支撐劑在交叉裂縫中運移規(guī)律的數(shù)值模擬

曾軍勝 ，戴城 ，方思冬 ，李恒 ，劉華

（1.中國石化石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）資源學(xué)院，湖北 武漢 430074）

0 引言

近年來，非常規(guī)氣藏的開發(fā)受到越來越多的關(guān)注和重視。2020年，我國頁巖氣產(chǎn)量達到了200多億立方米，同比增長高達30%，成為天然氣增產(chǎn)的主力。這得益于水平井和水力壓裂2項關(guān)鍵技術(shù)的快速發(fā)展和成熟應(yīng)用。而水力壓裂體系涉及一個至關(guān)重要的流體-顆粒兩相流問題——支撐劑運移［1-3］。采用支撐劑能夠有效避免水力裂縫的閉合，從而維持有效傳導(dǎo)率。而支撐劑在裂縫中的運移和分布情況，則直接影響水力壓裂改造后儲層的有效傳導(dǎo)率。因此，研究支撐劑運移過程對水力壓裂的效果評估和方案設(shè)計有重要意義。

通常，支撐劑運移發(fā)生在水力壓裂產(chǎn)生的復(fù)雜縫網(wǎng)當(dāng)中。如何改善支撐劑在縫網(wǎng)中的鋪置效率，使更多的支撐劑進入支縫，成為現(xiàn)場施工方案設(shè)計的重點問題。以往大多數(shù)的文獻主要采用物理實驗［4-7］和數(shù)值模擬［8-9］這兩大類方法研究支撐劑在單一裂縫中的運移規(guī)律?？紤]的各類因素包括攜砂液和支撐劑顆粒的物性參數(shù)、施工方案、支撐劑體積分?jǐn)?shù)、裂縫擴展及流體濾失等。這些研究對揭示支撐劑在裂縫中沉降和運移的基本規(guī)律具有十分重要的作用。

針對支撐劑在縫網(wǎng)中的運移規(guī)律，近年來國內(nèi)外的相關(guān)研究也呈現(xiàn)逐年增長的趨勢。Sahai等［10-12］利用物理實驗方法，研究了支撐劑在復(fù)雜縫網(wǎng)中的運移規(guī)律。但是物理實驗周期往往較長，同時能夠獲取的數(shù)據(jù)十分有限。目前，數(shù)值模擬已成為研究支撐劑運移的有效方法。郝麗華等［13-14］采用雙流體模型，模擬了大尺度下支撐劑在縫網(wǎng)中的鋪置情況。

支撐劑運移本質(zhì)上是一類流體與顆粒強耦合作用的兩相流問題。為了闡明支撐劑運移涉及的物理機制，需要在物理建模時充分考慮其關(guān)鍵機理。在支撐劑運移過程中，支撐劑顆粒之間的作用、裂縫壁面對顆粒的作用、攜砂液與顆粒之間的相互作用是十分重要的。本文結(jié)合目前流行的流體-顆粒兩相流的數(shù)值模擬方法，即計算流體力學(xué)-離散元方法（Computational Fluid Dynamics-Discrete Element Method，簡稱 CFD-DEM 方法）［15-16］，對支撐劑在交叉裂縫中的運移過程進行研究，分析裂縫交角及攜砂液黏度對支撐劑運移規(guī)律的影響。CFD-DEM方法基于拉格朗日框架刻畫顆粒的演化，能夠準(zhǔn)確刻畫顆粒與顆粒/壁面及流體與顆粒之間的相互作用。與雙流體模型相比，CFD-DEM方法在物理建模上具有天然優(yōu)勢，能夠捕捉更多的運移細節(jié)。

本文旨在研究支撐劑顆粒在交叉裂縫中的運移機理，包括顆粒堆積、聚團等效應(yīng)，同時定量考察在不同條件下支撐劑流入支縫的比例，以便直觀理解。下面分別從CFD-DEM方法、裂縫交角及攜砂液黏度3個方面，對支撐劑在交叉裂縫中的運移規(guī)律展開討論。

1 CFD-DEM方法

1.1 流體及顆粒的控制方程

在CFD-DEM方法中，流體控制方程為體積平均納維-斯托克斯（VANS）方程［17］：

式中：αf為流體體積分?jǐn)?shù)；t為時間，s；▽為梯度算子；▽·為散度算子；uf為流速，m/s；ρf為流體密度，kg/m3；p為流體壓力，Pa；τf為流體黏性應(yīng)力張量，Pa；fp為流體與顆粒相互作用（特指拖曳力）產(chǎn)生的動量源匯項，m/s2。

式（1）和（2）分別為流體的連續(xù)性方程和動量方程，這里假設(shè)流體為不可壓縮牛頓流體。

在CFD-DEM方法中，顆粒參數(shù)是基于DEM方法［18］進行求解的。在DEM方法中，支撐劑顆粒被建模為彈性圓球，顆粒之間的作用力通?；谲浨蚰Ｐ瓦M行計算。如圖1所示（其中，i，j為顆粒編號，δn為重疊量），當(dāng)圓球之間發(fā)生重疊時，認(rèn)為接觸點處存在彈簧和黏壺，二者進行并聯(lián)后，產(chǎn)生一個綜合的作用力。通過這種方式可以考慮顆粒之間的非彈性碰撞。

圖1 軟球模型示意

支撐劑顆粒的運動是基于拉格朗日框架進行描述的，這與描述流體運動的歐拉框架不同，因此CFDDEM方法是一類歐拉-拉格朗日框架混合方法。顆粒的運動遵循牛頓第二定律，可以表述為

式中：mp為顆粒質(zhì)量，kg；xp為顆粒位移，m；Fc，F(xiàn)h，F(xiàn)b分別為顆粒運動中所受到的顆粒與顆粒/壁面的碰撞力、流體與顆粒耦合的水動力及體積力，N；Ip為顆粒轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；ωp為顆粒角速度，rad/s；Tc為顆粒碰撞過程中產(chǎn)生的力矩，N·m。

式（3）和（4）分別刻畫了顆粒的平動方程和轉(zhuǎn)動方程。

1.2 流體與顆粒耦合策略

本文的支撐劑數(shù)值模擬是基于開源軟件CFDEM實現(xiàn)的［19］，其采取的耦合方法為目前主流的四路耦合策略［20］，這一點從式（1）—（4）也能夠得到體現(xiàn)。所謂四路耦合，指的是考慮了流體體積分?jǐn)?shù)對流體控制方程的影響、流體對顆粒的作用、顆粒對流體的反饋作用及顆粒之間的碰撞作用4個方面。

考慮到拖曳力、流體壓力梯度力及黏性應(yīng)力梯度力對水動力的影響，式（3）中的水動力可以表述為

式中：Dp為拖曳力系數(shù)，s-1；up為顆粒運動速度，m/s；Vp為顆粒體積，m3。

本文采用Wen&Yu模型計算Dp：

式中：ρp為顆粒密度，kg/m3；rp為顆粒半徑，m；Rep為顆粒雷諾數(shù)；νf為流體運動黏度，m2/s。

值得注意的是，CFD-DEM方法作為歐拉-拉格朗日混合框架，與常見的雙流體模型相比，在具體實現(xiàn)上需要克服混合框架帶來的難點。首先，需要利用插值函數(shù)完成歐拉網(wǎng)格與拉格朗日點之間的信息交互；其次，流體運動和顆粒碰撞的特征時間是有差別的，流體的計算步長限制通常比顆粒計算步長要大得多。因此，實際耦合過程中，往往采用一步流體計算、多步顆粒計算的顯式耦合策略。

1.3 模擬區(qū)域及參數(shù)設(shè)置

本文所模擬的交叉裂縫如圖2所示。左側(cè)為攜砂液和支撐劑的入口，主流動方向為水平向右，在經(jīng)過主縫、支縫交叉處時，攜砂液及支撐劑發(fā)生分流，沿相應(yīng)的方向流動，直至出口。入口采用定流量的邊界條件，出口采用定壓的邊界條件，具體模擬參數(shù)見表1。

表1 交叉裂縫中支撐劑運移的模擬參數(shù)

圖2 交叉裂縫空間俯視圖

在本文算例中，主縫寬度設(shè)計為5.0 mm，支縫寬度設(shè)計為主縫寬度的一半，即2.5 mm，這主要是考慮到實際情況下支縫寬度通常比主縫小。為了捕捉支撐劑顆粒在裂縫交叉處的運移細節(jié)，需要針對流體網(wǎng)格進行局部加密；同時主縫、支縫在遠離交叉處的區(qū)域，采取逐漸粗化的網(wǎng)格進行模擬，從而降低整體網(wǎng)格數(shù)量，進而降低計算量。

2 裂縫交角對支撐劑運移規(guī)律的影響

在裂縫交角 θ分別為 45°，90°，135°的條件下，重點考察了支撐劑在攜砂液黏度為1 mPa·s時的鋪置情況（見圖3）。紅色區(qū)域代表支撐劑高速運移的懸浮區(qū)域；藍色區(qū)域的支撐劑顆粒運動速率接近0，可以認(rèn)為是砂床堆積區(qū)域。

圖3 低黏條件下支撐劑在不同裂縫交角時的鋪置情況

對比圖3中的3種情況，可以看出以下運移規(guī)律：

1）在攜砂液黏度為1 mPa·s的條件下，支撐劑在主縫存在顯著沉降。在該算例中，顆粒的沉降速率約為0.134 m/s，因此當(dāng)不存在顆粒堆積和重力對流作用時，支撐劑的沉降界面（懸浮區(qū)域與清水的交界面）斜率接近1/8；而在重力對流的作用下，實際沉降界面斜率明顯大于1/8。

2）支撐劑在主縫中的運動速率顯著高于支縫。高速流動的紅色懸浮區(qū)域占主縫前半段的比例明顯高于藍色堆積區(qū)域。同時,經(jīng)過裂縫交叉處后，支撐劑在主縫的后半段發(fā)生明顯堆積，形成藍色的靜止砂床區(qū)域。這是由于在經(jīng)過裂縫交叉處后，部分流體進入支縫，主縫中的流速驟降，支撐劑在豎直方向上更加容易發(fā)生沉降。

3）在不同的裂縫交角條件下，主縫中支撐劑運移狀態(tài)差異較小，而在支縫中，隨著裂縫交角增大，支撐劑進入支縫的比例明顯下降。這一效應(yīng)主要是流體/顆粒的慣性作用導(dǎo)致的。裂縫交角越小，流體/顆粒越容易在慣性作用下進入支縫；而當(dāng)裂縫交角大于90°時，紅色懸浮區(qū)域中的支撐劑必須通過在裂縫交叉處發(fā)生碰撞、旋轉(zhuǎn)等復(fù)雜運動，才能少部分流入支縫當(dāng)中。

為了定量考察支撐劑在裂縫交叉處的分流規(guī)律，分別統(tǒng)計了上述3種情況下支撐劑進入支縫的比例（見表2）?？梢钥闯?，在攜砂液黏度為1 mPa·s的條件下，隨著裂縫交角增大，支撐劑進入支縫的比例是不斷下降的。在45°時，支撐劑進入支縫的比例約在1/4；在90°時，支撐劑進入支縫的比例降為1/6左右；在135°時，支撐劑進入支縫的比例降為1/14左右。

表2 支撐劑進入支縫的比例

從圖3可以明顯看出，在主縫的后半段和支縫中，存在大量藍色砂床堆積區(qū)域。將圖3b放大，展示了支撐劑顆粒在裂縫交叉處的堆積細節(jié)（見圖4）。從圖4b可以看出，支撐劑在堆積區(qū)域中的排列方式是十分精確、真實的。這表明采用CFD-DEM方法模擬支撐劑運移過程，確實能夠捕捉到很多其他數(shù)值方法所不能刻畫的細節(jié)。

圖4 裂縫交叉處支撐劑顆粒的堆積細節(jié)

3 攜砂液黏度對支撐劑運移規(guī)律的影響

攜砂液黏度為1 mPa·s時，支撐劑在運移過程中有明顯堆積行為。這里將攜砂液黏度提高至10 mPa·s，進一步考察攜砂液黏度對支撐劑在交叉裂縫中運移規(guī)律的影響，以及提高攜砂液黏度能否提高支撐劑進入支縫的比例。圖5展示了攜砂液黏度為10 mPa·s條件下支撐劑的鋪置情況。同樣模擬了3種裂縫交角條件下的情況，與低黏條件下的算例一一對應(yīng)。支撐劑進入支縫的比例如表2所示。

圖5 高黏條件下支撐劑在不同裂縫交角時的鋪置情況

通過比較圖5和圖3展示的鋪置情況，可以看出提高攜砂液黏度后支撐劑運移規(guī)律的主要變化。

1）支撐劑在主縫中的水平運移能力明顯提高。在提高攜砂液黏度后，懸浮區(qū)域的沉降界面斜率顯著減小。在攜砂液黏度為10 mPa·s的條件下，顆粒的沉降速率約為0.052 m/s，約為低黏條件下沉降速率的40%。因此，紅色懸浮區(qū)域幾乎占據(jù)主縫前半段的大部分區(qū)域，在主縫后半段，顆粒堆積也主要發(fā)生在出口附近。

2）支撐劑在支縫中的運移方式發(fā)生明顯改變，懸浮區(qū)域在支縫中的占比明顯提高。支撐劑沉降速率的大幅降低，同樣有利于它在支縫中的運移。與低黏條件下的運移情況不同，在高黏條件下，主縫懸浮區(qū)域中的支撐劑經(jīng)過裂縫交叉處之后，依然能夠整體保持懸浮狀態(tài)，繼續(xù)沿支縫方向運移。從定量角度看，高黏條件下支撐劑進入支縫的比例確有明顯提高（見表2）。

3）相比于低黏條件，高黏條件下支撐劑在支縫中的宏觀運移狀態(tài)發(fā)生明顯變化，出現(xiàn)聚團效應(yīng)。對比圖3a與圖5a可以發(fā)現(xiàn)，在高黏條件下，支縫中懸浮區(qū)域內(nèi)支撐劑的分布更容易演化出空間非均勻性，即聚團效應(yīng)。細節(jié)如圖6所示，其中攜砂液黏度為10 mPa·s，裂縫交角為45°。從圖6可以看出，這種空間非均勻性是在支撐劑進入支縫后不斷演化出來的。在靠近交叉處，支撐劑分布的非均勻性結(jié)構(gòu)的尺度很小；而隨著支撐劑逐漸向支縫內(nèi)部運移，這種非均勻性結(jié)構(gòu)的尺度不斷加大。這一效應(yīng)主要是顆粒誘導(dǎo)的流體不穩(wěn)定造成的。

圖6 高黏條件下支撐劑在支縫內(nèi)運移產(chǎn)生的聚團現(xiàn)象

4 結(jié)論

1）隨著裂縫交角增大，支撐劑進入支縫的比例不斷下降。

2）提高攜砂液黏度，能夠明顯提高支撐劑進入支縫的比例。低黏條件下，支撐劑進入支縫的主要路徑是基于懸浮區(qū)域分流及砂床遷移機制完成的；而高黏條件下，支撐劑進入支縫的主要路徑是通過懸浮區(qū)域分流機制完成的。

3）CFD-DEM方法能夠精確刻畫支撐劑顆粒之間的相互作用，因此可以用于研究砂床堆積的物理機制及運移過程中的聚團效應(yīng)。

4）本文僅考慮了裂縫交角及攜砂液黏度對支撐劑在交叉裂縫中運移規(guī)律的影響。事實上，還有許多其他的重要因素及復(fù)雜工況尚待研究，包括支撐劑密度、粒徑分布、非牛頓流體、復(fù)雜縫網(wǎng)等。今后應(yīng)進一步考察這些情況，揭示相關(guān)規(guī)律。