相等的實(shí)根tk(k=1,2,…,n),則在任一單根tk附近足夠小的鄰域內(nèi),?(t)可展開為泰勒級(jí)數(shù),考慮到?(tk)=0,并忽略高次項(xiàng),有?(t)=?(tk)+?'(tk)(t-tk)+0.5?″(tk)(t-tk)2+…≈?'(tk)(t-tk)[6].式中?'(tk)表示?(t)在t=tk處的導(dǎo)數(shù).由于t=tk是?(t)的單根,則?'(tk)≠0,所以在t=tk附近,根據(jù)沖激函數(shù)的尺度變換性質(zhì),δ[?(t)]可寫為因此若?(t)=0的根均為單根,即t=tk處?'(tk)≠0,則若?(t)=0有重根,δ[?(t)]沒有意義.

    2.2.2 復(fù)合函數(shù)δ[?(t)]的積分運(yùn)算

    2.2.3 復(fù)合函數(shù)δ[?(t)]的微分運(yùn)算

    由復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)[7]求解,則δ'[?(t)]=

    2.2.4 復(fù)合函數(shù)δ[?(t)]與普通函數(shù)f(t)的卷積積分

    證明一:由卷積積分的定義[8]可知?jiǎng)tdu=即上式卷積的結(jié)果可寫為設(shè)?(t)=0有n個(gè)互不相等的實(shí)根tk(k=1,2,…,n),則當(dāng)τ=tk時(shí)u=0,由沖激函數(shù)取樣性[9]f(t)δ(t)=f(0)δ(t),則

    3 驗(yàn)證與結(jié)論

    根據(jù)上述分析,驗(yàn)證當(dāng)?(t)分別為一次函數(shù)和多次函數(shù)時(shí),結(jié)論是否一致.

    本文對(duì)復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)δ[?(t)]及其相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行了證明和計(jì)算,做出了一般性的分析與歸納,最終得到相應(yīng)的結(jié)論,為后續(xù)相關(guān)物理現(xiàn)象和過程的研究和分析奠定了基礎(chǔ).

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